1、第4课时二次函数与幂函数1了解幂函数的概念2结合函数yx，yx2，yx3，y，yx的图象，了解它们的变化情况3掌握二次函数的概念、图象特征4掌握二次函数的对称性和单调性，会求二次函数在给定区间上的最值5掌握二次函数、二次方程、二次不等式之间的密切关系，提高解综合问题的能力对应学生用书P18【梳理自测】一、幂函数1下列函数中是幂函数的是()Ay2x2ByCyx2x Dy2下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，)上单调递减的函数是()Ayx2 Byx1Cyx2 Dyx答案：1.B2.A以上题目主要考查了以下内容：(1)形如yx(R)的函数称为幂函数，其中x为自变量，为常数(2)五种幂函数的性质函数
2、特征性质yxyx2yx3yxyx1定义域RRR0，)x|xR且x0值域R0，)R0，)y|yR且y0奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增x0，)时，增；x(，0 时，减. 增增x(0，) 时，减. x(，0) 时，减定点(1，1)二、二次函数1一般式：f(x)_2顶点式：若二次函数的顶点坐标为(h，k)，则其解析式为：f(x)_3两根式：若相应一元二次方程的两根为x1，x2，则其解析式为f(x)_4函数y2x26x3，x1，1，则y的最小值是()A B3C1 D不存在5抛物线y8x2(m1)xm7的顶点在x轴上，则m_6若函数f(x)x2(a2)xb(xa，b)的图象关于直线x1对称，则f(x)ma
3、x_答案：1.ax2bxc，(a0)2.a(xh)2k3.a(xx1)(xx2)4.C5.9或256.30以上题目主要考查了以下内容：二次函数的图象和性质解析式f(x)ax2bxc(a0)f(x)ax2bxc(a0)图象定义域RR值域最值yminymax单调性在x上单调递减；在x上单调递增在x上单调递增；在x上单调递减奇偶性当b0时为偶函数，b0时为非奇非偶函数顶点对称性图象关于直线x成轴对称图形【指点迷津】1研究二次函数的性质要注意二次项系数a的正负，及对称轴的位置，两点不应忽视2幂函数的图象一定会出现在第一象限，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限，要看函数的奇偶性；幂函数的
4、图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点3幂函数yx(R)，其中为常数，其本质特征是以幂的底x为自变量，指数为常数，这是判断一个函数是否是幂函数的重要依据和唯一标准应当注意并不是任意的一次函数、二次函数都是幂函数，如yx1，yx22x等都不是幂函数对应学生用书P19考向一幂函数图象性质及应用(1)(2014山西太原模拟)当0x1时，f(x)x2，g(x)x，h(x)x2，则f(x)，g(x)，h(x)的大小关系是_(2)(2014江西临川模拟)已知幂函数yxm22m3(mN*)的图象与x轴、y轴无交点且关于原点对称，则m_【审题视点】利用幂函数图象结合指数
5、的奇偶性解答【典例精讲】(1)分别作出f(x)，g(x)，h(x)的图象，如图所示可知h(x)g(x)f(x)(2)由题意知m22m3为奇数且m22m30，由m22m30得1m3，又mN*，故m1，2.当m1时，m22m31234(舍去)当m2时，m22m3222233，m2.【答案】(1)h(x)g(x)f(x)(2)2【类题通法】(1)在(0，1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在(1，)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴(2)曲线在第一象限的凹凸性：1时，曲线下凸；01时，曲线上凸；0时，曲线下凸1幂函数yf(x)的图象过点(4，2)，则幂函数yf(
6、x)的图象是()解析：选C.设幂函数yx，24，yx，图象为C.考向二求二次函数解析式已知二次函数f(x)有两个零点0和2，且它有最小值1.(1)求f(x)解析式；(2)若g(x)与f(x)图象关于原点对称，求g(x)解析式【审题视点】对于(1)，可设二次函数的零点式，再结合最值求出系数a即得；对于(2)，可通过图象上点的对应关系求g(x)解析式【典例精讲】(1)由于f(x)有两个零点0和2，所以可设f(x)ax(x2)(a0)，这时f(x)ax(x2)a(x1)2a，由于f(x)有最小值1，所以必有，解得a1.因此f(x)的解析式是f(x)x(x2)x22x.(2)设点P(x，y)是函数g(
7、x)图象上任一点，它关于原点对称的点P(x，y)必在f(x)图象上，所以y(x)22(x)，即yx22x，yx22x，故g(x)x22x.【类题通法】求二次函数解析式的方法及思路求二次函数的解析式，一般用待定系数法，其关键是根据已知条件恰当选择二次函数解析式的形式，一般选择规律如下：2若二次函数f(x)ax2bxc(a0)满足f(x1)f(x)2x，且f(0)1.(1)求f(x)的解析式；(2)若在区间1，1上，不等式f(x)2xm恒成立，求实数m的取值范围解析：(1)由f(0)1得，c1.f(x)ax2bx1.又f(x1)f(x)2x，a(x1)2b(x1)1(ax2bx1)2x，即2axa
