1、安徽省安庆市2015届高三上学期期末数学试卷（B卷）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分1（5分）集合A=x|x1，B=x|xm，若AB=R，则m的最小值是（）A1B0C1D22（5分）定义在R上的函数f（x）满足：f（x+1）=f（x），当x（0，1时，f（x）=x+1，则f（3.5）的值是（）A0.5B0.5C2.5D2.53（5分）若抛物线y2=2px的焦点与双曲线y2=1的右焦点重合，则p=（）AB2C2D44（5分）若点（2，1）是圆（x+1）2+y2=1的弦AB的中点，则直线AB的方程为（）Axy+1=0B3x+y+7=0Cx+y+3=0Dx3y1=05（5分）b，c
2、表示两条不重合的直线，表示两个不重合的平面，下列命题中正确的是（）AcbBcCDb6（5分）一个正方体的棱长为m，表面积为n，一个球的半径为p，表面积为q，若=2，则=（）ABCD7（5分）ABC外接圆的圆心O，半径为1，若=2，且|=|，则向量在方向上的投影为（）ABCD8（5分）阅读如图所示的程序框图，输出S的值是（）A0BCD9（5分）如图所示，将n2（n9）个正数排成n行n列的数阵，其中的每一行都成等差数列，每一列都成等比数列，各等比数列的公比都相同且不为1，若a11=a22=a34=，则a11+a22+a33+a99=（）ABCD10（5分）设函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，
3、cR），若x=1为函数y=f（x）ex的一个极值点，则下列图象不可能为y=f（x）的图象是（）ABCD二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分11（5分）命题：“若xy=0，则x=0或y=0”的否命题是12（5分）在直角坐标系平面上，不等式组，表示的区域面积为13（5分）若曲线y=xlnx在点（e，e）处的切线与直线x+ay=1垂直，则实数a=14（5分）在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若B=60，b=，则2a+c的最大值是15（5分）囧函数y=（a0，b0）的图象酷似汉字中的“囧”字，我们称其为“囧函数”囧函数y=ax+（a0，b0）的图象类似“对勾函数”，对于两个
4、简单的“囧函数”f（x）=和“对勾函数”g（x）=x+，下列叙述中正确的是f（x）是偶函数，g（x）是奇函数；f（x）既有极大值，也有极小值；g（x）既有极大值，也有极小值；两个图象有且仅有2个公共点三、解答题，共6小题，共75分16（12分）已知=（cosx，sinx），=（cosx，cosx），函数f（x）=，若直线x=是y=f（x）图象的一条对称轴（1）求正数的最小值；（2）当正数取最小值时，求函数f（x）的单调区间17（12分）斜三棱柱ABCA1B1C1中，侧面ABB1A1侧面ACC1A1，A1B=AB=AA1=AC=2，四边形ACC1A1的面积为2，且AA1C1为锐角（1）求证：AA
5、1BC1；（2）求该斜三棱柱的体积18（12分）某校2015届高三年级本学期共进行了四次阶段考试，在每份数学试卷中，第卷共10道选择题，每小题得对的5分，答错得0分，学生甲、乙在四次考试中选择题答错的题目数如下所示：甲3201乙4320（1）求学生甲在这四次考试中选择题答对的题目的平均数及这四次考试中第卷的平均得分；（2）记以甲每次考试答错的题目数为元素构成集合A，以乙每次考试答错的题目数为元素构成集合B，在直角坐标平面上有点P（x，y），Q（1，2），其中xA，yB，记直线PQ的斜率为k，求满足k2的事件的概率19（12分）数列an定义如下：a1=2，an+12=2an2+anan+1，an
