1、单元形成性评价(三)(第11章)(120分钟150分)一、单选题(每小题5分，共40分)1在ABC中，A60，B75，a10，则c等于()A5 B10 C D5【解析】选C.因为A60，B75，所以C180AB45，所以由正弦定理知c.2ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a，c2，cos A，则b()A B C2 D3【解析】选D.由余弦定理得4b222b cos A5，整理得3b28b30，解得b3或b(舍).3在ABC中，A60，a，则()A B C D2【解析】选B.由正弦定理和比例的性质可得.4在ABC中，若2且BAC30，则ABC的面积为()A B2 C D【解析】选
2、C.由已知得|cos 302，所以|，SABC|sin 30.5在ABC中，D是边BC上一点，若ADAC，sin BAC，AD3，AB3，BD()A B2 C2 D3【解析】选A.画出图象如图所示由诱导公式得sin BACsin cos BAD，在三角形ABD中，由余弦定理得BD.6在ABC中，已知a2，则b cos Cc cos B等于()A2 B C1 D4【解析】选A.由余弦定理得b cos Cc cos Bbca2.7ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b cos A(2ca)cos B，c2，a1，则ABC的面积是()A B C1 D【解析】选B.ABC的内角A，B，C
3、的对边分别为a，b，c，已知b cos A(2ca)cos B，利用正弦定理得sin B cos A2sin C cos Bsin A cos B，整理得：sin (AB)sin C2sin C cos B，由于sin C0，所以cos B，由于0B，则B.由于c2，a1，则SABCac sin B21.【加固训练】设a，b，c分别是ABC的内角A，B，C的对边，已知(bc)sin (AC)(ac)(sin Asin C)，则A的大小为()ABCD【解析】选C.因为ABC，所以sin (AC)sin B，所以已知等式可化为(bc)sin B(ac)(sin Asin C)，所以由正弦定理可得：
4、(bc)b(ac)(ac)，整理可得：b2c2a2bc，所以由余弦定理可得：cos A，由A(0，)，可得A.8一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱OA，为了测量喷水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的D处测得喷水柱顶端的仰角为45，沿D向北偏东30方向前进100 m后到达C处，在C处测得喷水柱顶端的仰角为30，则喷水柱的高度是()A50 m B100 m C120 m D150 m【解析】选A.如图所示， AO平面OCD，CD100 m，ACO30，ADO45，ODC60.设OAh，在RtOAD中，ODh，同理可得：OCh，在OCD中，OC2OD2CD22ODCDcos 60，所以(h)2h21
5、0022h100，化为：h250h5 0000，解得h50，因此喷水柱的高度是50 m【加固训练】从高出海平面h米的小岛看到正东方向有一只船俯角为30，南偏西60方向有一只船俯角为45，则此时两船间的距离为()A2h米Bh米Ch米 D2h米【解析】选C.根据题意作出图形(如图)，AB平面BCD，ABh，ACB45，ADB30，CBD150，所以BCh，BDh，所以CDh米二、多选题(每小题5分，共20分，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)9三角形有一个角是60，相邻两边长分别为8和5，则下列结论正确的是()A三角形另一边长为7B三角形周长为20C三角形内切圆周长为3D三角形
6、外接圆面积为【解析】选ABD.根据余弦定理可得8252285cos 6049，即另一边长为7，故该三角形周长为20，故A，B正确；设内切圆半径为r，则(875)r85sin 60，解得r，故内切圆周长为2r2，C不正确；设外接圆半径为R，则2R，解得R，其面积为R2.10若ABC为钝角三角形，且a2，b3，则边c的长可能为()A2 B3 C D4【解析】选AD.由三角形的边长能构成三角形，有1c5，又ab，所以在ABC中钝角可能为角B或角C.则cos B0或cos C0，所以4c290或49c20，解得1c或c5，所以选项A，D满足【光速解题】本题直接求解略显复杂，可以直接利用余弦定理验证即可
7、本题A选项较易验证cos B0，故最大角C为锐角，从而ABC为锐角三角形，故此选项不符合题意；D选项不需要验证即可判断(多选题至少有两项满足，则D项必定成立).11已知ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且A60，b2，c1，则下列说法正确的是()AC75或C105BB45CaD该三角形面积为【解析】选BC.由余弦定理得a2b2c22bc cos A44222(1)6，所以a.由正弦定理，所以sin B，由于0B120，所以B45，C180AB75.ABC的面积Sbc sin A2(1).12已知a，b，c分别为ABC的三个内角A，B，C的对边，C45，c，ax，若满足条件的三角形
8、有两个，则x的值可能为()A1B1.5C1.8D2【解析】选BC.在ABC中，由C45，c，ax，则a sin Cx sin 45x，要使得三角形有两个，则满足xcx，即xx，解得x2，即x的取值范围是，结合选项BC正确三、填空题(每小题5分，共20分)13在ABC中，a3，b2，cos C，则ABC的面积为_【解析】因为cos C，0C，所以sin C.所以SABCab sin C324.答案：414在ABC中，已知a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若b2a，BA60，则A_【解析】因为b2a，所以sin B2sin A，又因为BA60，所以sin (A60)2sin A，即sin A
