1、第1课时余弦定理(1)余弦定理公式表达a2=b2+c2-2bccos A,b2=a2+c2-2accos B,c2=a2+b2-2abcos C语言叙述三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍推论cos A=,cos B=,cos C=2.三角形的元素与解三角形(1)三角形的元素三角形的三个角A，B，C和它们的对边_a，b，c叫作三角形的元素(2)解三角形已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫作解三角形1在ABC中，已知B120，a3，c5，则b等于()A4 BC7 D5【解析】选C.b2a2c22ac cos B3252235cos 12049，所以b7(
2、负值舍去).2在ABC中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，C60，a4b，c，则b()A1 B2 C3 D【解析】选A.由余弦定理知()2a2b22ab cos 60，因为a4b，所以1316b2b224bb，解得b1(负值舍去).3(教材练习改编)已知a，b，c是ABC的三边长，若满足等式(abc)(abc)ab，则角C的大小为()A60 B90C120 D150【解析】选C.由(abc)(abc)ab，得(ab)2c2ab，所以c2a2b2aba2b22ab cos C，所以cos C，所以C120.4在ABC中，若2a cos Bc，则ABC的形状一定是()A等腰直角三角形B直角三
3、角形C等腰三角形D等边三角形【解析】选C.因为2a cos Bc，所以2ac，所以a2b2，所以ab.故ABC为等腰三角形5已知在ABC中，a1，b2，C60，则c_【解析】由余弦定理，得c21222212cos 603，所以c.答案：6在ABC中，已知a5，b3，角C的余弦值是方程5x27x60的根，求第三边c的长【解析】5x27x60可化为(5x3)(x2)0，所以x1，x22，所以cos C.根据余弦定理得，c2a2b22ab cos C523225316，所以c4，即第三边c的长为4.一、单选题1在ABC中，若AB，BC3，C120，则AC()A1 B2 C3 D4【解析】选A.由余弦
4、定理得，AB2BC2AC 22BCAC cos C，将各值代入得AC23AC40，解得AC1或AC4(舍去).2在ABC中，a7，b4，c，则ABC的最小角为()A B C D【解析】选B.由三角形边角关系可知，角C为ABC的最小角，则cos C，因为C(0，)，所以C.3在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a4，b3，c，则C()A30 B45 C60 D120【解析】选C.由题可知cos C，因为C，故C60.4在ABC中，若a3，c7，C60，则b为()A5 B8C5或8 D5或8【解析】选B.由余弦定理得c2a2b22ab cos C，即499b23b，所以(b8)(b
5、5)0.因为b0，所以b8.5在ABC中，a2b2c2bc，则A等于()A60 B45 C120 D150【解析】选D.在ABC中，因为a2b2c2bc所以b2c2a2bc，由余弦定理可得cos A.又因为A(0，)，所以A150.6在ABC中，AB3，BC，AC4，则AC边上的高为()A B C D3【解析】选B.由BC2AB2AC22ABAC cos A，可得13916234cos A，得cos A .因为A为ABC的内角，所以A，所以AC边上的高为ABsin A3.二、填空题7在ABC中，边a，b的长是方程x25x20的两个根，C60，则边c_【解析】由题意得：ab5，ab2.由余弦定理
6、得c2a2b22ab cos Ca2b2ab(ab)23ab523219，所以c.答案：8在ABC中，已知b3，c3，B30，则角C_.【解析】由余弦定理b2a2c22ac cos B，得32a2(3)22a3cos 30，所以a29a180，得a3或6.当a3时，A30，所以C120.当a6时，因为32(3)29273662.所以A90，所以C60.答案：60或1209ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c满足b2ac，且c2a，则cos B_；sin B_【解析】因为b2ac，且c2a，所以cos B，sin B.答案：10在点O的正上方有气球P，从点O的正西方A点，测
7、得气球P的仰角为30，同时从点O南偏东60的B点，测得气球P的仰角为45.若A，B两点的距离为10m，则气球P离地面的距离为_m.【解析】依题意可得图形，且OAP30，AOB150，OBP45，AB10，AOPPOB90，设OPx，则OBx，AOx，在AOB中由余弦定理可得AB2AO2BO22AOBOcos AOB，即(10)2(x)2x22xxcos 150，解得x10或x10(舍去).答案：10三、解答题11在ABC中，已知a2，b62，c4，求A，B，C.【解析】根据余弦定理的推论得，cos A.因为A(0，)，所以A，cos C，因为C(0，)，所以C.所以BAC，所以A，B，C.12
8、已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(ac)2b2ac.(1)求cos B的值；(2)若b，且ac2b，求ac的值【解析】(1)由(ac)2b2ac，可得a2c2b2ac.所以，即cos B.(2)因为b，cos B，由余弦定理得b213a2c2ac(ac)2ac，又ac2b2，所以1352ac，解得ac12.一、选择题1已知三角形三边之比为573，则最大角为()A90 B120 C135 D150【解析】选B.因为三角形三边之比为573，所以设三边长分别为5a，7a，3a，所以长为7a的边对的角最大，设这个角为，由余弦定理得cos ，因为是三角形的内角，所以120.2在ABC
9、中，若(ac)(ac)b(bc)，则A等于()A90 B60C120 D150【解析】选B.因为(ac)(ac)b(bc)，所以b2c2a2bc，所以cos A.因为0A180，所以A60.3李华要去投放两类垃圾，他从自家楼下出发，向正北方向走了80米，到达有害垃圾桶，随后向南偏东60方向走了30米，到达可回收物垃圾桶，则他回到自家楼下至少还需走()A50米 B57米 C64米 D70米【思路导引】画出图形，在ABC中，利用余弦定理，即可求解AC的长，得到答案【解析】选D.由题意，设李华家为A，有害垃圾点为B，可回收垃圾点为C，则李华的行走路线，如图所示在ABC中因为AB80，BC30，B60
10、，由余弦定理可得AC70米，即李华回到自家楼下至少还需走70米4(多选)在ABC中，a5，b7，c8，则下列角的正弦值等于的是()A角B B角CC角AB D角AC【解析】选AD.cos B，则B60，AC120，则sin B，sin (AC).二、填空题5已知ABC的三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b2，a2，B60，则边c_【解析】由余弦定理得b2a2c22ac cos B4c22c12，解得c2(舍去)或c4.答案：46在ABC中，a，b，c为角A，B，C的对边，且b2ac，则B的取值范围是_【解析】cos B，因为0B，所以B.答案：7在ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b
11、，c.若cb，cos Bcos C，a，则SABC_【解析】因为cos Bcos C，所以，结合cb，化简得ab，从而有b2c2a2，即ABC为直角三角形，将cb，a代入b2c2a2，得b1，于是c，所以SABCbc.答案：8在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a3，b4，c6，则bc cos Aac cos Bbc cos C的值是_【解析】因为cos A，所以bc cos A(b2c2a2)，同理ac cos B(a2c2b2)，ab cos C(a2b2c2)，所以bc cos Aac cos Bab cos C(a2b2c2).答案：三、解答题9在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知2c23ab.(1)求C的值；(2)若ABC的面积为，c，求a，b的值【解析】(1)将等式(ab)2c23ab变形为a2b2c2ab，由余弦定理得cos C，因为0C，故C.(2)由题意有整理得解得或10在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，c2a cos B.(1)判断ABC的形状；(2)若c1，C，求ABC的面积【解析】(1)因为c2a cos B，所以c2a，所以a2c2b2c2，即a2b2，所以ab，ABC为等腰三角形(2)由(1)知ab，所以cos C，解得a22，所以SABCab sin Ca2sin C.