1、空间图形的体积 1柱体、锥体、台体的体积几何体体积柱体V柱体=Sh(S为底面面积,h为高)V圆柱=r2h(r为底面半径)锥体V锥体=Sh(S为底面面积,h为高)V圆锥=r2h(r为底面半径)台体V台体=h(S+S)(S,S分别为上、下底面面积,h为高),V圆台=h(r2+rr+r2)(r,r分别为上、下底面半径)2.球的体积和表面积若球的半径为R，则(1)球的体积VR3(2)球的表面积S4R21两个半径为1的铁球，熔化成一个大球，这个大球的半径为()A2 BC D【解析】选C.设熔化后的球的半径为R，则其体积是原来小球的体积的2倍，即VR3213，得R2(教材练习改编)已知圆锥SO的高为4，体
2、积为4，则底面半径r_【解析】由已知得4r24，解得r.答案：3如图在所有棱长均为2的正三棱柱ABCA1B1C1中，三棱锥BA1C1C的体积是_【解析】因为三棱锥BA1C1C与三棱锥BA1AC等底同高，故VBA1C1CVBA1AC，又VBA1ACVA1ABC，所以VBA1C1CVA1ABC，而三棱锥A1ABC的底面就是正三棱柱的底面，它的高就是正三棱柱的高，SABC22，hAA12.所以VA1ABC2，即VBA1C1C.答案：4已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，若这个球的体积是，求此三棱柱的体积【解析】由R3，得R2，所以正三棱柱的高h4.设其底面边长为a，则a2，所以a4，
3、所以V(4)2448.一、单选题1已知高为3的三棱柱ABCA1B1C1的底面是边长为1的正三角形(如图)，则三棱锥B1ABC的体积为()A B C D【解析】选D.VSh3.2正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为()A3 B C D1【解析】选B.如图所示，由图可知，该几何体由两个四棱锥构成，并且这两个四棱锥体积相等四棱锥的底面为正方形，且边长为，故底面积为()22；四棱锥的高为1，故四棱锥的体积为21.则几何体的体积为2.3若圆锥的侧面展开图为一个半径为2的半圆，则圆锥的体积是()A B C D【解析】选B.设圆锥底面圆的半径为r，高为h，如图所示：由题意知：2r22，解
4、得r1.所以h.故圆锥的体积V12.4(2021绵阳高一检测)已知四面体ABCD，AD2，BCD为边长为的等边三角形，若顶点A在平面BCD的投影是BCD垂心，则四面体ABCD的体积为()A B C D【解析】选B.由题意知，BCD为边长为的等边三角形，因为顶点A在平面BCD的投影H是BCD垂心，所以H也为BCD中心，所以DE，所以DH1，在直角ADH中，可得AH，所以三棱锥的体积为VSAH()2.二、多选题5已知棱长都相等的正三棱锥内接于一个球，某学生画出四个过球心的平面截球与正三棱锥所得的图形，如图所示，则正确的是()【解析】选ABC.正三棱锥内接于球，故其各个顶点均在球面上，若过球心的截面
5、恰好截得三棱锥的面为三角形，则根据其顶点是否在截面上，有如下讨论：当用过球心且平行于三棱锥某底面的平面去截球时，三个点都不在截面上，则截面近似A；当截面是过球心和三棱锥两个顶点的平面时，它交对棱于中点，中点不在球上，也就不在截面上，则截面近似B；当截面是过三棱锥一顶点和球心的平面时，截得的面除了B的情况外，大都是C的情况，即另两点不在球(截面)上；当三棱锥的三个顶点都在截面上时，截面不过球心，与题意矛盾综上可知，只有D是错误的6正三棱锥SABC的外接球半径为2，底面边长AB3，则此棱锥的体积可能是()A B C D3【解析】选AB.设正三棱锥的高为h，球心在正三棱锥的高所在的直线上，设H为正三
6、棱锥底面的中心因为底面边长AB3，所以AHAD，当顶点S与球心在底面ABC的同侧时，如图，有AH2OH2OA2，即()2(h2)222，解得h3或h1(舍去)，所以三棱锥的体积为33.当顶点S与球心在底面ABC的异侧时，如图，有AH2OH2OA2，即()2(2h)222，解得h1或h3(舍去)，所以三棱锥的体积为31，综上三棱锥的体积为或.三、填空题7一个长方体的三个面的面积分别是 ， ， ，则这个长方体的体积为_【解析】设长方体的棱长分别为a，b，c，则三式相乘可知(abc)26，所以长方体的体积Vabc.答案：8半径为2的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为_【解析】由题意可知该圆锥的侧面展开图
7、为半圆，如图所示，设圆锥底面半径为r，高为h，则所以所以它的体积为12.答案：四、解答题9如图，三棱台ABCA1B1C1中，ABA1B112，求三棱锥A1ABC，三棱锥BA1B1C，三棱锥CA1B1C1的体积之比【解析】设棱台的高为h，SABCS，则SA1B1C14S.所以VA1ABCSABChSh，VCA1B1C1SA1B1C1hSh.又V台h(S4S2S)Sh，所以VBA1B1CV台VA1ABCVCA1B1C1ShSh，所以体积比为124.10在四棱锥SABCD中，底面ABCD是边长为3的正方形，且各侧棱长均为2.求该四棱锥外接球的表面积【解析】取正方形ABCD的中心O1，连接SO1并延长
