1、复数(时间：120分钟满分：150分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1在复平面内，复数(2i)2对应的点位于()A第一象限B第二象限C第三象限 D第四象限解析：选D(2i)244ii234i，在复平面内对应的点为(3，4)，位于第四象限2.的虚部为()Ai BiC D解析：选C1i，故其虚部为.3若(xi)iy2i，x，yR，则复数xyi()A2i B2iC12i D12i解析：选B由(xi)iy2i得xi1y2i，故y1，x2，所以复数xyi2i.4a为正实数，i为虚数单位，2，则a()A2 B.C. D1解析：选B因
2、为1ai，则|1ai|2，所以a23.又a为正实数，所以a.5已知复数z12i，z2在复平面内对应的点在直线x1上，且满足1z2是纯虚数，则复数z2等于()A12i B12iC2i D2i解析：选A由z12i，得12i.由z2在复平面内对应的点在直线x1上，可设z21bi(bR)，则1z2(2i)(1bi)2b(2b1)i.由1z2是纯虚数，得2b0且2b10，解得b2，故z212i.6定义运算adbc，则符合条件42i的复数z为()A3i B13iC3i D13i解析：选Azizz(1i)42i，z3i.7设a，bR，i是虚数单位，则“ab0”是“复数a为纯虚数”的()A充分不必要条件B必要
3、不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析：选B因为aabi为纯虚数，所以必有a0且b0，所以ab0，因此“ab0”是“复数a为纯虚数”的必要条件而当ab0时，有a0或b0，当b0时，a为实数，因此“ab0”不是“复数a为纯虚数”的充分条件故“ab0”是“复数a为纯虚数”的必要不充分条件8复数2i与复数在复平面上的对应点分别是A，B，若O为坐标原点，则AOB等于()A.B.C.D解析：选B，它在复平面上的对应点为B，而复数2i在复平面上的对应点是A(2，1)，则cosAOB，AOB.故选B.二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要
4、求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)9复数z满足z294i(i为虚数单位)，则()A|z|5 Bz34i Cz34i D.34i解析：选AC设zxyi(x，yR)，因为z294i，所以xyi2(xyi)94i，化为3xyi94i，所以3x9，y4，解得x3，y4.所以z34i，|z|5.10已知集合Mm|min，nN，其中i为虚数单位，则下列元素属于集合M的是()A(1i)(1i) B.C. D(1i)2解析：选BC根据题意，Mm|min，nN中，n4k(kN)时，in1；n4k1(kN)时，ini；n4k2(kN)时，in1；n4k3(kN)时，ini，M1，1，i，
5、i选项A中，(1i)(1i)2M；选项B中，iM；选项C中，iM；选项D中，(1i)22iM.故选B、C.11在复平面内，下列命题是真命题的是()A若复数z满足R，则zRB若复数z满足z2R，则zRC若复数z1，z2满足z1z2R，则z12D若复数zR，则R解析：选ADA设复数zabi(a，bR)，则i，若R，则b0，所以zaR，故A为真命题；B若复数zi，则z21R，但zR，故B为假命题；C若复数z1i，z22i满足z1z22R，但z12，故C为假命题；D若复数zabiR，则b0，zR，故D为真命题12在实数集R中，我们定义的大小关系“”为全体实数排了一个序，类似地，我们在复数集C上也可以定
6、义一个称为“序”的关系，记为“”，定义如下：对于任意两个复数z1a1b1i，z2a2b2i(a1，b1，a2，b2R，i为虚数单位)，“z1z2”当且仅当“a1a2”或“a1a2且b1b2”则下列命题中是真命题的有()A1i0B若z1z2，z2z3，则z1z3C若z1z2，则对于任意zC，z1zz2zD若复数z0，则zz1zz2解析：选ABC对于A，1的实部是1，i的实部是0，故A是真命题对于B，设z1a1b1i，z2a2b2i，z3a3b3i，由已知得“a1a2”或“a1a2且b1b2”，“a2a3”或“a2a3且b2b3”，显然有a1a3.若a1a3，则z1z3，若a1a3，则a1a2a3
