1、2.3数学归纳法课时目标1.了解数学归纳法的原理.2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.3.掌握数学归纳法的实质及与归纳，猜想的关系.4.能运用数学归纳法解决实际问题1数学归纳法公理对于某些_的数学命题，可以用数学归纳法证明2证明步骤对于某些与正整数有关的数学命题，如果(1)当n_结论正确(2)假设当_时结论正确，证明当_时结论也正确那么，命题对于从n0开始的所有正整数n都成立一、填空题1用数学归纳法证明1aa2an1(a1，nN*)，在验证n1时，等号左边的项是_2用数学归纳法证明“2nn21对于nn0的自然数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取_3已知f(n)1(nN*)，证明不
2、等式f(2n)时，f(2k1)比f(2k)多了_项4设f(n) (nN*)，那么f(n1)f(n)_.5用数学归纳法证明“(n1)(n2)(nn)2n13(2n1)”，从“nk到nk1”左端需增乘的代数式为_6用数学归纳法证明：123n2时，则nk1时的左端应在nk时的左端加上_7用数学归纳法证明：12222n12n1 (nN*)的过程如下：(1)当n1时，左边1，右边2111，等式成立(2)假设当nk时等式成立，即12222k12k1，则当nk1时，12222k12k2k11.所以当nk1时等式也成立由此可知对于任何nN*，等式都成立上述证明的错误是_8已知数列an的前n项和为Sn，且a11
3、，Snn2an (nN*)依次计算出S1，S2，S3，S4后，可猜想Sn的表达式为_二、解答题9试比较2n2与n2的大小(nN*)，并用数学归纳法证明你的结论10在数列an中，a1，an1(n1,2,3，)(1)求a2，a3；(2)猜想数列an的通项公式，并用数学归纳法证明你的结论能力提升11已知f(n)(2n7)3n9，存在正整数m，使得对任意nN*都能使m整除f(n)，则最大的m的值为多少？并证明之12等比数列an的前n项和为Sn，已知对任意的nN*，点(n，Sn)均在函数ybxr(b0且b1，b，r均为常数)的图象上(1)求r的值；(2)当b2时，记bn2(log2an1)(nN*)，证
4、明：对任意的nN*，不等式成立1数学归纳法在证明与正整数n有关的等式、不等式、整除问题及数列问题中有广泛的应用2在证明nk1时的命题中，怎样变形使之出现nk时的命题的形式是解决问题的关键，要找清nk1时式子结构或几何量的改变答 案知识梳理1与正整数有关2(1)取第一个值n0(例如n01,2等)时(2)nk (kN*，且kn0)nk1作业设计11aa2解析当n1时，an1a2.等号左边的项是1aa2.25解析当n取1、2、3、4时2nn21不成立，当n5时，253252126，第一个能使2nn21的n值为5.32k解析观察f(n)的表达式可知，右端分母是连续的正整数，f(2k)1，而f(2k1)
5、1.因此f(2k1)比f(2k)多了2k项4.52(2k1)6(k21)(k22)(k1)27没有用到归纳假设，不是数学归纳法8Sn解析S11，S2，S3，S4，猜想Sn.9证明当n1时，2124n21，当n2时，2226n24，当n3时，23210n29，当n4时，24218n216，由此可以猜想，2n2n2 (nN*)成立下面用数学归纳法证明：当n1时，左边2124，右边1，所以左边右边，所以原不等式成立当n2时，左边2226，右边224，所以左边右边；当n3时，左边23210，右边329，所以左边右边假设nk时(k3且kN*)时，不等式成立，即2k2k2，那么nk1时，2k1222k22
6、(2k2)22k22.要证当nk1时结论成立，只需证2k22(k1)2，即证k22k30，即证(k1)(k3)0.又k10，k30，(k1)(k3)0.所以当nk1时，结论成立由可知，nN*,2n2n2.10解(1)a2，a3.(2)猜想an，下面用数学归纳法证明此结论正确证明：当n1时，结论显然成立假设当nk(kN*)时，结论成立，即ak，那么ak1.也就是说，当nk1时结论成立根据可知，结论对任意正整数n都成立，即an.11解f(1)36，f(2)108336，f(3)3601036，f(1)，f(2)，f(3)能被36整除，猜想f(n)能被36整除证明：n1,2时，由上得证，假设nk(k
7、N*，k2)时，f(k)(2k7)3k9能被36整除，则nk1时，f(k1)f(k)(2k9)3k1(2k7)3k(6k27)3k(2k7)3k(4k20)3k36(k5)3k2(k2)f(k1)能被36整除因此，对任意nN*，f(n)都能被36整除又f(1)不能被大于36的数整除，所求最大的m值等于36.12(1)解由题意：Snbnr，当n2时，Sn1bn1r.所以anSnSn1bn1(b1)，由于b0且b1，所以n2时，an是以b为公比的等比数列又a1br，a2b(b1)，b，即b，解得r1.(2)证明当b2时，由(1)知an2n1，因此bn2n(nN*)，所证不等式为.当n1时，左式，右式.左式右式，所以结论成立，假设nk(kN*)时结论成立，即，则当nk1时，.要证当nk1时结论成立，只需证，即证，由基本不等式成立，故成立，所以当nk1时，结论成立由可知，nN*时，不等式成立