1、第3课时基本不等式的实际应用一、选择题(每小题5分，共30分)1已知p，qR，pq100，则p2q2的最小值是()A20 B10 C100 D200【解析】选D.因为p，qR，pq100，所以p2q22pq200，当且仅当pq10或pq10时取“”2当x0时，f(x)4x的最小值为()A4 B C8 D2【解析】选C.因为x0，所以0，4x0，所以f(x)4x28.当且仅当4x即x时，f(x)取最小值，所以当x0时，f(x)的最小值为8.3(2021沈阳高一检测)周长为36的矩形绕其一边旋转形成一个圆柱，该圆柱的侧面积的最大值是()A27 B81 C108 D162【解析】选D.设矩形的长与宽
2、分别为x，y，则2(xy)36，则xy182，则xy81.又圆柱的侧面积为2xy281162，当且仅当xy9时“”成立【易错警示】本题表示圆柱体的侧面积时易出现错误4某公司租地建仓库，每月土地费用与仓库到车站距离成反比，而每月货物的运输费用与仓库到车站距离成正比如果在距离车站10 km处建仓库，则土地费用和运输费用分别为2万元和8万元，那么要使两项费用之和最小，仓库应建在离车站()A5 km处 B4 km处C3 km处 D2 km处【解析】选A.设仓库建在离车站x km处，则土地费用y1(k10)，运输费用y2k2x(k20)，把x10，y12代入得k120，把x10，y28代入得k2，故总费
3、用yx28，当且仅当x，即x5时等号成立5已知x0，y0，x2y2xy8，则x2y的最小值是()A3 B4 C D【解析】选B.依题意得(x1)(2y1)9，(x1)(2y1)26，x2y4，当且仅当x12y1，即x2，y1时取等号，故x2y的最小值是4.6某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品()A60件 B80件 C100件 D120件【解析】选B.若每批生产x件产品，则每件产品的生产准备费用是，存储费用是，总的费用是220，当且仅当时取等号，得
4、x80.所以每批应生产产品80件，才能使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小二、填空题(每小题5分，共20分)7函数f(x)，0x0，故1828，当且仅当x5时等号成立，此时年平均利润最大，最大值为8万元答案：589(2021朝阳高一检测)已知关于x的不等式2x7在xa上恒成立，则实数a的最小值为_【解析】因为xa，所以xa0，所以2x2(xa)2a42a，当且仅当xa1时“”成立由题意知，42a7，故a.答案：10建造一个容积为8 m3，深为2 m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，那么水池的最低总造价为_元，此时池底的边长应为_m.【解析】设水池
5、的造价为y元，长方体底的一边长为x m，由题意知底面积为4 m2，所以另一边长为m.那么y120428048032021 760(元).当x2，即底为边长为2 m的正方形时，水池的造价最低，为1 760元答案：1 7602三、解答题11(10分)某商场预计全年分批购入每台2 000元的电视机共3 600台每批都购入x台(x是自然数)且每批均需付运费400元存放购入的电视机全年所需付的保管费与每批购入电视机的总价值(不含运费)成正比若每批购入400台，则全年需用去运输和保管总费用43 600元现在全年只有24 000元资金可以支付这笔费用，请问，能否恰当安排每批进货数量，使资金够用？写出你的结论
6、，并说明理由【解析】设每批购入x台电视机，购入的电视机全年所需付的保管费Q1与每批购入的电视机总价满足Q12 000kx，依条件，当x400时，全年支付费用y43 600，可得k5%，故y与x的关系为y100x224 000(元).当且仅当100x，即x120时取“”所以只需每批购入120台，可使资金够用答：只需每批购入120台，可使资金够用森林失火，火势以每分钟100 m2的速度顺风蔓延，消防站接到报警后立即派消防员前去，在失火5分钟到达现场开始救火，已知消防员在现场平均每人每分钟可灭火50 m2，所消耗的灭火材料、劳务津贴等费用平均每人每分钟125元，所消耗的车辆、器械和装备等费用平均每人
7、100元，而每烧毁1 m2的森林损失费为60元，设消防队派x名消防队员前去救火，从到现场把火完全扑灭共用n分钟(1)求出x与n的关系式；(2)求x为何值时，才能使总损失最少【解析】(1)由已知可得50nx100(n5)，所以n(x2).(2)设总损失为y元，则y6 000(n5)100x125nx6 000100x100(x2)31 450231 45036 450，当且仅当100(x2)，即x27时，y取最小值即需派27名消防员，才能使总损失最小，最小值为36 450元【变式备选】 1.某工厂第一年的产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，则这两年的平均增长率x与增长率的平均值的大
