1、广东省茂名市2020届高三数学第二次综合测试试题 理（含解析）一选择题1. 若，则复数的虚部为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】化简再根据复数相等的条件列式求解.【详解】，所以的虚部，故选：B【点睛】本题考查了复数的运算，两复数相等的条件，属于容易题.2. 已知集合,，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】分别求出集合和集合的取值范围，再求并集即可【详解】解：依题意可得，所以.故选：D【点睛】本题考查集合的并集运算，属于基础题3. 已知，且，则( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】解法一：由题意求出的值，然后代入求出结果；解法二：由两
2、角差的余弦公式求出结果【详解】解法一：由，且得，代入得，=，故选C解法二：由，且得，所以，故选C【点睛】本题考查了运用两角差的余弦公式来求出三角函数值，较为基础4. 下列命题错误的是（ ）A. “”是“”的充要条件B. 命题“若，则方程有实根”的逆命题为真命题C. 中，若“”，则“”D. 命题，则【答案】D【解析】【分析】根据命题的定义，命题的条件，结论及逆否命题的定义进行判断即可【详解】由，A正确；命题“若，则方程有实根”的逆命题为命题“若方程有实根，则”，若方程有实根，B正确；在中，若（根据正弦定理）C正确，对于D选项，明显不符合逆命题的定义，D错误故选：D【点睛】本题考查命题的真假判断、
3、充要条件的判断、命题及其相互关系，属于基础题.5. 易系辞上有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中国古代流传下来的两幅神秘图案，蕴含了深奥的宇宙星象之理，被誉为“宇宙魔方”，是中华文化阴阳术数之源河图的排列结构如图所示，一与六共宗居下，二与七为朋居上，三与八同道居左，四与九为友居右，五与十相守居中，其中白圈为阳数，黑点为阴数，若从阳数和阴数中各取一数，则其差的绝对值为的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】列出图中的阴数、阳数，求出从阳数和阴数中各取一数的所有组合总数、满足差的绝对值为的组合数，利用古典概型概率计算公式求解即可.【详解】阳数为；阴数为，从阳数和阴数中各
4、取一数的所有组合共有个，满足差的绝对值为的有，共个，则.故选：A【点睛】本题考查古典概型概率计算公式，属于基础题.6. “辗转相除法”是欧几里得原本中记录的一个算法，是由欧几里得在公元前300年左右首先提出的，因而又叫欧几里得算法.如图所示一个当型循环结构的“辗转相除法”程序框图.当输入，输出的m是（ ）A. 3B. 19C. 171D. 114【答案】C【解析】【分析】先求出除以得余数，然后利用辗转相除法，将的值赋给，将余数赋给，进行迭代，一直算到余数为时，输出的值即可【详解】解：输入，又.，；，；，则否，输出故选：C【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，对于
5、运行次数较少时，一般逐一列举运行结果，直至运行结束；对于运行次数较多时，一列举部分运行结果，直至由规律可循，根据规律求出结果7. 如图，某沙漏由上下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为8cm，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的（细管长度忽略不计）.当细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆，则此沙堆的侧面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先求出细沙在上部容器时的体积为，再根据流入下部后的圆锥形沙锥底面半径为4，结合等体积法求出高h，最后求出流入下部后的圆锥形侧面积即可【详解】解：细沙在上部容器时的体积为，流入下部后的圆锥形沙锥底面半径为4，设高为h，
6、则，下部圆锥形沙锥的母线长，此沙锥的侧面积.故选：D【点睛】本题主要考查了圆锥体积和侧面积的计算与应用，其中解答中熟练应用圆锥的体积公式，利用等体积法是关键，着重考查了推理能力和运算能力，以及数形结合思想的应用，属于中档题8. 设偶函数满足，则使不等式成立的x取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】易知在上单调递减，且.再根据的奇偶性，解不等式，即得x的取值范围.【详解】易知在上单调递减，且，由得，又因为为偶函数，所以或，所以或.故选：A.【点睛】本题考查函数的性质，属于中档题.9. 圆与双曲线的两条渐近线相切于、两点，若，则的离心率为（ ）A. B. C. 2D.
