1、第四章导数应用(B)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1函数f(x)x3ax2在区间(1，)内是增函数，则实数a的取值范围是()A5若函数f(x)asin xsin x在x处有极值，那么a等于()A2 B1 C. D06函数f(x)x33x21的单调减区间为()A(2，) B(，2)C(，0) D(0,2)7若函数f(x)x2bxc的图象的顶点在第四象限，则函数f(x)的图象是()8方程x3x2xa0 (aR)的实数根的个数为()A0个 B1个C2个 D3个9函数y4xx4在x上的最大值，最小值分别是()Af(1)与f(1) Bf(1)与f(
2、2)Cf(1)与f(2) Df(2)与f(1)10函数f(x)2x2x3在区间上的最大值是()A. B. C12 D911对于函数f(x)x33x (|x|1)，正确的是()A有极大值和极小值B有极大值无极小值C无极大值有极小值D无极大值无极小值12函数f(x)x3ax2bxa2在x1处有极值10，则a，b的值是()Aa11，b4 Ba4，b11Ca11，b4 Da4，b11题号123456789101112答案二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13若f(x)x2bln x2在(0，)上是减函数，则b的取值范围是_14设函数f(x)ax33x1 (xR)，若对于x，都有f(x)
3、0，则实数a的值为_15.如图所示，内接于抛物线y1x2的矩形ABCD，其中A、B在抛物线上运动，C、D在x轴上运动，则此矩形的面积的最大值是_16已知函数f(x)x3ax2bxc，x表示过原点的曲线，且在x1处的切线的倾斜角均为，有以下命题：f(x)的解析式为f(x)x34x，xf(x)的极值点有且只有一个f(x)的最大值与最小值之和等于零其中正确命题的序号为_三、解答题(本大题共6小题，共70分)17(10分)若函数f(x)x3ax2(a1)x1在区间(1,4)上为减函数，在区间(6，)上为增函数，试求实数a的取值范围18(12分)已知函数f(x)x3ax2bxc在x与x1时都取得极值(1
4、)求a，b的值与函数f(x)的单调区间；(2)若对x，不等式f(x)ln 21且x0时，exx22ax1.22(12分)已知函数f(x)x2ln x.(1)求函数f(x)在上的最大值和最小值；(2)求证：当x(1，)时，函数f(x)的图像在g(x)x3x2的下方第四章导数应用(B)1B2D3C4A5B6D7A8B9B10A11D12D13(，0解析f(x)x，又f(x)在(0，)上是减函数，即f(x)0在(0，)上恒成立，又x0，故x2b0在(0，)上恒成立，即bx2在(0，)上恒成立b0.144解析若x0，则不论a取何值，f(x)0，显然成立；当x0，即x(0,1时，f(x)ax33x10可
5、转化为a，设g(x)，则g(x).所以g(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减，因此g(x)maxg4，从而a4；当x0，ax1.又x1(7，)，a7，同时成立，5a7.经检验a5或a7都符合题意，所求a的取值范围为5a7.18解(1)f(x)x3ax2bxc，f(x)3x22axb，由fab0，f(1)32ab0得a，b2.f(x)3x2x2(3x2)(x1)，令f(x)0，得x1，令f(x)0，得x1.所以函数f(x)的递增区间是和(1，)，递减区间是.(2)f(x)x3x22xc，x，由(1)知，当x时，fc为极大值，而f(2)2c，则f(2)2c为最大值，要使f(x)f(2)2c，得
6、c2.19解(1)f(x)3x26x9.令f(x)0，解得x3，所以函数f(x)的单调递减区间为(，1)，(3，)(2)因为f(2)81218a2a，f(2)81218a22a，所以f(2)f(2)因为在(1,3)上f(x) 0，所以f(x)在上单调递增，又由于f(x)在上单调递减，因此f(2)和f(1)分别是f(x)在区间上的最大值和最小值于是有22a20，解得a2.故f(x)x33x29x2.因此f(1)13927，即函数f(x)在区间上的最小值为7.20解设每次订购电脑的台数为x，则开始库存量为x台，经过一个周期的正常均匀销售后，库存量变为零，这样又开始下一次的订购，因此平均库存量为x台
7、，所以每年的保管费用为x4 00010%元，而每年的订货电脑的其它费用为1 600元，这样每年的总费用为1 600x4 00010%元令y1 600x4 00010%，y5 0001 6004 00010%.令y0，解得x200(台)也就是当x200台时，每年订购电脑的其它费用及保管费用总费用达到最小值，最小值为80 000元21(1)解由f(x)ex2x2a，xR知f(x)ex2，xR.令f(x)0，得xln 2.于是当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：故f(x)的单调递减区间是(，ln 2)，单调递增区间是(ln 2，)，f(x)在xln 2处取得极小值，极小值为f(ln 2)
8、2(1ln 2a)(2)证明设g(x)exx22ax1，xR，于是g(x)ex2x2a，xR.由(1)知当aln 21时，g(x)取最小值为g(ln 2)2(1ln 2a)0.于是对任意xR，都有g(x)0，所以g(x)在R内单调递增于是当aln 21时，对任意x(0，)，都有g(x)g(0)而g(0)0，从而对任意x(0，)，都有g(x)0，即exx22ax10，故exx22ax1.22(1)解f(x)x2ln x，f(x)2x.x1时，f(x)0，f(x)在上是增函数，f(x)的最小值是f(1)1，最大值是f(e)1e2.(2)证明令F(x)f(x)g(x)x2x3ln x，F(x)x2x2.x1，F(x)0，F(x)在(1，)上是减函数，F(x)F(1)0.f(x)g(x)当x(1，)时，函数f(x)的图像在g(x)x3x2的下方