6、0，nN*（1）求an的通项公式；（2）设bn=（1an）2a（1an），nN*，求证：当a4时，总有bn+1bn20（13分）如图所示，椭圆C的离心率为，以坐标原点O为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线y=x+2相切（1）求椭圆C的方程；（2）设P，Q，T为椭圆C上不同的三点，且P，Q两点关于x轴对称，若直线PT，QT分别与x轴交于点MN求证：|OM|ON|为定值21（14分）已知函数f（x）=x3+bx2+cx+d，xR，F（x）=f（x）f（x），其中f（x）为f（x）的导函数，若F（x）为奇函数，且F（1）=t，t为常数，tR（1）讨论F（x）的单调性和极值；（2）当t=26时，方
7、程F（x）=m有三个不同的实数解，求实数m的取值范围安徽省安庆市2015届高三上学期期末数学试卷（B卷）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分1（5分）集合A=x|x1，B=x|xm，若AB=R，则m的最小值是（）A1B0C1D2考点：并集及其运算 专题：集合分析：直接利用并集的运算法则，求解即可解答：解：集合A=x|x1，B=x|xm，若AB=R，则m1，所以m的最小值为：1故选：C点评：本题考查集合的基本运算，基本知识的考查2（5分）定义在R上的函数f（x）满足：f（x+1）=f（x），当x（0，1时，f（x）=x+1，则f（3.5）的值是（）A0.5B0.5
8、C2.5D2.5考点：函数奇偶性的性质；函数的周期性 专题：函数的性质及应用分析：根据条件求出函数的周期性，利用周期性进行转化即可解答：解：由f（x+1）=f（x），得f（x+2）=f（x+1）=f（x），则函数的周期是2，则f（3.5）=f（3.52）=f（1.5）=f（0.5+1）=f（0.5）=（0.5+1）=1.5，故选B点评：本题主要考查函数值的计算，利用条件求出函数的周期性是解决本题的关键3（5分）若抛物线y2=2px的焦点与双曲线y2=1的右焦点重合，则p=（）AB2C2D4考点：双曲线的简单性质 专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：先分别求出抛物线和双曲线的焦点，让二
9、者相等建立等式关系即可得到答案解答：解：抛物线的焦点F为（，0），双曲线y2=1的右焦点F2（2，0），由已知得=2，p=4故选：D点评：本题主要考查了圆锥曲线的共同特征，属于基础题4（5分）若点（2，1）是圆（x+1）2+y2=1的弦AB的中点，则直线AB的方程为（）Axy+1=0B3x+y+7=0Cx+y+3=0Dx3y1=0考点：直线和圆的方程的应用 专题：直线与圆分析：求出圆心C的坐标，得到PC的斜率，利用中垂线的性质求得直线AB的斜率，点斜式写出AB的方程，并化为一般式解答：解：圆（x+1）2+y2=1的圆心C（1，0），点P（2，1）为 弦AB的中点，PC的斜率为 =1，由ABPC
10、，可得直线AB的斜率为1，点斜式写出直线AB的方程y+1=1（x+2），即x+y+3=0，故选C点评：本题考查直线和圆相交的性质，线段的中垂线的性质，用点斜式求直线的方程的方法5（5分）b，c表示两条不重合的直线，表示两个不重合的平面，下列命题中正确的是（）AcbBcCDb考点：空间中直线与平面之间的位置关系 专题：空间位置关系与距离分析：利用线面平行、线面垂直的性质定理和判定定理对选项分别分析选择解答：解：选项A，由已知条件可得直线c，b平行或者异面；故A错误；选项B，由已知可得直线c可能与平面平行；故B 错误；选项C，由已知，根据线面垂直的性质定理可以判断平面与平行；故C 正确；选项D，由
11、已知条件还可以得到直线B在平面内；故D错误；故选C点评：本题考查了线面平行、线面垂直的性质定理和判定定理的运用，熟练掌握定理的条件，正确运用是关键6（5分）一个正方体的棱长为m，表面积为n，一个球的半径为p，表面积为q，若=2，则=（）ABCD考点：球的体积和表面积；棱柱、棱锥、棱台的体积 专题：计算题；空间位置关系与距离分析：利用正方体、球的表面积公式，结合条件，即可得出结论解答：解：因为n=6m2，q=4p2，所以=故选：B点评：本题考查正方体、球的表面积公式，考查学生的计算能力，比较基础7（5分）ABC外接圆的圆心O，半径为1，若=2，且|=|，则向量在方向上的投影为（）ABCD考点：平