7、3【答案】A【解析】【分析】根据题意画出图象，根据题意可得：，结合图象求得，根据双曲线的两条渐近线为：，可得，根据离心率定义，即可求得答案.【详解】根据题意画出图象：如图圆与双曲线的两条渐近线相切于、两点，且，可得：，根据双曲线的两条渐近线为：.，故选：A.【点睛】本题考查了双曲线的几何性质离心率的求解，其中求双曲线的离心率(或范围)，常见有两种方法，方法一：求出 ，代入公式；方法二：只需要根据一个条件得到关于的齐次式，转化为的齐次式，然后转化为关于的方程，即可得的值(范围)10. 某贫困县为了实施精准扶贫计划，使困难群众脱贫致富，对贫困户实行购买饲料优惠政策如下：（1）若购买饲料不超过200
8、0元，则不给予优惠；（2）若购买饲料超过2000元但不超过5000元，则按标价给予9折优惠；（3）若购买饲料超过5000元，其5000元内的给予9折优惠，超过5000元的部分给予7折优惠.某贫穷户购买一批饲料，有如下两种方案：方案一：分两次付款购买，分别为2880元和4850元；方案二：一次性付款购买.若取用方案二购买此批饲料，则比方案一节省（ ）元A. 540B. 620C. 640D. 800【答案】C【解析】【分析】方案一：两次付款分别为2880元和4850元，元的原价享受了9折优惠，则其原价为元； 元的原价享受了5000元内的给予9折优惠，超过5000元的部分给予7折优惠，则原价为：元
9、，故两次购买饲料的原价为元. 方案二：一次性付款，则应付款为：元相减即可得节省的钱【详解】解：依题意可得，方案一：第一次付款2880元时，因为，所以该款的原价享受了9折优惠，则其原价为元；第二次付款4850元时，因为，所以其原来的价格为元.所以分两次购买饲料的原价为元.方案二：若一次性付款，则应付款为：元，所以节省元.故选：C【点睛】本题主要考查函数模型及其应用，根据实际问题选择函数模型，解题的关键是要读懂题目的意思，属于中档题11. 已知六棱锥的底面是正六边形，平面ABC，.则下列命题中正确的有（ ）平面平面PAE；直线CD与PF所成角的余弦值为；直线PD与平面ABC所成的角为45；平面PA
10、E.A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】要判断面面垂直，需先判断是否有线面垂直，根据线线，线面的垂直关系判断；由条件可知若，可推出平面，则，判断是否有矛盾；异面直线所成的角转化为相交直线所成的角，即根据，转化为求；根据线面角的定义直接求解；若平面，则，由正六边形的性质判断是否有矛盾.【详解】平面ABC，在正六边形ABCDEF中，平面PAE，且面PAB，平面平面PAE，故成立；由条件可知若，平面，则，可推出平面，则，这与不垂直矛盾，故不成立；，直线CD与PF所成角为，在中，成立在中，故成立.若平面，平面平面 则，这与不平行矛盾，故不成立.所以正确的是故选：B【点睛】本题考查点，线，
11、面的位置关系，重点考查推理证明，空间想象能力，属于基础题型.12. 若关于x的方程在上有唯一实数解，则实数m的取值范围（ ）A. 或B. C. 或D. 【答案】A【解析】【分析】首先设，则在上有唯一解，转化为，即与有一个交点，求的取值范围.【详解】设，所以当时，此时，由题意得，有唯一实数解，有唯一实数解，令，由对勾函数的性质可知时，在单调递减，在上单调递增，所以在单调递增，在上单调递减，且当时，当时，结合的图象可知，若与的图象有唯一交点，即方程在上有唯一实数解，此时m的取值范围是或.故选：A【点睛】本题考查根据方程的实数根求参数的取值范围，重点考查函数与方程的思想，换元法，数形结合分析问题的能
12、力，计算能力，属于中档题型.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知向量，若，则_【答案】【解析】【分析】求出向量的坐标，利用平面向量垂直的坐标表示可得出关于的等式，进而可求得实数的值.【详解】，解得.故答案为：.【点睛】本题考查利用平面向量垂直求参数，考查计算能力，属于基础题.14. 的展开式中，常数项是_.【答案】60【解析】【分析】首先写出二项展开式的通项 ，再令，求得常数项.【详解】的展开式的通项为，令得，所以常数项是.故答案为：60【点睛】本题考查二项展开式指定项的求法，重点考查计算能力，属于基础题型.15. 已知曲线在点处的切线的倾斜角为，则_.【答案】【解析
13、】【分析】首先求函数的导数，利用导数的几何意义可知，再利用，变形为，再上下同时除以，化简求值.【详解】由，在点处切线斜率，即所以.故答案为：【点睛】本题考查导数的几何意义，三角函数的化简求值，重点考查计算能力，属于基础题型.16. 在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且，则的a，b的等量关系式为_，其面积的最大值为_.【答案】 (1). (2). 12【解析】【分析】将式中的6换为c，然后利用正弦定理的边角互化以及两角和的正弦公式可得，从而可得，进而可得，再以AB为x轴，AB的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，直接法求出点的轨迹方程，数形结合即可求解.【详解】等式中6换为c得：由正弦定
