1、第三节 从自由落体到匀变速直线运动 1.匀变速直线运动的四个基本公式(1)速度公式：vt_.(2)位移公式：s_.(3)位移与速度的关系式：_.(4)平均速度公式：v st_.v0atv0t12at2v2tv202asv0vt2(3)某段位移的中间位置的瞬时速度2sv _.可以证明，无论是匀加速直线运动还是匀减速直线运动，均有2tv _2sv.2.匀变速直线运动中三个常用的结论(1)匀变速直线运动的物体在连续相等时间内的位移之差相等.即ss2s1s3s2s4s3aT2，可以推广到s msn_.(mn)aT2(2)物体在某段时间的中间时刻的瞬时速度等于该段时间v0vt2v20v2t2内的平均速度
2、.即2tv _.123n122232n23.初速度为零的匀变速直线运动的推论(1)1T 末、2T 末、3T 末、nT 末瞬时速度之比为：v1v2v3vn_.(2)1T 内、2T 内、3T 内、nT 内的位移之比为：s1s2s3sn_.(3)第一个 T 内，第二个 T 内，第三个 T 内，第 n 个 T内位移之比为：135(2n1)s1s2s3sn_.(4)通过前s、前2s、前3s、的速度之比为：v1v2v3vn_.(5)通过前s、前2s、前3s、的位移所用时间之比为：t1t2t3tn_.(6)通过连续相等的位移所用时间之比为：t1t2t3tn_1 2 3 n1 2 3 n1(21)(3 2)(
3、n n1)_.)4.物体做匀加速直线运动，已知加速度为 2 m/s2，那么(A.在任意时间内，物体的末速度一定等于初速度的 2 倍B.在任意时间内，物体的末速度一定比初速度大 2 m/sC.在任意一秒内，物体的末速度一定比初速度大 2 m/sD.第 n s 的初速度一定比第(n1)s 的末速度大 2 m/s答案：C解析：由速度公式vtv0at可知，在任意时间t内，vt为任意值，所以A错；在一定时间t内的速度增量vvtv0at，它的大小既与a有关，又与t有关，当t为任意值时，v也为任意值，因此B错；当t1 s，a2 m/s2时，v2m/s，即末速度比初速度大2 m/s，所以C对；由于第n s初和
4、第(n1)s末是同一时刻，同一时刻对应的速度是相同的，D错.知识点 1 匀变速直线运动规律若已知匀变速直线运动的初速度 v0 和末速度 vt，根据加速度的定义式 avt、平均速度的定义式 v st和匀变速直线运动平均速度 v v0vt2，你能推导出匀变速直线运动规律的表达式吗？推证：由加速度的定义式 avt可得匀变速直线运动速度公式：vtv0at根据匀变速直线运动的速度是均匀增加的，则某一过程的平均速度为：v v0vt2 由平均速度的定义可知 v st 2as综合，消去 v、vt 得匀变速直线运动的位移公式：s_消去 v、t 得匀变速直线运动速度与位移的关系式：v2tv20_.v0t12at2
5、1.匀变速直线运动速度公式：vtv0at.速度公式虽然是加速度定义式 avtv0t的变形，但两式的适用条件不同：(1)vtv0at 仅适用于匀变速直线运动.(2)avtv0t适用于任意的运动，包括直线运动和曲线运动.2.匀变速直线运动位移公式：sv0t12at2.v0、a、s 均为矢量，使用公式时应先规定正方向，一般以v0 的方向为正方向.若 a 与 v0 同向，则 a 取正值；若 a 与 v0 反向，则 a 取负值；若位移计算结果为正值，说明这段时间内位移的方向为正；若位移计算结果为负值，说明这段时间内位移的方向为负.3.匀变速直线运动速度与位移的关系：v2tv202as.此式是匀变速直线运