12、面向量数量积的运算 专题：平面向量及应用分析：利用向量加法的几何意义 得出ABC是以A为直角的直角三角形继而求出向量在方向上的投影解答：解：=2，（）+（）=+=0，所以BC为圆O的直径又|=|=1，所以C=60，B=30，|=，所以向量在方向上的投影为|cosB=故选：A点评：本题考查向量加法的几何意义，向量投影的计算得出ABC是以A为直角的直角三角形是关键，属于中档题8（5分）阅读如图所示的程序框图，输出S的值是（）A0BCD考点：程序框图 专题：图表型；算法和程序框图分析：模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是计算并输出S=sin+sin+sin的值，根据正弦函数的周期性即可得解解答：解
13、：模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是计算并输出S=sin+sin+sin的值，由于sin+sin+=0（kZ），2015=3356+5，所以S=sin+sin+sin=sin+sin+sin=0，故选：A点评：本题考查解决循环结构的题目，一般是按照框图的流程写出前几次循环的结果，找规律，属于基础题9（5分）如图所示，将n2（n9）个正数排成n行n列的数阵，其中的每一行都成等差数列，每一列都成等比数列，各等比数列的公比都相同且不为1，若a11=a22=a34=，则a11+a22+a33+a99=（）ABCD考点：等比数列的性质 专题：计算题；等差数列与等比数列分析：根据等比数列、等差数列的定
14、义求得q，进而可知ann=，进而根据错位相减法求得结论解答：解：设公比为q，因为a11=a22=a34=，所以a21=q，a31=q2，a32=q由a31，a32，a33，a34成等差数列，有a34=a31+3（a32a31），得q=1（舍）或q=所以a12=1，a1n=，ann=，所以a11+a22+a33+a99=+，由错位相减法可得a11+a22+a33+a99=故选：B点评：本题主要考查等差数列、等比数列的性质，考查错位相减法，考查了学生综合分析问题的能力10（5分）设函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，cR），若x=1为函数y=f（x）ex的一个极值点，则下列图象不可能为y=f（
15、x）的图象是（）ABCD考点：利用导数研究函数的单调性；函数的图象与图象变化 专题：函数的性质及应用；导数的概念及应用分析：先求出函数f（x）ex的导函数，利用x=1为函数f（x）ex的一个极值点可得a，b，c之间的关系，再代入函数f（x）=ax2+bx+c，对答案分别代入验证，看哪个答案不成立即可解答：解：由y=f（x）ex=ex（ax2+bx+c）y=f（x）ex+exf（x）=exax2+（b+2a）x+b+c，由x=1为函数f（x）ex的一个极值点可得，1是方程ax2+（b+2a）x+b+c=0的一个根，所以有a（b+2a）+b+c=0c=a法一：所以函数f（x）=ax2+bx+a，对
16、称轴为x=，且f（1）=2ab，f（0）=a对于A，由图得a0，f（0）0，f（1）=0，不矛盾，对于B，由图得a0，f（0）0，f（1）=0，不矛盾，对于C，由图得a0，f（0）0，x=0b0f（1）0，不矛盾，对于D，由图得a0，f（0）0，x=1b2af（1）0与原图中f（1）0矛盾，D不对法二：所以函数f（x）=ax2+bx+a，由此得函数相应方程的两根之积为1，对照四个选项发现，D不成立故选：D点评：本题考查极值点与导函数之间的关系一般在知道一个函数的极值点时，直接把极值点代入导数令其等0即可可导函数的极值点一定是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点二、填空题：本大题共5小题，