14、理有：，移项整理得：，即，所以，即.以AB为x轴，AB的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，则，设，则化简得：如图，顶点C在圆上，记圆心为显然当时，三角形ABC的面积最大，这时.故答案为：；12【点睛】本题考查了正弦定理的边角互化、两角和的正弦公式、圆的轨迹方程，属于基础题.三、解答（本大题共5小题，每题12分共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17. 设，数列的前n项和为，已知，且，正项的等差数列的首项为2，且，成等比数列.（1）求和的通项公式；（2）求证：.【答案】（1），；（2）见解析【解析】【分析】（1）利用与的关系可得是以首项，公比为的等比数列，然后利用等比数列与等差数列
15、的通项公式即可求解.（2）由（1）得，然后利用等比数列的前项和公式即可求解.【详解】（1）由得，是以首项，公比为的等比数列，设等差数列的公差为d，由，且，成等比数列.，即，.（2）由（1）得.【点睛】本题主要考查了等差数列、等比数列的通项公式、等比数列的前项和公式，需熟记公式，属于基础题.18. 如图，已知内接于圆O，AB是圆O的直径，四边形DBCE为平行四边形，F是CD的中点，（1）证明：平面ADE；（2）若四边形DBCE为矩形，且四边形DBCE所在的平面与圆O所在的平面互相垂直，AE与圆O所在的平面的线面角为60.求二面角的平面角的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）
16、连结BE，证出，再利用线面平行的判定定理即证.（2）利用面面垂直的性质定理证出平面ABC，以C点为原点，为轴，为轴建立空间直角坐标系，求出平面AED的一个法向量与平面AEB的一个法向量，利用空间向量的数量积即可求解.【详解】（1）连结BE，DBCE平行四边形且F为CD中点F为BE中点，又O为AB的中点平面ADE，平面ADE平面ADE.（2）矩形平面ABC，平面平面，平面DBCE，平面ABC又AB为圆O的直径，以C点为原点，为轴，为轴建立如图所示的空间直角坐标系，由平面ABC得，就是AE与平面ABC所成的角由得，设平面AED的一个法向量，由，得，即，令，则，所以同理可得，平面AEB的一个法向量二
17、面角平面角的余弦值为.【点睛】本题考查了线面平行的判定定理、空间向量法求二面角，考查了基本运算求解能力，属于中档题.19. 已知椭圆右焦点与抛物线的焦点重合，以原点为圆心、椭圆短半轴长为半径的圆与直线相切.（1）求椭圆的方程（2）若直线与y轴交点为P，A、B是椭圆上两个动点，它们在y轴两侧，的平分线与y轴重合，则直线AB是否过定点，若过定点，求这个定点坐标，若不过定点说明理由.【答案】（1）；（2）存在，定点为【解析】【分析】（1）利用椭圆与抛物线焦点重合，先求出，然后根据直线与圆的切线关系求得椭圆的短半径即可（2）利用，求出直线及其与y轴交点，可设椭圆上A、B两个动点的坐标为：、，然后，设A
18、B方程为：，通过直线与椭圆的联立方程求出和，最后，利用的平分线在y轴上，得，进而求出，然后把代入直线即可求得该直线必过的定点【详解】（1）抛物线的焦点为，所以直线：与圆相切，椭圆C的方程是.（2），直线与y轴交点设椭圆上A、B两个动点的坐标为：、.AB方程为：，由得：，得：，同理又的平分线在y轴上，直线恒过定点.【点睛】本题考查椭圆及其标准方程的求解，以及直线与圆锥曲线的定点问题，属于难题20. 2020年初全球爆发了新冠肺炎疫情，为了防控疫情，某医疗科研团队攻坚克难研发出一种新型防疫产品，该产品的成本由原料成本及非原料成本组成，每件产品的非原料成本y（元）与生产该产品的数量x（千件）有关，根
19、据已经生产的统计数据，绘制了如下的散点图.观察散点图，两个变量不具有线性相关关系，现考虑用函数对两个变量的关系进行拟合.参考数据（其中）：0.410.16811.49230620858.44173.850.39（1）求y关于x回归方程，并求y关于u的相关系数（精确到0.01）.（2）该产品采取订单生产模式（根据订单数量进行生产，即产品全部售出）.根据市场调研数据，若该产品单价定为80元，则签订9千件订单的概率为0.7，签订10千件订单的概率为0.3；若单价定为70元，则签订10千件订单的概率为0.3，签订11千件订单的概率为0.7.已知每件产品的原料成本为30元，根据（1）的结果，要想获得更高
