1、第5课时函数ysin(x)的图象及三角函数模型的简单应用1了解函数yAsin(x)的物理意义；能画出yAsin(x)的图象，了解参数A，对函数图象变化的影响2了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题对应学生用书P57【梳理自测】一、振动量yAsin(x)的简图及概念1(教材改编)y2sin的振幅、频率和初相分别为()A2，B2，C2， D2，2用五点法作函数ysin在一个周期内的图象时，主要确定的五个点是_、_、_、_、_3图中的曲线是函数yAsin(x)的图象(A0，0，|)，则_，_答案：1.A2.(，0)(，1)(，0)(，1)(，0)3.2以上题目
2、主要考查了以下内容：(1)用五点法画yAsin (x)一个周期内的简图时，要找五个特征点，如下表所示.x02xyAsin (x)0A0A0(2)振幅、周期、相位、初相当函数yAsin(x)(A0，0)，x(，)表示一个振动量时，则A叫做振幅，T叫做周期，f叫做频率，x叫做相位，叫做初相函数yAcos(x)的最小正周期为，yAtan (x)的最小正周期为二、图象变换1将函数f(x)2cos的图象向左平移个单位，再向下平移1个单位，得到函数g(x)的图象，则g(x)的解析式为()Ag(x)2cos1Bg(x)2cos1Cg(x)2cos1Dg(x)2cos12(课本精选题)要得到函数y3sin的图
3、象，只需将函数y3sin 2x的图象向_平移_个单位答案：1.B2.左以上题目主要考查了以下内容：函数yAsin (x)(A0，0)的图象可由函数ysin x的图象作如下变换得到：相位变换：ysin xysin(x)，把ysin x图象上所有的点向左(0)，或向右(0)平行移动|个单位周期变换：ysin(x)ysin (x)，把ysin(x)图象上各点的横坐标伸长(01)或缩短(1)到原来的倍(纵坐标不变)振幅变换：ysin (x)yAsin (x)，把ysin (x)图象上各点的纵坐标伸长(A1)或缩短(0A1)到原来的A倍(横坐标不变)【指点迷津】1一个技巧列表技巧：表中“五点”中相邻两点
4、的横向距离均为，利用这一结论可以较快地写出“五点”的坐标2两个区别(1)振幅A与函数yAsin (x)b的最大值，最小值的区别：最大值MAb，最小值mAb，故A.(2)由ysin x变换到yAsin (x)先变周期与先变相位的(左、右)平移的区别：由ysin x的图象变换到yAsin (x)的图象，两种变换的区别：先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|个单位；而先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是(0)个单位原因在于相位变换和周期变换都是针对x而言，即x本身加减多少值，而不是依赖于x加减多少值3三点提醒(1)要弄清楚是平移哪个函数的图象，得到哪个函数的图象；(2)要注意平移前后
5、两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数；(3)由yAsin x的图象得到yAsin(x)的图象时，需平移的单位数应为，而不是|.对应学生用书P58考向一函数yAsin(x)图象及变换已知函数y2sin，(1)求它的振幅、周期、初相；(2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象；(3)说明y2sin的图象可由ysin x的图象经过怎样的变换而得到【审题视点】直接根据振动量的概念指出各量，利用整体代换法求出相应五点描图【典例精讲】(1)y2sin的振幅A2，周期T，初相.(2)令X2x，则y2sin2sin X.列表如下：xX02ysin X01010y2sin02020描点
6、画出图象，如图所示：(3)把ysin x的图象上所有的点向左平移个单位，得到ysin的图象，再把ysin的图象上的点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得到ysin的图象，最后把ysin上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，即可得到y2sin的图象【类题通法】函数yAsin (x)(A0，0)的图象的作法(1)五点法：用“五点法”作yAsin (x)的简图，主要是通过变量代换，设zx，由z取0，2来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象(2)图象变换法：由函数ysin x的图象通过变换得到yAsin(x)的图象，有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”1