9、cos 60cos A sin 602sin A，化简得：sin Acos A，所以tan A，又0A180，所以A30.答案：30【加固训练】在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a，b2，A60，则sin B_，c_.【解析】由正弦定理得，得sin B.由余弦定理得cos A，解得c3(负值舍去).答案：315.(2019浙江高考)在ABC中，ABC90，AB4，BC3，点D在线段AC上，若BDC45，则BD_，cos ABD_.【解析】在ABD中，由正弦定理有：，而AB4，ADB，AC5，sin BAC，cos BAC，所以BD.cos ABDcos (BDCBAC)cos
10、 cos BACsin sin BAC.答案：16如图，一位同学从P1处观测塔顶B及旗杆顶A的仰角分别为和90.后退l(单位：m)至点P2处再观测塔顶B，仰角变为原来的一半，设塔CB和旗杆BA都垂直于地面，且C，P1，P2三点在同一条水平线上，则塔CB的高为_m；旗杆BA的高为_m.(用含有l和的式子表示)【解析】设BCx m，在RtBCP1中，BP1C，在RtP2BC中，P2，因为BP1CP1BP2P2，所以P1BP2，即P1BP2为等腰三角形，P1BP1P2l，所以BCxl sin .在RtACP1中，tan (90)，所以AC，则ABACBCl sin .答案：l sin 四、解答题(本
11、大题共6小题，共70分解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)17(10分)(2019天津高考)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知bc2a，3c sin B4a sin C.(1)求cos B的值(2)求sin 的值【解析】(1)在ABC中，由正弦定理，得b sin Cc sin B，又由3c sin B4a sin C，得3b sin C4a sin C，因为sin C0，所以3b4a.又因为bc2a，得到ba，ca.由余弦定理可得cos B.(2)由(1)可得sin B，sin2B2sin B cos B，cos 2Bcos2Bsin2B，故sinsin 2B
12、 cos cos 2B sin .18(12分)在ABC中，求证：.【证明】左边2右边所以原式成立19(12分)在ABC中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且满足cb sin Ab cos A.(1)求B的大小(2)若角A的平分线与BC相交于D点，ADAC，BD2，求CD的长【解析】(1)因为cb sin Ab cos A，所以sin Csin B sin Asin B cos Asin (AB)，所以sin B sin Asin B cos Asin A cos Bcos A sin B，所以sin B sin Asin A cos B，又sin A0，所以sin Bcos B，所以t
13、an B1，所以B45.(2)由ADAC得ACDADC，设BADDAC，ACDADC，所以所以AB，AD2，所以AC2，所以CD288284(1)2，所以CD2(1).20(12分)已知菱形ABCD的边长为2，DAB60.E是边BC上一点，线段DE交AC于点F.(1)若CDE的面积为，求DE的长(2)若CF4DF，求sin DFC.【解析】(1)依题意，得BCDDAB60.因为CDE的面积SCDCEsin BCD，所以2CE，解得CE1.在CDE中，由余弦定理得DE.(2)方法一：连接BD，依题意，得ACD30，BDC60，设CDE，则060.在CDF中，由正弦定理得，因为CF4DF，所以si
14、n ，所以cos ，所以sin DFCsin (30).方法二：连接BD，依题意，得ACD30，BDC60，设CDE，则060，设CF4x，因为CF4DF，则DFx，在CDF中，由余弦定理，得DF2CD2CF22CDCF cos ACD，即7x2416x28x，解得x，或x.又因为CFAC，所以x，所以x，所以DF，在CDF中，由正弦定理得，所以sin DFC.21(12分)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知3cos (BC)16cos B cos C(1)求cos A.(2)若a3，ABC的面积为2，求b，c.【解析】(1)因为3(cos B cos Csin B sin
15、C)16cos B cos C，所以3cos B cos C3sin B sin C1，所以3cos (BC)1，所以cos (A)，所以cos A.(2) 由(1)得sin A，由面积公式bc sin A2可得bc6，根据余弦定理得cos A，则b2c213，两式联立可得b2，c3或b3，c2.22.(12分)如图，观测站C在目标A的南偏西20方向，经过A处有一条南偏东40走向的公路，在C处观测到与C相距31 km的B处有一人正沿此公路向A处行走，走20 km到达D处，此时测得C，D相距21 km，求D，A之间的距离【解析】由已知，得CD21 km，BC31 km，BD20 km.在BCD中，由余弦定理，得cos BDC.设ADC，则cos ，sin .在ACD中，由正弦定理得，得，所以ADsin (60)15(km)，即所求的距离为15 km.【拓展延伸】解三角形应用题常见的情况(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个(或两个以上)三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求出其他三角形中的解有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程，解方程得出所要求的解