8、交球面于点E.连接CO1，CE，如图则球心O在SE上，即SE为球的直径，且SCEC.因为AB3，所以O1C3.在RtSO1C中，SC2，所以SO1.在RtSCE中，RtSCERtSO1C，所以SE4.所以球半径R2.所以球的表面积为S4R24(2)248.一、选择题1设正六棱锥的底面边长为1，侧棱长为，那么它的体积为()A6BC2D2【解析】选B.由正六棱锥底面边长为1和侧棱长为，可知高h2，又因为底面积S，所以体积VSh2.2九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的
9、四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有()A.14斛 B22斛 C36斛 D66斛【解析】选B.设底面圆半径为R尺因为米堆底部弧长为8尺，所以2R8，所以R.所以体积VR2525.因为3，所以V(立方尺).所以堆放的米约为22(斛).3分别以一个锐角为30的直角三角形的最短直角边、较长直角边、斜边所在的直线为轴旋转一周，所形成的几何体的体积之比是()A1 B62C623 D326【解析】选C.设RtABC中，BAC30，BC1，则AB2，AC，求得斜边上的高CD，旋转所得几何体的体
10、积分别为V1()21，V212，V32.V1V2V31623.4(多选)(2021寿光高一检测)沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时如图，某沙漏由上下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为8 cm，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的(细管长度忽略不计).假设该沙漏每秒钟漏下0.02 cm3的沙，且细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆以下结论正确的是()A.沙漏中的细沙体积为 cm3B沙漏的体积是128cm3C细沙全部漏入下部后此锥形沙堆的高度
11、约为2.4 cmD该沙漏的一个沙时大约是1985秒(3.14)【解析】选ACD.A.根据圆锥的截面图可知：细沙在上部时，细沙的底面半径与圆锥的底面半径之比等于细沙的高与圆锥的高之比，所以细沙的底面半径r4(cm)，所以体积Vr2(cm3)；B沙漏的体积V2h2428(cm3)；C设细沙流入下部后的高度为h1，根据细沙体积不变可知：h1，所以h1，所以h12.4(cm)；D因为细沙的体积为cm3，沙漏每秒钟漏下0.02 cm3的沙，所以一个沙时为：501 985(秒).二、填空题5若正方体的体对角线长为a，则它的体积为_【解析】设正方体的边长为x，则xa，故x，Va3.答案：a36圆柱形容器内盛
12、有高度为8 cm的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的半径是_cm.【解析】设球的半径为x cm，由题意得x28x26xx33，解得x4.答案：47如图，一个正三棱柱容器，底面边长为a，高为2a，内装水若干，将容器放倒，把一个侧面作为底面，如图，这时水面恰好为中截面，则图中容器内水面的高度是_【解析】设题图中容器内水面的高度为h，水的体积为V，则VSABCh.又题图中水组成了一个直四棱柱，其底面积为SABC，高度为2a，则VSABC2a，所以ha.答案：a8湖面上漂着一个小球，湖水结冰后将球取出，冰面上留下了一个直径为6 cm，深为
13、1 cm的空穴，则该球半径是_cm，表面积是_cm2.【解析】设球心为O，OC是与冰面垂直的一条半径，冰面截球得到的小圆圆心为D，AB为小圆D的一条直径，设球的半径为R cm，则ODR1，则(R1)232R2，解得R5，所以该球表面积为S4R2452100(cm2).答案：5100三、解答题9如图，已知在直三棱柱ABCA1B1C1中AA1AC4，BC3，ACBC，点D是AB的中点，求三棱锥A1B1CD的体积【思路导引】方法一：VA1B1C DV柱VA1ADCVB1BDCVC A1B1C1.方法二：利用等体积法求解，VA1B1C DVC A1B1D.【解析】因为AA1AC4，BC3，ACBC，所
14、以ABA1B15.方法一：由题意可知VA1B1C1ABCSABCAA143424.又VA1ADCSABCAA1SABCAA14.VB1BDCSABCBB1SABCBB14.VC A1B1C1SA1B1C1CC18，所以VA1B1CDVA1B1C1ABCVA1ADCVB1BDCVC A1B1C1244488.方法二：在ABC中过C作CFAB，垂足为F，由平面ABB1A1平面ABC知，CF平面A1B1BA.又SA1B1DA1B1AA15410.在ABC中，CF.所以VA1B1CDVC A1B1DSA1B1DCF108.10如图所示，半径为R的半圆内的阴影部分以直径AB所在直线为轴，旋转一周得到一个几何体，求阴影部分形成的几何体的表面积(其中BAC30)及其体积【解析】如图所示，过点C作CO1AB于点O1，在半圆中可得BCA90，BAC30，AB2R，所以ACR，BCR，CO1R，所以S球4R2，S圆锥AO1侧RRR2，S圆锥BO1侧RRR2，S几何体表S球S圆锥AO1侧S圆锥BO1侧R2，所以旋转所得到的几何体的表面积为R2.又V球R3，V圆锥AO1AO1COR2AO1，V圆锥BO1BO1COR2BO1，又AO1BO12R，V几何体V球(V圆锥AO1V圆锥BO1)R3.