8、小关系为_【解析】用两种方法求出第三年的产量分别为A(1a)(1b)，A(1x)2，则有(1x)2(1a)(1b).所以1x1，所以x.当且仅当ab时等号成立答案：x2函数3x2的最小值是_【解析】3x23(x21)363.当且仅当3(x21)时取“”答案：633若对任意x0，a恒成立，求a的取值范围【解析】因为y，x3235，当且仅当x，即x1时等号成立所以y，当x1时，ymax.即对任意x0，a恒成立，则a的取值范围为.一、选择题(每小题5分，共40分，多选题全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分)1给出下列推论：其中正确的推论个数是()aba2b2；a2b2ab；abbb0时，a
9、2b2才成立，故都错误；对于，只有当a0且ab时，bbc，acbac BbcdaCdbca Dcadb【解析】选A.因为abcd，adbc，所以ad(ab)bc(cd)，即ac.所以bd.又acb，所以abac.3若实数a，b满足，则ab的最小值为()A B2 C2 D4【解析】选C.由知a0，b0，所以2，即ab2，当且仅当即a，b2时取“”，所以ab的最小值为2.4(2021大连高一检测)对于实数a，b，c，下列命题中的真命题是()A若ab，则ac2bc2B若ab0，则C若ab0，则D若ab，则a0，b0【解析】选D.因为c20，所以c0时，有ac2bc2，故A为假命题；由ab0，有ab0
10、，故B为假命题；，故C为假命题；ab0.因为ab，所以a0且b0，故D为真命题【一题多解】选D.特殊值排除法取c0，则ac2bc2，故A错取a2，b1，则，1.有，故B错取a2，b1，则，2，有，故C错5若两个正实数x，y满足1，并且x2ym22m恒成立，则实数m的取值范围是()A(，2)4，)B(，42，)C(2，4)D(4，2)【解析】选D.x2y(x2y)228，当且仅当，即4y2x2时等号成立由x2ym22m恒成立，可知m22m8，m22m80，解得4m0，则2C函数的最小值为2D函数y23x的最小值为24【解析】选ACD.A错误，当x0，所以0，0，且2；C错误，若运用基本不等式，需
11、()21，x21无实数解；D错误，y224.8已知a，b(0，)，则下列各式中不一定成立的是()Aab2 B2C2 D【解析】选D.由得ab2，所以A成立；因为22，所以B成立；因为2，所以C成立；因为，所以D不一定成立二、填空题(每小题5分，共20分)9已知a0，b0，且2ab4，则的最小值为_【解析】因为a0，b0，且2ab4，所以42ab2，即，当且仅当2ab，即a1，b2时，取最小值答案：10(2021大连高一检测)已知a，b均为正实数，且a21，则代数式a的最大值等于_【解析】由基本不等式得：.又a21，所以2a2b22，所以，故a，当且仅当，即时，“”成立，故a取得最大值为.答案：
12、11为净化水质，某游泳馆向一个游泳池加入某种化学药品，加药后池水中该药品的浓度C(单位：mgL1)随时间t(单位：h)的变化关系为C，则经过_h后池水中该药品的浓度达到最大值为_【解析】C.因为t0，所以t24(当且仅当t，即t2时，等号成立)，所以C5，即当t2时，C取得最大值答案：2512已知实数ba0，m，a0，m0，所以mbmam(ba)0，所以mbma.0，所以.答案：三、解答题(每小题10分，共40分)13(2021铁岭高一检测)已知1ab2，且2ab4，求4a2b的取值范围【解析】令ab，abv，则24，1v2.由解得则4a2b4222vv3v，而24，33v6，所以53v10.
13、所以54a2b10.【加练备选】 若实数m，n满足，求3m4n的取值范围【解析】令3m4nx(2m3n)y(mn)(2xy)m(3xy)n，则，解得，因此3m4n(2m3n)(mn).由12m3n2得(2m3n).由3mn1得(mn)，所以3m4n，即2b，则a2ab_bab2.(填“”或“b，所以(ab)20，故a2abbab2.答案：2完成一项装修工程，请木工共需付工资每人500元，请瓦工共需付工资每人400元，现有工人工资预算20 000元，设木工x人，瓦工y人，试用不等式表示上述关系为_【解析】由题意知，500x400y20 000，即5x4y200.答案：5x4y2003已知a，bR，如果ab1，那么ab的最小值为_；如果ab1，那么ab的最大值为_【解析】因为a，bR，所以，所以ab22.故当ab1时，ab取最小值2，此时ab1.又当ab1时，.所以ab.答案：24设abc，且恒成立，求m的取值范围【解析】由abc，知ab0，ac0.所以原不等式等价于m.要使原不等式恒成立，只需的最小值不小于m即可因为2224.当且仅当，即2bac时，等号成立，所以m4.5已知a，b，c为不全相等的正实数，则abc1.求证：.【证明】因为a，b，c都是正实数，且abc1，所以22，22，22，以上三个不等式相加，得22()，又a，b，c为不全相等的正实数，所以.