17、每小题5分，共25分11（5分）命题：“若xy=0，则x=0或y=0”的否命题是若xy0，则x0且y0考点：四种命题间的逆否关系 专题：简易逻辑分析：直接利用命题的放题写出结果即可解答：解：命题：“若xy=0，则x=0或y=0”的否命题是：若xy0，则x0且y0故答案为：若xy0，则x0且y0点评：本题考查四种命题的关系，基本知识的考查12（5分）在直角坐标系平面上，不等式组，表示的区域面积为9考点：简单线性规划 专题：不等式的解法及应用分析：画出满足条件的平面区域，求出三角形顶点的坐标，从而求出三角形的面积解答：解：画出满足条件的平面区域，如图示：，分别求出A（5，1），B（2，2），C（1
18、，1），SABC=63=9，故答案为：9点评：本题考察了简单的线性规划问题，考察数形结合思想，是一道基础题13（5分）若曲线y=xlnx在点（e，e）处的切线与直线x+ay=1垂直，则实数a=2考点：直线的一般式方程与直线的垂直关系；利用导数研究曲线上某点切线方程 专题：导数的概念及应用；直线与圆分析：利用导数求出曲线y=xlnx在点（e，e）处的切线斜率，根据切线与直线x+ay=1垂直的关系，求出a的值解答：解：y=xlnx，x0；y=lnx+1，当x=e时，y=lne+1=2；曲线y=xlnx在点（e，e）处的切线斜率为k=2，又该切线与直线x+ay=1垂直，2=1，解得a=2故答案为：2
19、点评：本题考查了利用导数求曲线的切线方程的斜率问题，也考查了直线方程的垂直与应用问题，是基础题目14（5分）在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若B=60，b=，则2a+c的最大值是考点：正弦定理 专题：解三角形分析：由正弦定理可得得a=2sinA，c=2sinC，化为2a+c=5sinA+cosA，即可得出解答：解：由=2，得a=2sinA，c=2sinC，2a+c=4sinA+2sinC=4sinA+2sin（120A）=5sinA+cosA=sin（A+），其中=arctan2a+c的最大值是2故答案为：2点评：本题考查了正弦定理、两角和差公式，考查了推理能力与计算能力，属
20、于中档题15（5分）囧函数y=（a0，b0）的图象酷似汉字中的“囧”字，我们称其为“囧函数”囧函数y=ax+（a0，b0）的图象类似“对勾函数”，对于两个简单的“囧函数”f（x）=和“对勾函数”g（x）=x+，下列叙述中正确的是f（x）是偶函数，g（x）是奇函数；f（x）既有极大值，也有极小值；g（x）既有极大值，也有极小值；两个图象有且仅有2个公共点考点：函数的图象 专题：函数的性质及应用分析：作出两个函数的图象f（x）=的图象（绿色曲线），g（x）=x+的图象（红色曲线），由图象可知答案解答：解：作出两个函数的图象f（x）=的图象（绿色曲线），g（x）=x+的图象（红色曲线），由图象知f（
21、x）是偶函数，g（x）是奇函数；f（x）既没有极大值，也没有极小值，g（x）既有极大值，也有极小值；两个图象有且仅有2个公共点故答案为：点评：本题考查“囧函数”和“对勾函数”的新定义，关键要读懂题意，只要画出其图象就很容易求解了，解题过程中用到了数形结合的方法，属于基础题三、解答题，共6小题，共75分16（12分）已知=（cosx，sinx），=（cosx，cosx），函数f（x）=，若直线x=是y=f（x）图象的一条对称轴（1）求正数的最小值；（2）当正数取最小值时，求函数f（x）的单调区间考点：三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的运算 专题：三角函数的图像与性质分析：（1）由题意可得
22、f（x）=cos（2x+），由三角函数的对称性易得正数取最小值；（2）可得f（x）=cos（2x+），解不等式2k2x+2k+可得单调递减区间，同理可得单调递增区间解答：解：（1）由题意可得f（x）=cos2xsinxcosx=（1+cos2x）sin2x=cos2xsin2x=cos（2x+），直线x=是y=f（x）图象的一条对称轴，2+=k，kZ，=k，kZ，当k=1时，正数取最小值1；（2）当正数取最小值1时，f（x）=cos（2x+），由2k2x+2k+可得kxk+，函数f（x）的单调递减区间为k，k+，kZ；同理可得函数f（x）的单调递增区间为k+，k+，kZ点评：本题考查三角函数的