7、，b1b2b3，也有z1z3，故B是真命题对于C，设zabi(a，bR)，z1a1b1i，z2a2b2i(a1，a2，b1，b2R)，由z1z2得“a1a2”或“a1a2且b1b2”，从而“a1aa2a”或“a1aa2a且b1bb2b”，z1zz2z，故C是真命题对于D，设z11i，z22i，z2i，则有z0，zz122i，zz24，显然有zz2zz1，故D是假命题三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中横线上)13若复平面上的平行四边形ABCD中，对应的复数为68i，对应的复数为46i，则对应的复数为_解析：法一：由复数加、减法的几何意义，可得，两式相加，可得2，则可得
8、对应的复数为17i，所以对应的复数为17i.法二：如图，把向量平移到向量的位置，可得()，则可得对应的复数为17i.答案：17i14已知z1m23mm2i，z24(5m6)i，其中m为实数，i为虚数单位，若z1z20，则m的值为_解析：因为z1z20，所以z1z2，所以解得m1.答案：115已知复数z112i，z21i，z332i，它们在复平面内对应的点分别为A，B，C.若xy(O为坐标原点)，则xy的值是_解析：由题意得A(1，2)，B(1，1)，C(3，2)，若xy，则(3，2)x(1，2)y(1，1)，即解得则xy5.答案：516已知复数z11i，z246i(i为虚数单位)，则_；若复数
9、z1bi(bR)满足zz1为实数，则|z|_解析：因为z11i，z246i，所以15i.因为z1bi(bR)，所以zz12(b1)i，又因为zz1为实数，所以b10，得b1.所以z1i，则|z|.答案：15i四、解答题(本大题共6小题，共70分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)已知复数z满足|34i|z13i.(1)求；(2)求的值解：(1)因为|34i|5，所以z13i543i，所以43i.(2)i.18(本小题满分12分)已知复数z12i，z1z255i(i为虚数单位)(1)求复数z2；(2)若复数z3(3z2)(m22m3)(m1)i在复平面内所对应
10、的点在第四象限，求实数m的取值范围解：(1)z1z255i，z23i.(2)z3(3z2)(m22m3)(m1)ii(m22m3)(m1)i(m1)(m22m3)i，z3在复平面内所对应的点在第四象限，解得1m1，故实数m的取值范围是(1，1)19(本小题满分12分)已知复数z1，z2在复平面内对应的点分别为A(2，1)，B(a，3)，aR.(1)若|z1z2|，求a的值；(2)若复数zz12对应的点在第二、四象限的角平分线上，求a的值解：由复数的几何意义可知z12i，z2a3i.(1)因为|z1z2|，所以|2a2i|，即(a1)(a3)0，解得a1或a3.(2)复数zz12(2i)(a3i
11、)(2a3)(a6)i.由题意可知，点(2a3，a6)在直线yx上，所以a6(2a3)，解得a9.20(本小题满分12分)已知复数z(2m23m2)(m23m2)i.(1)当实数m取什么值时，复数z是：实数；纯虚数；(2)当m0时，化简.解：(1)当m23m20时，即m1或2时，复数z为实数若z为纯虚数，则解得m.即m时，复数z为纯虚数(2)当m0时，z22i，i.21(本小题满分12分)已知复平面内点A，B对应的复数分别是z1sin2i，z2cos2icos 2，其中(0，)，设对应的复数为z.(1)求复数z；(2)若复数z对应的点P在直线yx上，求的值解：(1)由题意得zz2z1cos2s
12、in2(cos 21)i1(2sin2)i.(2)由(1)知，点P的坐标为(1，2sin2)由点P在直线yx上，得2sin2，sin2，又(0，)，sin 0，sin ，或.22(本小题满分12分)已知复数z满足|z|，z2的虚部是2.(1)求复数z；(2)设z，z2，zz2在复平面上的对应点分别为A，B，C，求ABC的面积解：(1)设zabi(a，bR)，则z2a2b22abi，由题意得a2b22且2ab2，解得ab1或ab1，所以z1i或1i.(2)当z1i时，z22i，zz21i，所以A(1，1)，B(0，2)，C(1，1)，AB，BC，AC2，在ABC中，由余弦定理得，cos ACB，所以sin ACB，所以SABCBCACsin ACB21.当z1i时，z22i，zz213i，所以A(1，1)，B(0，2)，C(1，3)，同理，可求得SABC1.综上，SABC1.
