1、第1页返回导航 数学 基础知识导航考点典例领航 智能提升返航 课时规范训练 第2页返回导航 数学 第3页返回导航 数学 第1课时 平面向量的线性运算与基本定理第4页返回导航 数学 1向量的有关概念(1)向量：既有大小又有的量叫做向量，向量的大小叫做向量的(2)零向量：长度为的向量，其方向是任意的方向模0第5页返回导航 数学(3)单位向量：长度等于的向量(4)平行向量：方向相同或的非零向量，又叫共线向量规定：0 与任一向量共线(5)相等向量：长度相等且方向的向量(6)相反向量：长度相等且方向的向量1个单位相反相同相反第6页返回导航 数学 2向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求
2、两个向量和的运算交换律：ab；结合律：(ab)cbaa(bc)第7页返回导航 数学 减法求 a 与 b 的相反向量b 的和的运算aba(b)第8页返回导航 数学 数乘求实数 与向量 a的积的运算|a|a|，当 0 时，a 与 a的方向相同；当0 时，a 与 a的方向相反；当0 时，a0(a)；()a；(ab)()aaaab第9页返回导航 数学 3共线向量定理向量 a(a0)与 b 共线的充要条件是存在唯一一个实数，使得.4平面向量基本定理如果 e1，e2 是同一平面内的两个向量，那么对于这一平面内的任意向量 a，一对实数 1，2，使 a.其中，不共线的向量 e1，e2 叫做表示这一平面内所有向
3、量的一组ba不共线有且只有1e12e2基底第10页返回导航 数学 5平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模设 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则：ab，ab，a，|a|x21y21.(2)向量坐标的求法若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB，|AB|x2x12y2y12.(x1x2，y1y2)(x1x2，y1y2)(x1，y1)(x2x1，y2y1)第11页返回导航 数学 6平面向量共线的坐标表示设 a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中 b0，则 ab.x1y2x2y10第12页返回导航 数学 7判断下列结论的
4、正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小()(2)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量()(3)BAOA OB.()(4)向量 ab 与 ba 是相反向量()(5)若 ab，bc，则 ac.()第13页返回导航 数学(6)向量AB与向量CD 是共线向量，则 A，B，C，D 四点在一条直线上()(7)当两个非零向量 a，b 共线时，一定有 ba，反之成立()(8)在ABC 中，向量AB，BC的夹角为ABC.()(9)同一向量在不同基底下的表示是相同的()(10)设 a，b 是平面内的一组基底，若实数 1，1，2，2 满足 1a1b2a2b，
5、则 12，12.()第14页返回导航 数学 考点一 平面向量的概念命题点判断有关向量的模、方向、相等、共线、单位向量等概念第15页返回导航 数学 例 1 给出下列命题：若|a|b|，则 ab；若 A，B，C，D 是不共线的四点，则ABDC 是四边形 ABCD为平行四边形的充要条件；若 ab，bc，则 ac；ab 的充要条件是|a|b|且 ab.其中正确命题的序号是()A.BCD第16页返回导航 数学 解析：不正确两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同正确ABDC，|AB|DC|且ABDC.又 A，B，C，D 是不共线的四点，四边形 ABCD 为平行四边形；反之，若四边形 ABCD 为平行四