8、b2x，因此，f(x)x2x1.(2)f(x)2xm等价于x2x12xm，即x23x1m0，要使此不等式在1，1上恒成立，只需使函数g(x)x23x1m在1，1上的最小值大于0即可g(x)x23x1m在1，1上单调递减，g(x)ming(1)m1，由m10，得m1.因此满足条件的实数m的取值范围是(，1)考向三二次函数图象性质及应用函数f(x)x22x2在闭区间t，t1(tR)上的最小值记为g(t)(1)试写出g(t)的函数表达式；(2)作g(t)的图象并写出g(t)的最小值【审题视点】分类讨论t的范围分别确定g(t)解析式【典例精讲】(1)f(x)(x1)21.当t11，即t0时，g(t)t
9、21.当t1t1，即0t1时，g(t)f(1)1，当t1时，g(t)f(t)(t1)21，综上可知g(t)(2)g(t)的图象如图所示，可知g(t)在(，0上递减，在1，)上递增，因此g(t)在0，1上取到最小值1.【类题通法】(1)二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，而二次函数又是“三个二次”的核心，通过二次函数的图象贯穿为一体因此，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法(2)求二次函数最值的类型及解法二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是对称轴与区间的关系，当含有参数时
10、，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论；常结合二次函数在该区间上的单调性或图象求解，最值一般在区间的端点或顶点处取得(3)二次函数单调性问题的解法结合二次函数图象的升、降对对称轴进行分析讨论求解3已知函数f(x)x22ax3，x4，6(1)当a2时，求f(x)的最值；(2)求实数a的取值范围，使yf(x)在区间4，6上是单调函数；(3)当a1时，求f(|x|)的单调区间解析：(1)当a2时，f(x)x24x3(x2)21，由于x4，6，f(x)在4，2上单调递减，在2，6上单调递增，f(x)的最小值是f(2)1，又f(4)35，f(6)15，故f(x)的最大值是35.(2)由于函数f(x)的图
11、象开口向上，对称轴是xa，所以要使f(x)在4，6上是单调函数，应有a4或a6，即a6或a4.(3)当a1时，f(x)x22x3，f(|x|)x22|x|3，此时定义域为x6，6，且f(x)，f(|x|)的单调递增区间是(0，6，单调递减区间是6，0对应学生用书P20 二次函数闭区间上的最值讨论(2014安阳高三模拟)已知f(x)ax22x(0x1)，求f(x)的最小值【审题视点】本题针对字母a进行讨论，a0、a0，a0及抛物线对称轴与区间0，1的位置关系【思维流程】a0，f(x)是一次函数开口向上的抛物线的对称轴x0，1，x时，取最小值开口向上时，对称轴x(1，)，x1时，取最小值开口向下时
12、，对称轴x(，0)，x1时，取最小值总结答案【规范解答】(1)当a0时，f(x)2x在0，1上递减，f(x)minf(1)2.2分(2)当a0时，f(x)ax22x的图象的开口方向向上，且对称轴为x.当1，即a1时，f(x)ax22x的图象的对称轴在0，1内，f(x)在上递减，在上递增f(x)minf.6分当1，即0a1时，f(x)ax22x的图象的对称轴在0，1的右侧，f(x)在0，1上递减f(x)minf(1)a2.8分(3)当a0时，f(x)ax22x的图象的开口方向向下，且对称轴x0，在y轴的左侧，f(x)ax22x在0，1上递减f(x)minf(1)a2.10分综上所述，f(x)mi
13、n12分【规范建议】(1)函数f(x)ax22x中，aR，并不一定是二次函数，故本题讨论中易丢失a0，a0，及(2)中1的情况(2)分清本题讨论的层次第一层：函数类型a0和a0.第二层：开口方向a0和a0.第三层：对称轴x与区间0，1的位置关系，左、内、右1(2013高考广东卷)设集合Mx|x22x0，xR，Nx|x22x0，xR，则MN()A0B0，2C2，0 D2，0，2解析：选D.先确定两个集合的元素，再进行并集运算集合M0，2，N0，2，故MN2，0，2，选D.2(2013高考浙江卷)已知a，b，cR，函数f(x)ax2bxc.若f(0)f(4)f(1)，则()Aa0，4ab0 Ba0
14、，4ab0Ca0，2ab0 Da0，2ab0解析：选A.根据条件可确定函数图象的开口方向和对称轴，化简即得因为f(0)f(4)f(1)，所以函数图象应开口向上，即a0，且其对称轴为x2，即2，所以4ab0，故选A.3(2013高考重庆卷)(6a3)的最大值为()A9 B.C3 D.解析：选B.利用配方法结合函数的定义域求解，由于6a3，当a时，有最大值.4(2012高考江苏卷)已知函数f(x)x2axb(a，bR)的值域为0，)，若关于x不等式f(x)c的解集为(m，m6)，则实数c的值为_解析：f(x)(x)2b，值域为0，)，b0，即b，f(x)(x)2，由f(x)c，(x)2c，x，得26，c9.答案：9