1、滦南县20172018学年度第二学期期末质量检测高二理数学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求1.1.点M的极坐标为（1，），则它的直角坐标为（）A. （1，0） B. （，0） C. （0，1） D. （0，）【答案】B【解析】【分析】将极坐标代入极坐标与直角坐标之间的互化公式，即可得到直角坐标方程.【详解】将极坐标代入互化公式得：，所以直角坐标为：.故选B.【点睛】本题考查极坐标化为直角坐标的公式，注意特殊角三角函数值不要出错.2.2.已知随机变量服从二项分布，则（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由二项分
2、布的公式即可求得时概率值.【详解】由二项分布公式：.故选A.【点睛】本题考查二项分布的公式，由题意代入公式即可求出.3.3.已知随机变量服从正态分布，且，（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】，由随机变量服从正态分布知，正态曲线关于对称，故选4.4.若直线 （t为参数）与直线垂直，则常数k=（）A. B. 6 C. 6 D. 【答案】B【解析】【分析】由参数方程直接求出斜率，表示出另一直线的斜率，利用垂直的直线斜率互为负倒数即可求出参数k.【详解】由参数方程可求得直线斜率为：，另一直线斜率为：，由直线垂直可得：，解得：.故选B.【点睛】本题考查参数方程求斜率与直线的位置关系，垂直问题
3、一般有两个方法：一是利用斜率相乘为-1，另一种是利用向量相乘得0.5.5.已知随机变量服从的分布列为123nP则的值为（）A. 1 B. 2 C. D. 3【答案】A【解析】【分析】由概率之和为1，列出等式，即可求得k值.【详解】由概率和等于1可得：，即.故选A.【点睛】本题考查分布列中概率和为1，由知识点列式即可得出结论.6.6.用反证法证明“如果，那么”假设的内容应是（ ）A. B. C. 且 D. 或【答案】D【解析】分析:反证法是假设命题的结论不成立，即结论的反面成立，所以只要考虑的反面即可。详解：的反面是即或所以D选项是正确的。点睛：本题主要考查了不等式证明中的反证法，属于基础题。7
4、.7.如果 的展开式中各项系数之和为128，则展开式中的系数是（）A. 21 B. C. 7 D. 【答案】A【解析】【分析】令，则该式等于系数之和，可求出n，由二项展开式公式即可求得展开式中某项的系数.【详解】令，则，解得：，由二项展开式公式可得项为：，所以系数为21.故选A.【点睛】本题考查二项展开式系数之和与某项系数的求法，求系数之和时，一般令，注意区分二项式系数与系数，二项式系数之和为.8.8.已知 ，若是与的等比中项，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】试题分析：是与的等比中项,故选B.考点：1、等比数列；2、基本不等式.【方法点晴】本题主要考查的基本不等式，
5、属于容易题.但是本题比较容易犯错，使用该公式时一定要牢牢抓住一正、二定、三相等这三个条件，如果不符合条件则：非正化正、非定构定、不等作图（单调性）.平时应熟练掌握双钩函数的图象，还应加强非定构定、不等作图这方面的训练，并注重表达的规范性，才能灵活应对这类题型.9.9.某学校派出5名优秀教师去边远地区的三所中学进行教学交流，每所中学至少派一名教师，则不同的分配方法有（）A. 80种 B. 90种 C. 120种 D. 150种【答案】D【解析】【分析】将5名教师分配至三个中学，需要先对教师分组，后分配，有3、1、1分组和2、2、1两种分组方式，分配时属于排列问题.【详解】将5名教师分配至三个中学
6、，需要先对教师分组，后分配，分组：教师分组有两种情况：一是：3、1、1分组，分组情况共：种，二是：2、2、1分组，分组情况共：种，所以一共有25种分组情况，将三组分配至三所学校共：种情况.【点睛】本题考查排列组合问题，先分组后分配，分组时若出现主动平均分了n组的情况，需要再除以，防止出现重复计算，将组分配至学校有顺序，需要理由组合方式去求.10.10.使的展开式中含有常数项的最小的为（）A. 4 B. 5 C. 6 D. 7【答案】B【解析】试题分析：设的展开式的通项为，则：，令得：，又，当时，最小，即故选B考点：1二项式系数的性质；2分析与运算能力11.11.对“是不全相等的正数”，给出下列
