1、复数1、(92全国理，24)已知zC，解方程z3=1+3i.设z=x+yi(x,yR),代入原方程，得(x+yi)(xyi)3i(xyi)=1+3i,即(x2+y23y)3xi=1+3i,根据复数相等的定义，得x=1，y23y=0即y(y3)=0因此，方程组的解为，或即原方程的解为z1=1, z2=1+3i.评述：本题主要考查复数相等的条件及解方程的知识，要求熟练运用复数相等的条件解题，掌握复数方程向实数方程组转化的思想.2、(93全国文，29、理，28)设复数z=cos+isin,(0，w=,已知|w|=,argw,求.=tg2(sin4+icos4)w=tg2sin4+icos4=tg2=
2、又因为0，所以022.当tg2=时，=或，则w=(cos+isin), argw=,适合.当tg2=时，=或(舍去)，则w=(cos+isin,argw=,舍去.所以=或.评述：本题主要考查复数的基本概念和运算，三角函数式的恒等变形及综合解题能力.3、.(94全国理，21)已知z=1+i,(1)设w=22+34,求w的三角形式.(2)如果=1i，求实数a,b的值.解：(1)由z=1+i，有w=(1+i)23(1i)4=1i,所以w的三角形式是（cosisin）(2)由z=1+i，有（a2）（ab）i由题设条件知，(a+2)(a+b)i=1i.根据复数相等的定义，得解得所以实数a,b的值分别为1
3、,2.评述：本题考查了共轭度数、复数的三角形式等基础知识及运算能力.4.(95全国理，21)在复平面上，一个正方形的四个顶点按照逆时针方向依次为Z1，Z2，Z3，O(其中O是原点)，已知Z2对应复数z2=1+i,求Z1和Z3对应的复数.解：(1)由z=1+i，有w=(1+i)23(1i)4=1i,所以w的三角形式是（cosisin）(2)由z=1+i，有（a2）（ab）i由题设条件知，(a+2)(a+b)i=1i.根据复数相等的定义，得解得所以实数a,b的值分别为1,2.评述：本题考查了共轭度数、复数的三角形式等基础知识及运算能力.5、 (97全国理，20)已知复数z=i，w=+i，复数，z2
4、w3在复平面上所对应的点分别为P、Q，证明OPQ是等腰直角三角形(其中O为原点).证法一：由z=i=cos()+isin(),则z3=i，又w=+i=cos+isin,故w4=1,于是= =1由此可得OPOQ,且OP=OQ，OPQ有两边相等且其夹角为直角，故OPQ为等腰直角三角形.证法二：z=i=cos()+isin()w=+i=cos+isinzw=cos+isin=cos()+isin(),z2w3=cos(+)+isin(+)=cos+isin。因此，OP与OQ的夹角为()=所以OPOQ又OP=1，OQ=z2w2=1,所以OP=OQ，即得OPQ是以点Q为直角顶点的等腰直角三角形.证法三：
5、同证法一，得q3=i. w4=1,OP=z2w3=z2w3=1OQ=zw=1PQ2=(z2w3)=(z2w3)(zw)=2z3w4=2i(i)=2=OP2OQ2故OPQ是以PQ为斜边的等腰直角三角形.评述：本题综合考查复数的概念、运算、及其几何意义等基础知识，题目设计形式比较新颖，解题入口较宽，方法灵活，考查了考生基本的逻辑思维能力.6.(99全国理，20)设复数z3cosi2sin求函数yargz（0的最大值以及对应的值.由0得tg0由z3cosi2sin，得0argz及tg（argz）tg故tgytg（argz） 2tg2当且仅当2tg（0）时，即tg时，上式取等号所以当arctg时，函数
6、tgy取最大值由yargz得y（，）由于在（，）内正切函数是递增函数，函数y也取最大值arctg评述：本题主要考查复数的基本概念、三角公式和不等式等基础知识，考查综合运用所学数学知识解决问题的能力明考复数实为三角语言简练、情景新颖，对考生的数学素质要求高是今后的命题方向7(2001年全国理，18)已知复数z1i（1i）3(1)求argz1及z1；(2)当复数z满足z1，求zz1的最大值.（1）z1i（1i）3i（2i）（1i）2（1i）z12argz12（cosisin）argz1（2）解法一：z1设zcosisinzz1cosisin22i当sin（）1时zz12取得最大值94从而得到zz1的最大值21解法二：z1可看成z为半径为1，圆心为(0，0)的圆而z1可看成在坐标系中的点(2，2)zz1的最大值可以看成点(2，2)到圆上的点距离最大由图可知：zz1max21