6、边形，则ABDC 且|AB|DC|，因此，ABDC.第17页返回导航 数学 正确ab，a，b 的长度相等且方向相同，又 bc，b，c 的长度相等且方向相同，a，c 的长度相等且方向相同，故 ac.不正确当 ab 且方向相反时，即使|a|b|，也不能得到 ab，故|a|b|且 ab 不是 ab 的充要条件，而是必要不充分条件综上所述，正确命题的序号是.答案：A第18页返回导航 数学 方法引航 1相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性.2共线向量即平行向量，它们均与起点无关.3向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量.解题时，不要把它与函数图象移动混为一谈.4非零向量 a 与的关系：是
7、 a 方向上的单位向量.第19页返回导航 数学 给出下列命题：两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小；a0(为实数)，则 必为零；，为实数，若 ab，则 a 与 b 共线其中错误命题的个数为()A1 B2C3 D4第20页返回导航 数学 解析：错误，两向量共线要看其方向而不是起点或终点正确，因为向量既有大小，又有方向，故它们不能比较大小，但它们的模均为实数，故可以比较大小错误，当 a0 时，不论 为何值，a0.错误，当 0 时，ab0，此时，a 与 b 可以是任意向量故选 C.答案：C第21页返回导航 数学 考点二 平面向量基本定理与线性运算命题点1
8、.利用基本定理进行线性运算2.利用基本定理求参数3.利用向量线性运算研究几何性质第22页返回导航 数学 例 2(1)在平行四边形 ABCD 中，AC 与 BD 相交于点 O，E 是线段 OD 的中点，AE 的延长线与 CD 交于点 F，若ACa，BD b，则AF等于()A.14a12b B.23a13bC.12a14bD.13a23b第23页返回导航 数学 解析：如图，AFAD DF，由题意知，DEBE13DFAB，DF 13AB，AFAD DF OD AO 13AB12a12b1312a12b 23a13b.答案：B第24页返回导航 数学(2)在平行四边形 ABCD 中，E 和 F 分别是边
9、 CD 和 BC 的中点，ACAEAF，其中，R，则 _.第25页返回导航 数学 解析：在平行四边形中，有ACABAD，因 E、F 分别为 CD、BC 的中点，AE 12(AC AD)，AF 12(AB AC)，则 AE AF 12AD AB2AC 32AC，AC23AE23AF，23，则 43.答案：43第26页返回导航 数学(3)ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，重心为 G，若aGA bGB 33 cGC 0，则 A_.第27页返回导航 数学 解析：由 G 为ABC 的重心知GA GB GC 0，则GC GA GB，因此 a GA b GB 33 c(GA GB)a 3
10、3 c GA b 33 c GB 0，又GA，GB 不共线，所以 a 33 cb 33 c0，即 ab 33 c.由余弦定理得 cos Ab2c2a22bcc22 33 c2 32，又0A，所以 A6.答案：6第28页返回导航 数学 方法引航 用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，再用该基底表示向量，其实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算和数乘运算.第29页返回导航 数学 1在本例(1)中已知条件不变，求DF 用 a 和 b 表示第30页返回导航 数学 解：ABCD 为平行四边形，aABAD，bAD AB，AB12(ab)由题意得DF 13DC 13AB1
11、6(ab)第31页返回导航 数学 2若将本例(2)改为：如图所示，在四边形 ABCD 中，DC 13AB，E 为 BC 的中点，且AExAByAD，则 3x2y_.第32页返回导航 数学 解析：ACAD DC AD 13AB又 E 为 BC 的中点AE12(ABAC)12AD 23AB，根据平面向量的基本定理，知 y12，x23，所以 3x2y3232121.答案：1第33页返回导航 数学 3将本例(3)改为：若点 M 是ABC 所在平面内的一点，且满足5AM AB3AC，则ABM 与ABC 的面积比为_第34页返回导航 数学 解析：设 AB 的中点为 D，由 5 AM AB3AC，得 3AM
