1、 第1页 共5页20232024 学年高三质量检测（一）数学参考答案一、选择题本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。题号12345678答案CADDACBB二、选择题本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分。题号9101112答案ABACACDACD三、填空题本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。133551416015531643,2 四、解答题本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算
2、步骤。17（10 分）解：（1）设该等差数列的公差为，等比数列的公比为，由已知得1+=11+3=12，.2 分因为数列为正项数列，为正项递增数列，所以=2，=1，.4 分所以=1+(1)1=，=1 21=21.6 分（2）由已知得=,为奇数21,为偶数，.7 分所以数列的前2项和为2=(1+3+21)+(2+4+2)=(1+3+2 1)+(21+23+221).8 分=(1+2 1)2+21 (1 4)1 4=32+22+123.10 分18（12 分）证：（1）底面为正方形，.1 分 又 ，=,平面，.3 分 平面，.4 分#QQABAQgAoggIQBAAABhCQQ1yCgGQkBACC
3、AgOwBAEoAAACQFABAA=#第2页 共5页 平面，.5 分平面 平面.6 分解：（法一）（2）取中点为，连结，在中，=，=60，,为等边三角形平面 平面，平面 平面=，平面，平面，.7 分以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设底面正方形的边长为 2，(0,0,3)，(1,0,0)，(1,2,0)，(1,2,0)，(1,0,0)，=(1,2,3)，=(1,2,3)，.9 分设平面的一个法向量=(,)，则 =0 =0，即+2 3=0+2 3=0，令=3，则=0，=23，=(0,3,23)，.10 分由（1）可知平面的一个法向量=(0,1,0)，.11 分设平面与平面的夹角为，则
4、 =|=3211=217，平面与平面夹角的余弦值为217 .12 分 （法二）（2）设平面与平面的交线为，/，平面，平面，/平面，又 平面，/，/，平面与平面有一个交点，为过点且与平行的一条直线，如下图，.7 分取中点为，取中点为，连结，底面四边形为正方形，,分别为,的中点，/，又 平面，平面，.8 分 平面，PABCD(第 18 题图 1)Oyzx#QQABAQgAoggIQBAAABhCQQ1yCgGQkBACCAgOwBAEoAAACQFABAA=#第3页 共5页 ，在中，=，为的中点，又 =，,平面，平面，又为锐角，为平面与平面的夹角，.10 分设底面正方形的边长为 2，在中，=2+2
5、=7，=37=217，平面与平面夹角的余弦值为217 .12 分19（12 分）解：（1）由正弦定理得 +3 =，.2 分因为 =(+)=(+)，所以 +3 =(+)，.3 分即 +3 =+，2 =，而 0，所以 =12，.5 分又因为 (0,)，所以=23.6 分（2）因为 =1314，(0,)，所以 =1 2 =3314，.7 分 =(+)=23+23=5314，.8 分由正弦定理 =，得55314=3314=32，PABCD(第 18 题图 2)OMl#QQABAQgAoggIQBAAABhCQQ1yCgGQkBACCAgOwBAEoAAACQFABAA=#第4页 共5页解得=3，=7，
6、.10 分则=2，所以=12 =12 2 3 5314=15314 .12 分20（12 分）解：（1）记“质检员甲认定一箱产品合格”为事件，“该箱产品不含次品”为事件，则()=0.8 1+0.1 93103+0.1 83103=1112，.3 分()=0.8=45，.4 分由条件概率公式得(|)=()()=451112=4855，所以在质检员甲认定一箱产品合格的条件下，该箱产品不含次品的概率为4855.6 分（2）由题意可得可以取0，1，2，.7 分则(=0)=()=1112，.8 分(=1)=0.1 1192103+0.1 2182103=23300，.9 分(=2)=0.1 228110
7、3=1150，.10 分所以随机变量的分布列为0121112233001150.11 分所以()=0 325+1 23300+2 1150=9100.12 分21（12 分）解：（1）()=，.1 分当 0时，由()0，()在上单调递增，.2 分当 0时，由()=0，可得=，(,)时，()0，()单调递增.4 分当 0时，()在上单调递增；当 0时，()在区间(,)上单调递减，在区间(,+)上单调递增（2）设()=+(+1)1(0)，则()=+1+1 ，.5 分（i）当 1时，()=+1+1 1 0，.6 分()在区间0,+)上单调递增，则()(0)=0恒成立，.7 分（ii）当 1时，令()
8、=+1+1 ，则()=1(+1)2，.8 分#QQABAQgAoggIQBAAABhCQQ1yCgGQkBACCAgOwBAEoAAACQFABAA=#第5页 共5页令()=1(+1)2，则()=+2(+1)3 0，()在区间0,+)上单调递增，则()(0)=0，()在区间0,+)上单调递增，则()(0)=2 ，.9 分若1 2，则(0)0，0 (0,+1)，使得(0)=0，()在区间0,0)上单调递减，则(0)(0)=0，与条件矛盾，.11 分综上所述，实数的取值范围为(,2.12 分22（12 分）解：（1）由双曲线定义可知|1|2|=2=2，=1，.1 分又由|12|=4，=2，.2 分
9、 2+2=2，=3，.3 分双曲线的方程为2 23=1.4 分（2）（i）设(0,0)，(1,1)，(2,2)，则1=31，2=32，将+可得1+2=3(1 2)，将可得1 2=3(1+2)，.5 分1+23(1+2)=3(12)12，即1+21+2=3(12)12，.6 分由题可知|=|，1+2=20，1+2=20，00=3(12)12，即=300，.7 分直线的方程为 0=300(0)，即30 0=302 02，又点在上，302 02=3，则30 0=3，.8 分将方程联立2 23=1，30 0=3，得(02 302)2+60 3 02=0，32+60 302=0，由=0可知方程有且仅有一个解，与有且仅有一个交点.9 分（ii）由（2）（i）联立=3，30 0=3，可得1=3300，同理可得2=330+0，.10 分|=12+12 22+22=4|12|=4 330202=4，.11 分 1|+2|=1|+|2 21|2=2，当且仅当1|=|2 即|=2时取等号 又|(0,+)，1|+2|的取值范围为2,+).12 分#QQABAQgAoggIQBAAABhCQQ1yCgGQkBACCAgOwBAEoAAACQFABAA=#