7、(2014荆州市高三质检)将函数ysin(2x)的图象向左平移个单位，再向上平移2个单位，则所得图象的一个对称中心是()A(，2)B(，2)C(，2) D(，2)解析：选C.将ysin(2x)的图象向左平移个单位，再向上平移2个单位得ysin(2x)2的图象，其对称中心的横坐标满足2xk，即x，kZ，取k1，则x，故选C.考向二由图象求解析式(2014济南市高考模拟)如图是函数yAsin(x)(xR，A0，0，0)在区间，上的图象为了得到这个函数的图象，只需将ysin x(xR)的图象上所有的点()A向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变B向左平移个单位长度，再把所得
8、各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变D向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变【审题视点】由图象可看出振幅A、周期T可求，再求.【典例精讲】由题意知，A1，得2，由22k(kZ)，得，故ysin(2x)只要把函数ysin x的图象向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，即可得ysin(2x)的图象【答案】A【类题通法】确定yAsin (x)b(A0，0)的步骤和方法(1)求A，b，确定函数的最大值M和最小值m，则A，b.(2)求，确定函数的周期T，则可得.(3)求，常用的
9、方法有：代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A，b已知)或代入图象与直线yb的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)五点法：确定值时，往往以寻找“五点法”中的第一个点为突破口具体如下：“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)时x0；“第二点”(即图象的“峰点”)时x；“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)时x；“第四点”(即图象的“谷点”)时x；“第五点”时x2.2函数f(x)Asin(x)(A0，0)的图象如图所示，为了得到g(x)Acos x的图象，可以将f(x)的图象()A向右平移个单位长度 B向右平移个单位长度C向左平移个单位长度 D向左平移个单位长度解析：选B.由图象
10、可得A1，2，则f(x)sin(2x)，g(x)Acos xcos 2xsin(2x)sin2(x)，故将f(x)的图象向右平移个单位长度，可以得到g(x)的图象考向三三角函数模型的简单应用青岛第一海水浴场位于汇泉湾畔，拥有长580米，宽40余米的沙滩，是亚洲较大的海水浴场这里三面环山，绿树葱茏，现代的高层建筑与传统的别墅建筑巧妙地结合在一起，景色非常秀丽海湾内水清浪小，滩平坡缓，沙质细软，自然条件极为优越已知海湾内海浪的高度y(米)是时间t(0t24，单位：时)的函数，记作yf(t)下表是某日各时刻记录的浪高数据：T03691215182124Y1.51.00.51.01.51.00.50.
11、991.5经长期观测，yf(t)的曲线可近似地看成是函数yAcos tb的图象的一部分(1)根据以上数据，求函数yAcos tb的最小正周期T，振幅A及函数表达式；(2)依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内800至2000之间，有多少时间可供冲浪者进行运动？【审题视点】从图表中观察T、A及b的值令y1，求出相应的时间段【典例精讲】(1)由表中数据，知周期T12，由t0，y1.5，得Ab1.5；由t3，y1.0，得b1，A0.5，振幅为，ycos t1.(2)由题知，当y1时才可对冲浪者开放，令cos t11，即cos t0，2kt2k，kZ，即12k
12、3t12k3，kZ.0t24，故可令中的k分别为0，1，2，得0t3，或9t15，或21t24.在规定时间800到2000之间，有6小时的时间可供冲浪者运动，即900到1500.【类题通法】(1)三角函数模型的应用主要有：根据图象建立解析式或根据解析式作出图象；将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型；利用收集到的数据作出散点图，并根据散点图进行函数拟合，从而得到函数模型(2)三角函数模型在实际中的应用体现在两个方面：一是已知三角函数模型，关键是准确理解自变量的意义及自变量与函数之间的对应法则，二是把实际问题抽象转化成数学问题，建立三角函数模型，再利用三角函数的有关知识解决问题，其关键是合