7、断断，其中正确的个数为（） ；与及中至少有一个成立；不能同时成立.A. 0 B. 1 C. 2 D. 3【答案】B【解析】【分析】假设等式成立，由其推出a、b、c的关系，判断与题干是否相符；假设其全部不成立，由此判断是否存在符合条件的数；举例即可说明其是否能够同时成立.【详解】假设等式成立，则需，不合题意，故错误；假设全部不成立，则可知，不合题意，所以正确；令，此时不符合命题，所以错误.故选B.【点睛】本题考查命题真假的判断，利用反证法、分析法等方式即可证明，有时运用举例说明的方式更快捷.12. 袋中装有完全相同的5个小球，其中有红色小球3个，黄色小球2个，如果不放回地依次摸出2个小球，则在第
8、一次摸出红球的条件下，第二次摸出红球的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析：因为第一次摸到红球的概率为，则第一次摸出红球且第二次摸出红球的概率为，所以所求概率为，故选C考点：1、条件概率；2、独立事件二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在题中横线上13.13.平面直角坐标系中，若点经过伸缩变换后的点Q，则极坐标系中，极坐标与Q的直角坐标相同的点到极轴所在直线的距离等于_【答案】3.【解析】【分析】由点P的直角坐标求出伸缩变换后的点Q的坐标，将点Q的坐标看作极坐标，根据极坐标的性质距离为，将极坐标代入即可求出距离【详解】点P经伸缩变换后，点Q的坐
9、标为，将点Q看作极坐标，则距离为.【点睛】本题考查点的伸缩变换以及极坐标的性质，注意题目中给出的点P的坐标为直角坐标，不要看错题目，并且注意距离为正数，要有绝对值.14.14.随机变量的取值为0，1，2，若，则_.【答案】【解析】分析：结合方差的计算公式可知，应先求出 ，根据已知条件结合分布列的性质和期望的计算公式不难求得详解：设 ，则由已知得 解得 所以 故答案为.点睛：本题综合考查了分布列的性质以及期望、方差的计算公式属基础题.15.15.设直线（为参数），曲线（为参数），直线与曲线交于两点，则_.【答案】【解析】试题分析：由题意得，曲线的普通方程为，直线的直角坐标方程为，所以圆心到直线的
10、距离为，所以直线与曲线交于考点：直线与圆的位置的弦长的计算16.16.设，则与的大小关系是_【答案】AB.【解析】【分析】利用放缩的解法，令每项分母均为，将A放大，即可证明出A、B关系.【详解】由题意：，所以.【点睛】本题考查放缩法，根据常见的放缩方式，变换分母即可证得结果.三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.17.某学校高三年级有学生1000名，经调查，其中750名同学经常参加体育锻炼（称为A类同学），另外250名同学不经常参加体育锻炼（称为B类同学），现用分层抽样方法（按A类、B类分两层）从该年级的学生中抽查100名同学如果以身高达到165厘米
11、作为达标的标准，对抽取的100名学生进行统计，得到以下列联表：身高达标身高不达标总计积极参加体育锻炼40不积极参加体育锻炼15总计100（1）完成上表；（2）能否有犯错率不超过0.05的前提下认为体育锻炼与身高达标有关系？（的观测值精确到0.001）参考公式： ，参考数据：P（K2k）0.250.150.100.050.0250.0100.001k1.3232.0722.7063.8415.0246.63510.828【答案】(1)身高达标身高不达标总计积极参加体育锻炼403575不积极参加体育锻炼101525总计5050100(2) 不能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为体育锻炼与身高
12、达标有关系【解析】【分析】（1）由分层抽样的计算方法可求得积极参加锻炼与不积极参加锻炼的人数，填入表格中，根据表格中的总计及各项值求出其它值即可；（2）由公式计算出，与参考数据表格中3.841作比较，若小于3.841则不可以，若大于3.841则可以.【详解】（）填写列联表如下：身高达标身高不达标总计积极参加体育锻炼403575不积极参加体育锻炼101525总计5050100（）K2的观测值为1.3333.841. 所以不能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为体育锻炼与身高达标有关系【点睛】本题考查独立性检验，根据抽样方法进行计算填表，将数值代入公式求出，注意保留三位小数，注意观测值与概率之
