1、秘密启用前 威远中学2020-2021学年高2021届高三1月月考 数学（理工类）2021.1.26 命题人：第四小组 做题人：刘文龙、李魏 审题人：袁理建数学试题共4页.满分150分.考试时间120分钟. 注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上.2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号.3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上.4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效.第卷(选择题，共60分)一、选择题：(本大题共12个小题，每小题5分，共
2、60分)在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的；各题答案必须答在答题卡上相应的位置.1已知集合，则集合（ ）ABCD2已知是虚数单位，且，则的共轭复数在复平面内对应的点在（ ）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3国际上通常用年龄中位数指标作为划分国家或地区人口年龄构成的标准：年龄中位数在20岁以下为“年轻型”人口；年龄中位数在2030岁为“成年型”人口；年龄中位数在30岁以上为“老龄型”人口如图反映了我国全面放开二孩政策对我国人口年龄中位数的影响据此，对我国人口年龄构成的类型做出如下判断：建国以来直至2000年为“成年型”人口；从2010年至2020年为“老龄型”人口；放开二
3、孩政策之后我国仍为“老龄型”人口其中正确的是（ ）ABCD4已知随机变量服从正态分布，若，则( )ABCD5九章算术中将底面是直角三角形、侧棱垂直于底面的三棱柱称之为“堑堵”，现有一“堑堵”型石材，其底面三边长分别为3，4，5，若此石材恰好可以加工成一个最大的球体，则其高为( )A4B3C2D16已知,则（ ）A B C D7函数的部分图象如图所示，设P是图象的最高点，A，B是图象与x轴的交点，记APB=，则sin2的值是( )A B C D8的内角的对边分别为，若，则内角（ ）ABCD9已知圆的半径为2，在圆内随机取一点，则过点的所有弦的长度都大于的概率为（ ）ABCD10已知等差数列的前项
4、和为，且，则( )ABCD11阿波罗尼斯（约公元前年）证明过这样一个命题:平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.若平面内两定点、间的距离为，动点满足，则的最小值为（ ）ABCD12已知是曲线：上任意一点，点是曲线：上任意一点，则的最小值是（ ）A B C2 D第卷(非选择题，共90分)二、 填空题：(本大题共4个小题，每小题5分，共20分)各题答案必须填写在答题卡相应的位置上.13已知倾斜角为的直线过曲线的焦点F，且与C相交于不同的两点A，B（A在第一象限），则_.14在的展开式中，常数项为_（用数字作答）.15.已知函数，正项等比数列满足，则等于_16设直
5、线l1，l2分别是函数f(x)= 图象上点P1，P2处的切线，l1与l2垂直相交于点P，且l1，l2分别与y轴相交于点A，B，则PAB的面积的取值范围是_三、解答题17某农科站技术员为了解某品种树苗的生长情况，在该批树苗中随机抽取一个容量为100的样本，测量树苗高度（单位：cm）经统计，高度均在区间20，50内，将其按20，25），25，30），30，35），35，40），40，45），45，50分成6组，制成如图所示的频率分布直方图，其中高度不低于40cm的树苗为优质树苗（1）已知所抽取的这100棵树苗来自于甲、乙两个地区，部分数据如下22列联表所示，将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有
6、99.9%的把握认为优质树苗与地区有关？（2）用样本估计总体的方式，从这批树苗中随机抽取4棵，期中优质树苗的棵数记为X，求X的分布列和数学期望甲地区乙地区合计优质树苗5非优质树苗25合计附：K2，其中na+b+c+dP（K2k0）0.0250.0100.0050.001k05.0246.6357.87910.82818如图，边长为3的正方体，.（1）证明：面； （2）求二面角的余弦值.19. 各项均为正数的数列前项和为，且，.（1）求数列的通项公式；（2）已知公比为的等比数列满足，且存在满足，求数列的通项公式.20已知椭圆C：的离心率为，且过点A（2，1）（1）求C的方程：(2）点M，N在C上
7、，且AMAN，ADMN，D为垂足证明：存在定点Q，使得|DQ|为定值21.已知函数.（1）求函数的单调区间和极值；（2）若不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围；（3）求证：.（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。22在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线，设直线与交于两点，直线与交于两点.（1）求曲线的普通方程及参数方程； （2）当时，求面积的取值范围.23已知函数（1） 画出的图像； （2）求不等式的解集威远中学2020-2021学年高2021届高三1月月考数学理科参考答案1B 2B 3A 4D 5C 6C 7.A 8C 9C
8、10B 11A 12D132 14 15. 16(0,1) 17.（1）由题意知5a+0.042+0.07,解得a0.01.3分样本中优质树苗的个数为100（0.04+0.01）525甲地区乙地区合计优质树苗520 25非优质树苗 5025 75 合计55 45100k216.510.828,所以有99.9%的把握认为优质树苗与地区有关.6分（2）容量为100的样本中有25颗优质树苗,故可以认为从总体中随机抽1颗树苗为优质树苗的概率为,所以XB（4,）,P（Xk）,k0,1,2,3,4,所以X 的分布列为： X01 234 P EXnp41.12分18（1）在上取点，使，则四边形为平行四边形而
9、面，面面.6分（2）以为原点，分别为轴，轴，轴，建立直角坐标系则 设面与面的法向量分别为则令, ,令，则设二面角的平面角为，则为锐角，.12分19.（1）当时，整理得，.，两式相减得，即，即，数列各项均为正数，数列是首项为，公差为的等差数列，故.6分（2），依题意得，相除得或，所以或，当时，；当时，.综上所述，或.12分20.（1）由题设得，解得，所以的方程为.4分（2）设，若直线与轴不垂直，设直线的方程为，代入得于是.7分由知，故，可得将代入上式可得整理得因为不在直线上，所以，故，于是的方程为.所以直线过点.10分若直线与轴垂直，可得.由得.又，可得.解得（舍去），.此时直线过点.令为的中点
10、，即.若与不重合，则由题设知是的斜边，故.若与重合，则.综上，存在点，使得为定值.12分22.（1），其定义域为，令，得，令，得.故函数的单调递增区间为，单调递减区间为，的极大值为，无极小值.3分+0-（2），令，则，令，解得.当在内变化时，的变化情况如下表：由表知，当时，函数有最大值，且最大值为，实数的取值范围为.6分（3）由（2）知，.，即.12分22（1），（为参数）；（2）.（1），的参数方程为（为参数）.5分（2）联立得联立得，.10分23解：（1）由题设知的图像如图所示（2）函数的图像向左平移1个单位长度后得到函数的图像的图像与的图像的交点坐标为由图像可知当且仅当时，的图像在的图像上方，故不等式的解集为
