1、2016-2017学年宁夏六盘山高级中学高二（下）开学数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1下列命题正确的有（）（1）很小的实数可以构成集合；（2）集合y|y=x21与集合（x，y）|y=x21是同一个集合；（3）这些数组成的集合有5个元素；（4）集合（x，y）|xy0，x，yR是指第二和第四象限内的点集A0个B1个C2个D3个2复数等于（）A +iBiC+iDi3已知，则f（1+log35）=（）A15BC5D4在ABC中，则A等于（）A30B45C60D1205“a=1”是“复数a21+（a+1）i（aR，i为虚数单位）是纯虚数”
2、的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件6双曲线的渐近线方程为（）ABCD7如图所示，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为1，那么这个几何体的体积为（）ABCD18等比数列an的各项均为正数，且a5a6+a2a9=18，则log3a1+log3a2+log3a10的值为（）A12B10C8D2+log359由直线y=x+1上的一点向圆（x3）2+y2=1引切线，则切线长的最小值为（）A1B2CD310将函数y=cos2x的图象上的所有点向左平移个单位长度，再把所得图象向上平移1个单位长度，所得图象的函数解析式是（
3、）ABCD11椭圆两焦点为F1（4，0）、F2（4，0），P在椭圆上，若PF1F2的面积的最大值为12，则椭圆方程是（）A +=1B +=1C +=1D +=112如图，正方体AC1的棱长为1，过点A作平面A1BD的垂线，垂足为点H，则以下命题中，错误的命题是（）A点H是A1BD的垂心BAH垂直平面CB1D1CAH的延长线经过点C1D直线AH和BB1所成角为45二、填空题（本大题共4小题，每小题5分.）13若一个正方体的顶点都在同一球面上，则球与该正方体的体积之比为 14随机掷两枚质地均匀的骰子，它们向上的点数之和不超过5的概率为15已知=（1，1），=（4，1），=（4，5），则与夹角的余弦
4、值为16如果关于x的不等式2kx2+kx0对一切实数x都成立，那么k的取值范围是三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17在ABC中，a、b是方程x22+2=0的两根，且2cos（A+B）=1（1）求角C的度数；（2）求c；（3）求ABC的面积18假设某种设备使用的年限x（年）与所支出的维修费用y（元）有以下统计资料：使用年限x23456维修费用y2.23.85.56.57.0参考数据：，如果由资料知y对x呈线性相关关系试求：（1）；（2）线性回归方程=bx+a（3）估计使用10年时，维修费用是多少？19如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，已知E为棱CC1上的动点（1
5、）求证：A1EBD；（2）是否存在这样的E点，使得平面A1BD平面EBD？若存在，请找出这样的E点；若不存在，请说明理由20在等差数列an中，a1=1，前n项和Sn满足条件=4，n=1，2，（1）求数列an的通项公式和Sn；（2）记bn=，求数列bn的前n项和Tn21如图，点A，B分别是椭圆的长轴的左右端点，点F为椭圆的右焦点，直线PF的方程为：且PAPF（1）求直线AP的方程；（2）设点M是椭圆长轴AB上一点，点M到直线AP的距离等于|MB|，求椭圆上的点到点M的距离d的最小值22如图所示，已知直二面角AB，P，Q，PQ与平面，所成的角都为30，PQ=4，PCAB，C为垂足，QDAB，D为垂
6、足，求：（1）直线PQ与CD所成角的大小（2）四面体PCDQ的体积2016-2017学年宁夏六盘山高级中学高二（下）开学数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1下列命题正确的有（）（1）很小的实数可以构成集合；（2）集合y|y=x21与集合（x，y）|y=x21是同一个集合；（3）这些数组成的集合有5个元素；（4）集合（x，y）|xy0，x，yR是指第二和第四象限内的点集A0个B1个C2个D3个【考点】集合的含义【分析】（1）（3）中由集合元素的性质：确定性、互异性可知错误；（2）中注意集合中的元素是什么；（4）中注意