13、间的大小关系与趋势.18.18.在一次抗洪抢险中，准备用射击的方法引爆从桥上游漂流而下的一个巨大的汽油灌，已知只有5发子弹，第一次命中只能使汽油流出，第二次命中才能引爆每次射击相互独立，且命中概率都是，求（1）油罐被引爆的概率；（2）如果引爆或子弹打光则停止射击，设射击次数为，求的分布列【答案】（1）；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）由题意便知需命中2次引爆油罐，且第二次命中时停止射击，这样可设Ai=“射击i+1次引爆油罐”，i=1，2，3，4，根据符合二项分布的变量的概率的求法及独立事件同时发生的概率的求法即可求出油罐被引爆的概率；（2）根据题意知变量的取值为2，3，4，5，并且取5时
14、包含这样几种情况：5次都未打中，5次只有1次打中，打中2次且第5次打中，这三个事件相互独立，求出每个事件的概率再求和即可，列表表示的分布列，根据期望的计算公示求的数学期望即可试题解析：（1）“油罐被引爆”的事件为事件，其对立事件为包括“一次都没有命中”和“只命中一次”，即，（2）射击次数的可能取值为2，3，4，5 故的分布列为：19.19.某同学参加3门课程的考试.假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为，第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为，()，且不同课程是否取得优秀成绩相互独立.记为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为0123b()求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率；()求，的值
15、；()求数学期望.【答案】（I），（II），.（III）【解析】(1)可根据其对立事件来求：其对立事件为：没有一门课程取得优秀成绩.(2)建立关于p、q的方程，解方程组即可求解.(3)先算出a,b的值，然后利用期望公式求解即可.事件表示“该生第门课程取得优秀成绩”， =1,2,3，由题意知，（I）由于事件“该生至少有1门课程取得优秀成绩”与事件“”是对立的，所以该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率是，（II）由题意知整理得，由，可得，.（III）由题意知= =20.20.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）写出
16、的普通方程和的直角坐标方程；（2）设点在上，点在上，求的最小值以及此时的直角坐标.【答案】（1）：，：；（2），此时.【解析】试题分析：（1）的普通方程为，的直角坐标方程为；（2）由题意，可设点的直角坐标为 到的距离当且仅当时，取得最小值，最小值为，此时的直角坐标为.试题解析： （1）的普通方程为，的直角坐标方程为.（2）由题意，可设点的直角坐标为，因为是直线，所以的最小值即为到的距离的最小值，.当且仅当时，取得最小值，最小值为，此时的直角坐标为.考点：坐标系与参数方程.【方法点睛】参数方程与普通方程的互化：把参数方程化为普通方程，需要根据其结构特征，选取适当的消参方法，常见的消参方法有：代入
17、消参法；加减消参法；平方和（差）消参法；乘法消参法；混合消参法等把曲线的普通方程化为参数方程的关键：一是适当选取参数；二是确保互化前后方程的等价性注意方程中的参数的变化范围21.21.某村计划建造一个室内面积为800m2的矩形蔬菜温室，在室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留1m宽的通道,沿前侧内墙保留3m宽的空地.当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大种植面积是多少？【答案】长为20m，宽为40m.,最大种植面积为648.【解析】试题分析：设出矩形的长为a与宽b，建立蔬菜面积关于矩形边长的函数关系式S=（a-4）（b-2）=ab-4b-2a+8=800-2（a+2b）利用基本不等式
18、变形求解试题解析：设矩形温室的左侧边长为a m，后侧边长为b m，则 ab=800蔬菜的种植面积所以当答：当矩形温室的左侧边长为40m，后侧边长为20m时，蔬菜的种植面积最大，最大种植面积为648m2考点：基本不等式在最值问题中的应用22.22.已知函数，且的解集为（1）求的值；（2）若，且，求证：【答案】（1）；（2）详见解析.【解析】分析：（1）由条件可得 的解集为，即的解集为，可得；（2）根据，展开后利用基本不等式可得结论.详解：（1）因为，所以等价于， 由有解，得，且其解集为 又的解集为，故 （2）由（1）知，又， 7分 (或展开运用基本不等式) 点睛：本题主要考查利用基本不等式求最值，属于中档题. 利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.