6、动规律的一个重要推论，如果问题的已知量和未知量都不涉及时间，应用此式求解比较方便，对于初速度为零的匀变速直线运动，此式可简化为 v2t2as.4.匀变速直线运动的平均速度：v v0vt2.(1)此式只适用于匀变速直线运动，不论是匀加速直线运动还是匀减速直线运动都适用，但对非匀变速直线运动的平均速度只能用平均速度的定义式 v st来计算.(2)式中的“v0vt”是矢量和，不是代数和.对匀变速直线运动来说，v0 和 vt 在一条直线上，可以通过规定正方向，把矢量运算转化为代数运算.5.速度时间图象的意义(1)匀变速直线运动图象的斜率表示物体运动的加速度.(2)对于任何形式的直线运动的 vt 图象中
7、，图线与时间轴所围的面积等于物体的在该段时间内的位移.(3)vt 图象与时间轴围成的面积有正负之分，在时间轴上方为正，下方为负(表示位移为负方向).如图2-3-1 所示，图线与 t 轴围成两个三角形，面积分别为s1和s2，此时s10，0t2时间内的总位移 s|s2|s1|，若 s0，位移为正；若 s0，位移为负.图 2-3-1【例 1】火车沿直线铁轨匀加速前进，通过一路标时的速度为 10.8 km/h，1 min 后变成 54 km/h，又经过一段时间，火车的速度才达到 64.8 km/h.求所述过程中，火车的位移是多少？解：v110.8 km/h3 m/s，v254 km/h15 m/s，v
8、364.8 km/h18 m/s.解法一：平均速度公式法.火车的加速度 av2v1t115360 m/s20.2 m/s2整个过程火车运动的时间 tv3v1a1830.2 s75 s整个过程的平均速度v v1v323182 m/s10.5 m/s所以火车的位移s v t10.575 m787.5 m.解法二：位移公式法.由 sv0t12at2 得s375 m120.2752 m787.5 m.解法三：位移与速度的关系式法.由 v2tv202as 得sv23v212a1823220.2 m787.5 m.【触类旁通】1.(2014 年云南师大附中月考)火车在平直铁路上以 72 km/h的速度匀速
9、行驶，现需要在一小站临时停靠，火车减速时加速度大小为 0.5 m/s2，速度减为零在该站停车 3 min 后又以 0.4 m/s2的加速度启动，速度到达 72 km/h 后又保持匀速运动，求与不停车相比，火车因停靠该站延误的时间.解：v72 km/h20 m/s火车减速到 0 所对应的时间 t1200.5s40 s位移 s1 v22a1 20220.5m400 m停站时间 t23 min180 s再次启动 t3200.4 s50 s位移 s3 v22a2 20220.4 m500 m总时间 tt1t2t3270 s若不停车 t40050020 s45 s延误时间 ttt270 s45 s225
10、 s.速度，即2tv v v0vt2，试应用匀变速直线运动的基本公式推导此结论.推证：由 vtv0at，得经t2时间的瞬时速度：2tv _把 atvtv0 代入上式中得：2tv _vtv02 v.知识点 2 匀变速直线运动的几个推论1.某段时间内中间时刻的瞬时速度等于这段时间内的平均v0at2v012(vtv0)2.某段位移内中间位置的瞬时速度2sv 与物体在这段位移内的初、末速度 v0 和 vt 的关系为2sv v20v2t2，试选择有关公式推导此结论.推证：由 v2tv202as，知22sv v20_把 as12(v2tv20)代入上式得：2as2v2012(v2tv20)22sv _整理
11、得2sv v20v2t2.3.在连续相等的时间 T 内的位移之差为一恒定值，即saT2(又称匀变速直线运动的判别式)，试推导此结论.推证：设物体以初速度 v0、加速度 a 做匀加速直线运动，则第 n 个 T 时间内的位移为：sn_第 n1 个 T 时间内的位移为：sn1_所以ssn1snaT2.vnvn12Tvn1vn2T2aTvn1vn2T匀变速直线运动的几个常用的结论(1)saT2，即任意相邻相等时间内的位移之差相等，可以推广到smsn(mn)aT2.间内的平均速度.(2)2tv vtv02，某段时间的中间时刻的瞬时速度等于该段时【例 2】一个做匀加速直线运动的质点在连续相等的两个时间间隔