23、最值和单调性，涉及三角函数的对称性，属基础题17（12分）斜三棱柱ABCA1B1C1中，侧面ABB1A1侧面ACC1A1，A1B=AB=AA1=AC=2，四边形ACC1A1的面积为2，且AA1C1为锐角（1）求证：AA1BC1；（2）求该斜三棱柱的体积考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；空间中直线与直线之间的位置关系 专题：综合题；空间位置关系与距离分析：（1）要证：AA1BC1，先说明AA1B是等边三角形，设D是AA1的中点、连接BD，C1D，证明AA1平面BC1D，即可（2）求该斜三棱柱的体积，转化为直截面的面积和高的积，即可求解解答：（1）证明：由题意AA1B是等边三角形（2分）设D是AA1的
24、中点、连接BD，C1D，则BDAA1，由四边形ACC1A1的面积为2，且AA1C1为锐角，可得AA1C1=60，所以AA1C1是等边三角形，且C1DAA1，所以AA1平面BC1D（6分）又BC1平面BC1D，故AA1BC1（7分）（2）解：由（1）知AA1平面BC1D（9分），由（1）知BDAA1，又侧面ABB1A1侧面AA1C1C，所以BD平面AA1C1C，即BDBC1，BC1D中，BD=BC1=，=（13分）故该斜三棱柱的体积为=3（14分）点评：本题考查直线与平面的垂直，棱锥的体积，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题18（12分）某校2015届高三年级本学期共进行了四次阶段考试，在
25、每份数学试卷中，第卷共10道选择题，每小题得对的5分，答错得0分，学生甲、乙在四次考试中选择题答错的题目数如下所示：甲3201乙4320（1）求学生甲在这四次考试中选择题答对的题目的平均数及这四次考试中第卷的平均得分；（2）记以甲每次考试答错的题目数为元素构成集合A，以乙每次考试答错的题目数为元素构成集合B，在直角坐标平面上有点P（x，y），Q（1，2），其中xA，yB，记直线PQ的斜率为k，求满足k2的事件的概率考点：古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列 专题：概率与统计分析：（）根据平均数的计算公式计算即可；（）根据斜率公式，以及k2得到y2x1，分别列举出所有的基本事件，再
26、找到满足条件的基本事件，根据概率公式计算即可解答：解：（1）答对题目=（7+8+10+9）=8.5第卷的平均得分=8.55=42.5分，（）P（x，y），Q（1，2），其中xA，yB，记直线PQ的斜率为k，k=，k2，2，即y2x1，记以甲每次考试答错的题目数为元素构成集合A=（3，2，0，1），以乙每次考试答错的题目数位元素构成集合B=（4，3，2，0），在直角坐标平面上有点P（x，y），其中xA，yB，满足条件的基本事件有（3，4），（3，3），（3，2），（3，0），（2，4），（2，3），（2，2），（2，0），（0，4），（0，3），（0，2），（0，0），（1，4），（1，3），（
27、1，2），（1，0），共16种基本事件，其中满足y2x1，由图可知有8种，故满足k2的事件的概率为=点评：本题考查了平均数和古典概型的概率问题，根据题意得到y2x1是关键，属于中档题19（12分）数列an定义如下：a1=2，an+12=2an2+anan+1，an0，nN*（1）求an的通项公式；（2）设bn=（1an）2a（1an），nN*，求证：当a4时，总有bn+1bn考点：数列递推式 专题：等差数列与等比数列分析：（1）由数列递推式推得数列an是以a1=2为首项，以2为公比的等比数列，由等比数列的通项公式得答案；（2）把an的通项公式代入bn=（1an）2a（1an），nN*，把bn+