12、 3AC2AD 2AM，即 3CM 2MD.如图所示故 C，M，D 三点共线，且MD 35CD.所以ABM 与ABC 的面积之比为35.答案：35第35页返回导航 数学 考点三 平面向量基本定理与坐标运算命题点1.已知点的坐标求向量坐标2.已知向量坐标进行向量坐标运算第36页返回导航 数学 例 3(1)如图，在四边形 ABCD 中，ABBCCD1，且B90，BCD135，记向量ABa，ACb，则AD()A.2a1 22 b B 2a1 22 bC 2a1 22 bD.2a1 22 b第37页返回导航 数学 解析：根据题意可得ABC 为等腰直角三角形，由BCD135，得ACD1354590，以
13、B 为原点，AB 所在直线为 x 轴，BC 所在直线为 y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，第38页返回导航 数学 并作 DEy 轴于点 E，则CDE 也为等腰直角三角形，由 CD1，得 CEED 22，则 A(1,0)，B(0,0)，C(0,1)，D22，1 22，AB(1,0)，AC(1,1)，AD 22 1，1 22，令AD ABAC，第39页返回导航 数学 则有 22 11 22，得 21 22，AD 2a1 22 b.答案：B第40页返回导航 数学(2)已知向量 a(2,4)，b(1,1)，则 2ab()A(5,7)B(5,9)C(3,7)D(3,9)第41页返回导航 数学 解析：由
14、 a(2,4)知 2a(4,8)，所以 2ab(4,8)(1,1)(5,7)答案：A第42页返回导航 数学 方法引航 1向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标.2有向线段表示的向量的坐标是用终点坐标减起点坐标.第43页返回导航 数学 1已知点 A(1,3)，B(4，1)，则与向量AB同方向的单位向量为()A.35，45B.45，35C.35，45D.45，35第44页返回导航 数学 解析：选 A.A(1,3)，B(4，1)，AB(3，4)，|AB|5，与AB同向的单位向量为 AB|AB|35，45.第45页返回导航 数学 2若向量 a(
15、1,1)，b(1，1)，c(1,2)则 c()A12a32bB.12a32bC.32a12bD32a12b第46页返回导航 数学 解析：选 B.设 c1a2b，则(1,2)1(1,1)2(1，1)(12，12)，121，122，解得 112，232，所以 c12a32b.第47页返回导航 数学 考点四 向量共线问题命题点1.判定向量共线2.利用向量共线求参数3.三点共线与向量第48页返回导航 数学 例 4(1)在下列向量组中，可以把向量 a(3,2)表示出来的是()Ae1(0,0)，e2(1,2)Be1(1,2)，e2(5，2)Ce1(3,5)，e2(6,10)De1(2，3)，e2(2,3)
16、第49页返回导航 数学 解析：由题意知，A 选项中 e10，C、D 选项中两向量均共线，都不符合基底条件，故选 B 事实上，a(3,2)2e1e2.答案：B第50页返回导航 数学(2)(2016高考全国甲卷)已知向量 a(m,4)，b(3，2)，且 ab，则 m_.第51页返回导航 数学 解析：a(m,4)，b(3，2)，ab，2m120，所以 m6.答案：6第52页返回导航 数学(3)已知ABC 的三个顶点 A，B，C 及所在平面内一点 P 满足PAPBPCAB，则点 P 与ABC 的关系为()AP 在ABC 内部 BP 在ABC 外部CP 在边 AB 上DP 在边 AC 上第53页返回导航
17、 数学 解析：由PAPBPCABPBPA，得 2PAPC0，CP2PA，即CPPA，C、P、A 三点共线答案：D第54页返回导航 数学 方法引航 1两向量平行的充要条件,若 ax1，y1，bx2，y2，则 ab 的充要条件是 ab，这与 x1y2x2y10 在本质上是没有差异的，只是形式上不同.2三点共线的判断方法,判断三点是否共线，先求由三点组成的任意两个向量，然后再按两向量共线进行判定.第55页返回导航 数学 1若在本例(1)中，A，B，C，D 的四组向量 e1e2 与 e2 同向的有哪些第56页返回导航 数学 解：由题意可知 A，C，D 中都是 e1e2A 组 e1e2(1,2)e2，C