7、x=0或y=0的情况【解答】解：（1）中很小的实数没有确定的标准，不满足集合元素的确定性；（2）中集合y|y=x21的元素为实数，而集合（x，y）|y=x21的元素是点；（3）有集合元素的互异性这些数组成的集合有3个元素；（4）集合（x，y）|xy0，x，yR中还包括实数轴上的点故选A2复数等于（）A +iBiC+iDi【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】分子分母同乘以分母的共轭复数化简可得【解答】解：化简可得=故选：B3已知，则f（1+log35）=（）A15BC5D【考点】分段函数的应用【分析】判断1+log35的范围，利用分段函数化简求解即可【解答】解：1+log35（0，1），f（1
8、+log35）=f（1+log35+1）=f（log35）=5，故选：C4在ABC中，则A等于（）A30B45C60D120【考点】正弦定理【分析】利用正弦定理列出关系式，将sinB，a，b的值代入求出sinA的值，即可确定出A的度数【解答】解：在ABC中，a=1，b=，B=120，由正弦定理=，得：sinA=，ab，AB，A=30故选A5“a=1”是“复数a21+（a+1）i（aR，i为虚数单位）是纯虚数”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】利用纯虚数的定义，先判断充分性再判断必要性【解答】解：当a=1时，复
9、数a21+（a+1）i=2i为纯虚数，满足充分性；当a21+（a+1）i是纯虚数时，有a21=0，且a+10，解得a=1，满足必要性综上，“a=1”是“复数a21+（a+1）i（aR），i为虚数单位）是纯虚数”的充要条件，故选：C6双曲线的渐近线方程为（）ABCD【考点】双曲线的简单性质【分析】利用双曲线方程，直接求解双曲线的渐近线方程即可【解答】解：双曲线的渐近线方程为：故选：A7如图所示，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为1，那么这个几何体的体积为（）ABCD1【考点】由三视图求面积、体积【分析】此题为一三棱锥，且同一点出发的三条棱长度
10、为1，可以以其中两条棱组成的直角三角形为底，另一棱为高，利用体积公式求得其体积【解答】解：根据三视图，可知该几何体是三棱锥，右图为该三棱锥的直观图，并且侧棱PAAB，PAAC，ABAC则该三棱锥的高是PA，底面三角形是直角三角形，所以这个几何体的体积，故选A8等比数列an的各项均为正数，且a5a6+a2a9=18，则log3a1+log3a2+log3a10的值为（）A12B10C8D2+log35【考点】等比数列的前n项和【分析】利用等比数列的性质化简已知条件，然后利用对数的运算法则化简求解log3a1+log3a2+log3a10的值即可【解答】解：等比数列an的各项均为正数，且a5a6+
11、a2a9=18，可得a5a6=9，则log3a1+log3a2+log3a10=log3（a1a2a10）=log3（a5a6）5=5log39=10故选：B9由直线y=x+1上的一点向圆（x3）2+y2=1引切线，则切线长的最小值为（）A1B2CD3【考点】圆的切线方程【分析】先求圆心到直线的距离，此时切线长最小，由勾股定理不难求解切线长的最小值【解答】解：切线长的最小值是当直线y=x+1上的点与圆心距离最小时取得，圆心（3，0）到直线的距离为d=，圆的半径为1，故切线长的最小值为，故选C10将函数y=cos2x的图象上的所有点向左平移个单位长度，再把所得图象向上平移1个单位长度，所得图象的
12、函数解析式是（）ABCD【考点】函数y=Asin（x+）的图象变换；由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式【分析】根据左加右减的原则先进行左右平移，然后由上加下减的原则进行上下平移【解答】解：将函数y=cos2x的图象上的所有点向左平移个单位长度得函数的图象，即的图象；再向上平移1个单位长度得得图象；故选C11椭圆两焦点为F1（4，0）、F2（4，0），P在椭圆上，若PF1F2的面积的最大值为12，则椭圆方程是（）A +=1B +=1C +=1D +=1【考点】椭圆的简单性质【分析】由题意，当点P在短轴端点时，PF1F2的面积的最大值为12，此时可得，解得b，再求出a值，即可写出椭圆方程
13、【解答】解：由题意，可得，解得b=3，又c=4，故a=5故椭圆的方程为+=1故选B12如图，正方体AC1的棱长为1，过点A作平面A1BD的垂线，垂足为点H，则以下命题中，错误的命题是（）A点H是A1BD的垂心BAH垂直平面CB1D1CAH的延长线经过点C1D直线AH和BB1所成角为45【考点】空间中直线与直线之间的位置关系【分析】如上图，正方体的体对角线AC1有以下性质：AC1平面A1BD，AC1平面CB1D1；AC1被平面A1BD与平面CB1D1三等分；AC1=AB等（注：对正方体要视为一种基本图形来看待）【解答】解：因为三棱锥AA1BD是正三棱锥，所以顶点A在底面的射影H是底面中心，所以选