12、内通过的位移分别是 24 m 和 64 m，每一个时间间隔为 4 s，求质点的初速度和加速度.解：匀变速直线运动的规律可用多个公式描述，因而选择不同的公式所对应的解决方法也不相同.解法一：基本公式法.画出运动过程示意图，如图 2-3-2 所示，因题目中只涉及位移与时间，故选择位移公式，有图 2-3-2s1vAt12at2s2vA(2t)12a(2t)2vAt12at2代入数据解得 a2.5 m/s2，vA1 m/s.解法二：平均速度公式法.连续的两段时间 t 内的平均速度分别为v 1s1t 244 m/s6 m/s，v 2s2t 644 m/s16 m/sB 点是 AC 段的中间时刻，则 v
13、1vAvB2，v 2vBvC2vBvAvC2v 1 v 226162 m/s11 m/s得 vA1 m/s，vC21 m/savCvA2t21124 m/s22.5 m/s2.解法三：特殊规律法.由 sat2 得 ast2 4042 m/s22.5 m/s2再由 s1vAt12at2 解得 vA1 m/s.【触类旁通】2.一架载满乘客的客机由于某种原因紧急着陆，着陆时的加速度大小为 6.0 m/s2，着陆前的速度为 60 m/s，问飞机着陆后12 s 内滑行的距离多大？图 2-3-3解：客机停止所需要的时间为因此 12 s 前客机已经停止.则t0v0a60 m/s6 m/s210 s12 ss
14、02v202a0260226 m300 m.应用匀变速直线运动规律解题1.解题时巧选公式的基本方法(1)如果题目中无位移 s，也不需求位移，一般选用速度公式 vtv0at.(2)如果题目中无末速度 v，也不需求末速度，一般选用位移公式 sv0t12at2.(3)如果题中无运动时间 t，也不需要求运动时间，一般选用导出公式 v2tv202as.(4)如果题目中无加速度 a，也不涉及加速度的问题，用 v stv0vt2计算比较方便.2.匀变速直线运动问题的解题步骤(1)根据题意，确定研究对象.(2)明确物体做什么运动，并且画出运动示意图.(3)分析研究对象的运动过程及特点，合理选择公式，注意多个运
15、动过程的联系.(4)确定正方向，列方程求解.(5)对结果进行讨论、验算.【例 3】一物体做初速度为零的匀加速直线运动，从开始运动起，物体分别通过连续三段位移时间之比是 123，求这三段位移的大小之比.解：题中要求的位移比不是连续相等时间间隔的位移比，可以依据运动学公式分别求出各阶段时间内的位移进行比较，也可巧用连续相等时间内的位移比.解法一：设通过连续三段位移所用的时间分别为 t、t、t，且 t2t，t3t，根据匀变速运动的位移公式，有 s12at2解法二：若根据初速度为零的匀加速直线运动连续相等的时间间隔内的位移之比为连续奇数之比，再将总时间分为(123)6 段，则s1s2s3s4s5s61
16、357911故ssss1(s2s3)(s4s5s6)1(35)(7911)1827.s12a(tt)2t2s12a(ttt)2(tt)2得 ssst28t227t21827.【触类旁通】3.(2014 年洛阳期中)某质点 0 s 时自静止开始以加速度 a12 m/s2 从 A 点出发，做匀加速直线运动；5 s 时开始做匀速直线运动，10 s 时开始做匀减速直线运动，12 s 时恰好静止在 B点.求：(1)质点做匀减速运动的加速度.(2)12 s 内质点的位移的大小.解：(1)在匀加速过程中 v1a1t125 m/s10 m/s在匀减速过程中 0v1a2t3联立可解得 a25 m/s2.(2)在匀加速过程中 x1v12 t1102 5 m25 m在匀速过程中 x2v1t2105 m50 m在匀减速过程中 x3v12 t3102 2 m10 m12 s 内质点的位移的大小xx1x2x3(255010)m85 m.