18、 组 e1e2(3,5)(6,10)(9,15)32(6,10)，D 组 e1e20，故与 e2 同向的有 A，C，D.第57页返回导航 数学 2已知 b(3，2)求使 ab，且|a|13 时 a 的值第58页返回导航 数学 解：设 ab(3，2)|a|9242 13213，13|13，|13，13.a 13(3，2)，或 a 13(3，2)第59页返回导航 数学 3设OA(1，2)，OB(a，1)，OC(b,0)，a0，b0，O 为坐标原点，若 A，B，C 三点共线，则1a2b的最小值是()A2 B4C6 D8第60页返回导航 数学 解析：选 D.ABOB OA(a，1)(1，2)(a1,1
19、)，ACOC OA(b,0)(1，2)(b1,2)，A，B，C 三点共线，ABAC，2(a1)b1，2ab1.1a2b1a2b(2ab)24ab ba2424ab ba8，当且仅当4ab ba即 2ab12时，取等号第61页返回导航 数学 思想方法用函数与方程思想求解向量的线性运算典例 给定两个长度为 1 的平面向量OA 和OB，它们的夹角为23.如图所示，点C在以O为圆心的圆弧上运动若OC xOA yOB，其中 x，yR，求 xy 的最大值第62页返回导航 数学 解 以 O 为坐标原点，OA 所在的直线为 x 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则 A(1,0)，B12，32，设AOC0，23，
20、则 C(cos，sin)，由OC xOA yOB，得cos x12ysin 32 y，第63页返回导航 数学 所以 xcos 33 sin，y2 33 sin，所以 xycos 3sin 2sin6，又 0，23，所以当 3时，xy 取得最大值 2.第64页返回导航 数学 回顾反思 根据向量相等，建立实数方程(组)，把变量表示为函数求最值第65页返回导航 数学 高考真题体验1(2014高考广东卷)已知向量 a(1,2)，b(3,1)，则 ba()A(2,1)B(2，1)C(2,0)D(4,3)第66页返回导航 数学 解析：选 B.由于 a(1,2)，b(3,1)，于是 ba(3,1)(1,2)
21、(2，1)，选 B.第67页返回导航 数学 2(2015高考课标全国卷)已知点 A(0,1)，B(3,2)，向量AC(4，3)，则向量BC()A(7，4)B(7,4)C(1,4)D(1,4)第68页返回导航 数学 解析：选 A.设 C(x，y)，A(0,1)，AC(4，3)，x4，y13，解得x4，y2，C(4，2)，又 B(3,2)，BC(7，4)，选 A.第69页返回导航 数学 3(2015高考课标全国卷)设 D 为ABC 所在平面内一点，BC3CD，则()A.AD 13AB43ACB.AD 13AB43ACC.AD 43AB13ACD.AD 43AB13AC第70页返回导航 数学 解析：
22、选 A.由题意得AD ACCD AC13BCAC13AC13AB13AB43AC，故选 A.第71页返回导航 数学 4(2016高考北京卷)设 a，b 是向量则“|a|b|”是“|ab|ab|”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件第72页返回导航 数学 解析：选 D.取 ab0，则|a|b|0，|ab|0|0，|ab|2a|0，所以|ab|ab|，故由|a|b|推不出|ab|ab|.由|ab|ab|，得|ab|2|ab|2，整理得 ab0，所以 ab，不一定能得出|a|b|，故由|ab|ab|推不出|a|b|.故“|a|b|”是“|ab|ab|”的既不
23、充分也不必要条件故选 D.第73页返回导航 数学 5(2015高考课标全国)设向量 a，b 不平行，向量 ab 与 a2b 平行，则实数 _.第74页返回导航 数学 解析：由于 ab 与 a2b 平行，所以存在 R，使得 ab(a2b)，即()a(12)b0，因为向量 a，b 不平行，所以 0,120，解得 12.答案：12第75页返回导航 数学 6(2015高考北京卷)在ABC 中，点 M，N 满足AM 2MC，BNNC.若MN xAByAC，则 x_；y_.第76页返回导航 数学 解析：由题中条件得MN MC CN 13AC 12CB 13AC 12(ABAC)12AB16ACxAByAC，所以 x12，y16.答案：12 16第77页返回导航 数学 课时规范训练