13、理建模3如图所示，某地夏天从814时用电量变化曲线近似满足函数yAsin(x)b，(0，)(1)求这一天的最大用电量及最小用电量；(2)写出这段曲线的函数解析式解析：(1)最大用电量为50万度，最小用电量为30万度(2)观察图象，可知从814时的图象是yAsin(x)b的半个周期的图象A(5030)10，b(5030)40.148，y10sin40.将x8，y30代入上式，解得，所求解析式为y10sin40，x8，14对应学生用书P59函数yAsin(x)性质的应用(2013高考天津卷)已知函数f(x)sin(x)(0，0)的周期为，图象的一个对称中心为.将函数f(x)图象上所有点的横坐标伸长
14、到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得到的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)的图象(1)求函数f(x)与g(x)的解析式；(2)是否存在x0，使得f(x0)，g(x0)，f(x0)g(x0)按照某种顺序成等差数列？若存在，请确定x0的个数；若不存在，说明理由【审题视点】(1)利用三角函数的性质求解字母和的取值；(2)构造函数并利用函数的导数判断函数的单调性，同时，还需结合零点定义；(3)构造函数并利用函数的导数研究函数的性质，也要结合图象进行求解【思维流程】根据周期求.根据对称中心求，确定f(x)平移及伸缩变换，确定g(x)转化题意求方程的根构造函数研究单调性确定函数零点【规范解答】(1)
15、由函数f(x)sin(x)的周期为，0，得2.1分又曲线yf(x)的一个对称中心为，(0，)，故fsin0，解得，2分所以f(x)cos 2x.4分将函数f(x)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)后可得ycos x的图象，再将ycos x的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)cos的图象，所以g(x)sin x6分(2)当x时，sin x，0cos 2x，所以sin xcos 2xsin xcos 2x.问题转化为方程2cos 2xsin xsin xcos 2x在内是否有解.8分设G(x)sin xsin xcos 2x2cos 2x，x，则G(x)cos xcos xc
16、os 2x2sin 2x(2sin x)因为x，所以G(x)0，G(x)在内单调递增.11分又G0，G0，且函数G(x)的图象连续不断，故可知函数G(x)在内存在唯一零点x0，即存在唯一的x0满足题意.14分【规范建议】(1)第二步由f0求时，注意的范围(其解才唯一)(2)第四步中比较大小sin xcos 2xsin xcos 2x不可少，这样题意转化才有根据(3)第六步中是根据零点定理判定存在零点1(2013高考四川卷)函数f(x)2sin(x)的部分图象如图所示，则，的值分别是()A2，B2，C4， D4，解析：选A.通过函数yAsin(x)(A0，0)的图象的周期、相位、振幅来确定，A三
17、个量T，T，(0)，2.由图象知当x时，22k(kZ)，即2k(kZ)，.2(2013高考福建卷)将函数f(x)sin(2x)的图象向右平移(0)个单位长度后得到函数g(x)的图象，若f(x)，g(x)的图象都经过点P，则的值可以是()A. B.C. D.解析：选B.先求出解析式中的字母的取值，再利用代入法确定答案P在f(x)的图象上，f(0)sin .，f(x)sin，g(x)sin.g(0)，sin.验证，时，sinsinsin成立3(2013高考全国新课标卷)函数ycos(2x)()的图象向右平移个单位后，与函数ysin的图象重合，则_解析：先进行平移，得出的三角函数与所给的三角函数进行
18、比较，求出的值ycos(2x)的图象向右平移个单位得到ycos的图象，整理得ycos(2x)其图象与ysin的图象重合，2k，2k，即2k.又，.答案：4(2013高考安徽卷)已知函数f(x)4cos xsin(0)的最小正周期为.(1)求的值；(2)讨论f(x)在区间上的单调性解析：(1)f(x)4cos xsin 2sin xcos x2cos2x(sin 2xcos 2x)2sin.因为f(x)的最小正周期为，且0，从而有，故1.(2)由(1)知，f(x)2sin.若0x，则2x.当2x，即0x时，f(x)单调递增；当2x，即x时，f(x)单调递减综上可知，f(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减