14、项A正确；易证面A1BD面CB1D1，而AH垂直平面A1BD，所以AH垂直平面CB1D1，所以选项B正确；连接正方体的体对角线AC1，则它在各面上的射影分别垂直于BD、A1B、A1D等，所以AC1平面A1BD，则直线A1C与AH重合，所以选项C正确；故选D二、填空题（本大题共4小题，每小题5分.）13若一个正方体的顶点都在同一球面上，则球与该正方体的体积之比为 【考点】球的体积和表面积【分析】设出正方体的棱长，求出正方体的体对角线的长，就是球的直径，然后求出正方体的体积，球的体积，即可得到比值【解答】解：设正方体的棱长为：1，则正方体的体对角线的长为：，所以正方体的外接球的直径为：所以正方体的
15、体积为：1；球的体积为： =球与该正方体的体积之比为： =故答案为：14随机掷两枚质地均匀的骰子，它们向上的点数之和不超过5的概率为【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率【分析】本题是一个求概率的问题，考查事件“抛掷两颗骰子，所得两颗骰子的点数之和为5”这是一个古典概率模型，求出所有的基本事件数N与事件“抛掷两颗骰子，所得两颗骰子的点数之和为5”包含的基本事件数N，再由公式求出概率得到答案【解答】解：一共有36种等可能的结果，即同时向上掷两枚骰子，向上的点数之和共有以下36种结果：（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6）（2，1），（2，2），（2，3），（
16、2，4），（2，5），（2，6）（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（3，6）（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（4，6）（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），（5，6）（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6）两个骰子点数之和不超过5的有10种情况，即（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），（4，1）所以向上的点数之和不超过5的概率为故答案为：15已知=（1，1），=（4，1），=（4，5），则与夹角的余弦值为【考点】数量积表
17、示两个向量的夹角【分析】利用两个向量坐标形式的运算，两个向量的夹角公式，求得与夹角的余弦值【解答】解：已知=（1，1），=（4，1），=（4，5），=（3，0），=（3，4）则与夹角的余弦值为=，故答案为：16如果关于x的不等式2kx2+kx0对一切实数x都成立，那么k的取值范围是（3，0【考点】函数恒成立问题【分析】根据不等式2kx2+kx0对一切实数x都成立，讨论k=0和k0时，即可求出k的取值范围【解答】解：不等式2kx2+kx0对一切实数x都成立，k=0时，不等式化为0恒成立，k0时，应满足，解得3k0综上，不等式2kx2+kx0对一切实数x都成立的k的取值范围是（3，0故答案为：（3
18、，0三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17在ABC中，a、b是方程x22+2=0的两根，且2cos（A+B）=1（1）求角C的度数；（2）求c；（3）求ABC的面积【考点】两角和与差的余弦函数；同角三角函数间的基本关系【分析】（1）利用三角形的内角和及诱导公式，即可求得结论；（2）利用韦达定理及余弦定理，可求c的值；（3）利用三角形的面积公式，可求面积【解答】解：（1）2cos（A+B）=1，A+B+C=180，2cos=1，cos=cosC=，0C180，C=60；（2）a、b是方程x22+2=0的两根，a+b=2，ab=2由余弦定理可知cosC=，c=；（3）SABC=