20、利润，产品单价应选择80元还是70元，请说明理由.参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，相关系数.【答案】（1），0.96；（2）单价应选择80元，理由见解析【解析】【分析】（1）令，则可转化为，求得，可求得回归方程和线性相关系数.（2）求出产品单价为80元，记企业利润为X（元），企业利润X（元）的分布列和利润的期望，产品单价为70元，记企业利润为Y（元），企业利润Y（元）的分布列和利润的期望，比较可得出选择.【详解】（1）令，则可转化为，因为，所以，则，所以，因此y关于x的回归方程为；y与u的相关系数为：，（2）法一：（i）若产品单价为80元，记企业利润为X（
21、元），订单为9千件时，每件产品的成本为元，企业的利润为（元），订单为10千件时，每件产品成本为元，企业的利润为（元），企业利润X（元）的分布列为X260000300000P0.70.3所以（元）；（ii）若产品单价为70元，记企业利润为Y（元），单为10千件时，每件产品的成本为元，企业的利润为（元），订单为11千件时，每件产品的成本为元，企业的利润为（元），企业利润Y（元）的分布列为Y200000230000P0.30.7所以（元），又，故企业要想获得更高利润，产品单价应选择80元.法二：（i）若产品单价为80元，记企业的产量为X（千件），其分布列为Y910P0.70.3所以企业的利润为：（i
22、i）若产品单价为70元，记企业的产量为Y（千件），其分布列为X1011P0.30.7所以企业的利润为：又, 故企业要想获得更高利润，产品单价应选择80元.【点睛】本题考查回归方程的求解方法，以及随机变量的分布列和利润的期望，属于中档题.21. 已知函数，.（1）若，求证：有且只有两个零点（2）有两个极值点，且不等式恒成立，试求实数m的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】【分析】（1）求出的定义域.求出，判断的单调性.根据零点存在定理可得在区间和上各有一个零点，结合的单调性，可证有且只有两个零点；（2）定义域为.不等式恒成立，等价转化为.求出，故有两个极值点， 即方程有两不等实根，根
23、据韦达定理可得，故.令，求出，判断的单调性，可求实数m的取值范围.【详解】（1）证明：当时，函数，定义域为.令，得；令，得.在上是减函数，在上是增函数.又，在有且只有一个零点，即在有且只有一个零点.同理，在有且只有一个零点，即在有且只有一个零点，有且只有两个零点.（2）定义域为，.有两个极值点， 有两不等实根，且，.又，.由不等式恒成立，得恒成立.令，当时,恒成立，在上单调递减，.故实数m的取值范围是.【点睛】本题考查利用导数研究函数的零点和极值点，考查利用导数研究不等式恒成立问题，属于难题.（二）选考部分：共10分请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时
24、，请用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.22. 在平面直角坐标系中，已知曲线(为参数)，以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程，点在直线上，直线与曲线交于两点（1）求曲线的普通方程及直线的参数方程；（2）求的面积【答案】（1），(为参数)；（2）【解析】【分析】（1）消参将曲线的参数方程化为普通方程，再将的极坐标方程先化为一般方程，再化为参数方程；（2）联立直线与椭圆方程，求出弦长，再求点到的距离，求出的面积.【详解】（1）将曲线，消去参数得，曲线的普通方程为，点在直线上，展开得，又，直线的直角坐标方程为，显然过点，倾斜角为，直线的参数方程为（为参数）（2）由（1
25、），将直线的参数方程代入曲线的普通方程得：，整理得，显然，设对应的参数为，则由韦达定理得，由参数的几何意义得，又原点到直线的距离为，因此，的面积为【点睛】本题考查了参数方程、极坐标方程与普通方程的相互转化，点到直线的距离公式,还考查了直线与椭圆相交时的弦长问题.23. 已知函数（1）若，求的取值范围；（2）若最大值为，且，求证：【答案】（1）； （2）证明见解析【解析】【分析】(1)去绝对值，解不等式.(2)由绝对值不等式求出最值，再构造柯西不等式证明不等式.【详解】解：（1）由题得 或 或 ，解得 或 或 ，得，故的取值范围为.(2)由，则，故最大值为，即，由柯西不等式有，得，当且仅当时，等号成立.【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法，三角不等式求最值，构造柯西不等式证明不等式.