19、absinC=18假设某种设备使用的年限x（年）与所支出的维修费用y（元）有以下统计资料：使用年限x23456维修费用y2.23.85.56.57.0参考数据：，如果由资料知y对x呈线性相关关系试求：（1）；（2）线性回归方程=bx+a（3）估计使用10年时，维修费用是多少？【考点】线性回归方程；最小二乘法【分析】（1）根据表中所给数据，带入平均数公式，易求出；（2）根据最小二乘法，结合（1）中结论，及已知中参考数据，代入回归系数求解公式，求出两个回归系数，可得回归方程（3）根据（2）中回归方程，将X=10代入，可得到一个维修费用的预报值【解答】解：（1）由表中数据可得=（2+3+4+5+6）
20、5=4，=（2.2+3.8+5.5+6.5+7.0）5=5（2）由已知可得： =于是所求线性回归方程为：（3）由（2）可得，当x=10时，（万元）即估计使用10年时，维修费用是12.38万元19如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，已知E为棱CC1上的动点（1）求证：A1EBD；（2）是否存在这样的E点，使得平面A1BD平面EBD？若存在，请找出这样的E点；若不存在，请说明理由【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质【分析】（1）连接AC，设ACDB=O，连接A1O，OE证明A1ABD，BDAC，推出BD平面ACEA1，然后证明A1EBD（2）当E是CC1的中点时，平面A1B
21、D平面EBD说明A1OE为二面角A1BDE的平面角设棱长为2a，推出A1OE=90即可证明平面A1BD平面EBD【解答】解：连接AC，设ACDB=O，连接A1O，OE（1）A1A底面ABCD，A1ABD，又BDAC，BD平面ACEA1，A1E平面ACEA1，A1EBD（2）证明：当E是CC1的中点时，平面A1BD平面EBD证明如下：A1B=A1D，EB=ED，O为BD中点，A1OBD，EOBDA1OE为二面角A1BDE的平面角在正方体ABCDA1B1C1D1中，设棱长为2a，E为棱CC1的中点，由平面几何知识，EO=a，A1O=a，A1E=3a，A1E2=A1O2+EO2，即A1OE=90平面
22、A1BD平面EBD20在等差数列an中，a1=1，前n项和Sn满足条件=4，n=1，2，（1）求数列an的通项公式和Sn；（2）记bn=，求数列bn的前n项和Tn【考点】数列的求和【分析】（1）将n=1代入已知递推式，易得a2，从而求出d，故an可求；（2）求出数列bn的通项公式，利用错位相减法即可求出数列bn的前n项和Tn【解答】解：（1）设等差数列an的公差为d，由=4得：，所以a2=3a1=3且d=a2a1=2，所以an=a1+（n1）d=2n1，=n2；（2）由bn=，得bn=（2n1）2n1Tn=1+321+522+（2n1）2n12Tn=2+322+523+（2n3）2n1+（2n
23、1）2n得：Tn=1+221+222+22n1（2n1）2n=2（1+2+22+2n1）（2n1）2n1=（2n1）2n1Tn=2n（32n）3Tn=（2n3）2n+321如图，点A，B分别是椭圆的长轴的左右端点，点F为椭圆的右焦点，直线PF的方程为：且PAPF（1）求直线AP的方程；（2）设点M是椭圆长轴AB上一点，点M到直线AP的距离等于|MB|，求椭圆上的点到点M的距离d的最小值【考点】椭圆的简单性质【分析】（1）根据两直线垂直，求得AP的斜率，利用椭圆方程求得A的坐标，然后利用点斜式求得直线AP的方程（2）设出点M的坐标，利用两点间的距离公式利用题设建立等式求得m，进而可利用两点间的距
24、离公式，表示出椭圆上的点到点M的距离d，利用x的范围和二次函数的单调性求得函数的最小值【解答】解：（1）由题意得，A的坐标为（6，0）则直线AP的方程为： （2）设M（m，0），则，解得m=2或m=18（舍去），故M（2，0），x6，6，所以当时，dmin2=15，即22如图所示，已知直二面角AB，P，Q，PQ与平面，所成的角都为30，PQ=4，PCAB，C为垂足，QDAB，D为垂足，求：（1）直线PQ与CD所成角的大小（2）四面体PCDQ的体积【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；异面直线及其所成的角【分析】（1）直接根据PC以及常用的结论：cos=cosPQCcosDCQ即可求出结果；（2）求出几何体的高与底面面积，即可求解几何体的体积【解答】解：（1）直二面角AB，P，Q，PQ与平面，所成的角都为30，PQ=4，PCAB，C为垂足，QDAB，D为垂足，设直线AB与CD所成的角为，则由PCAB，cosDCQ=，可知PC知：cos=cosPQCcosDCQ=cos30=，故=45；（2）由题意可知三棱锥的高为PC=2，底面CQD的面积为： CDDQ=2，三棱锥的体积为： =2017年4月11日