28、1、bn作差，然后借助于二次函数证明bn+1bn解答：（1）解：由，得，即（an+1+an）（an+1an）=an（an+1+an），an0，an+1an=an，即an+1=2an，则数列an是以a1=2为首项，以2为公比的等比数列，则；（2）证明：bn=（1an）2a（1an）=（12n）2a（12n）=（12n）（12na），（12n）（12na）=3（2n）2+（a2）2n令t=2n2，则y=bn+1bn=3（2n）2+（a2）2n=3t2+（a2）t，对称轴方程为t=，若a4，则t1，y在2，+）上为增函数，又当t=2时，y=8+2a0y=bn+1bn0即当a4时，总有bn+1bn点评
29、：本题考查了数列递推式，考查了等比关系的确定，考查了数列的函数特性，训练了作差法证明数列不等式，是中档题20（13分）如图所示，椭圆C的离心率为，以坐标原点O为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线y=x+2相切（1）求椭圆C的方程；（2）设P，Q，T为椭圆C上不同的三点，且P，Q两点关于x轴对称，若直线PT，QT分别与x轴交于点MN求证：|OM|ON|为定值考点：直线与圆锥曲线的综合问题 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（1）通过题意可知椭圆短半轴长为原点到直线y=x+2的距离，利用e=，计算即得结论；（2）通过设P（t，），Q（t，），M（m，0），N（n，0），联立PM、NQ方程可
30、得点T坐标，代入椭圆C方程，计算即可解答：（1）解：原点到直线y=x+2的距离d=1，椭圆C的短半轴长b=1，又e=，a=2，椭圆C的方程为：；（2）证明：由题可设P（t，），Q（t，），M（m，0），N（n，0），则直线PM的方程为：y=（xm），直线NQ的方程为：y=（xn），联立PM、NQ方程可得：T（，），点T在椭圆C上，2+42=4，化简得：（4mn）t24（m+n）t+4mn=0，只需4mn=0，即mn=4，即|OM|ON|为定值点评：本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查运算求解能力，考查分析问题、解决问题的能力，注意解题方法的积累，属于中档题21（14分）已知函数f（x）=x3
31、+bx2+cx+d，xR，F（x）=f（x）f（x），其中f（x）为f（x）的导函数，若F（x）为奇函数，且F（1）=t，t为常数，tR（1）讨论F（x）的单调性和极值；（2）当t=26时，方程F（x）=m有三个不同的实数解，求实数m的取值范围考点：利用导数研究函数的极值；根的存在性及根的个数判断 专题：导数的综合应用分析：（1）由求导公式求出f（x）代入F（x）化简，由奇函数的性质和条件求出b、c、d，再求出F（x）和F（x），对t分类讨论并利用导数的符号，求出F（t）的单调性和对应极值；（2）把t=26代入F（x）的解析式，由（1）可得F（x）的单调性和极值，再将方程的解转化为图象的交点问
32、题，从而求出实数m的取值范围解答：解：（1）由题意得，f（x）=3x2+2bx+c，F（x）=f（x）f（x）=x3+（b3）x2+（c2b）x+dc，F（x）是奇函数，b3=0，且dc=0，即b=3，d=cF（x）=x3+（c6）x，F（1）=t，1+（c6）=t，则d=c=t+5，则F（x）=x3+（t1）x，即F（x）=3x2+（t1），当t1时，F（x）0，则F（x）在（，+）上递增，无极值；当t1时，由F（x）=0得，x=或，当x（，）时，F（x）0；当x（，）或（，+）F（x）0，所以F（x）在（，）上递减，在（，）、（，+）上递增，则函数F（x）的极大值是，函数F（x）的极小值是；（2）当t=26时，F（x）=x327x，由（1）可知，F（x）在（3，3）上单调递减，在（，3）、（3，+）上单调递增，所以函数F（x）的极大值是F（3）=54，函数F（x）的极小值是F（3）=54，因为方程F（x）=m有三个不同的实数解，所以函数y=F（x）和y=m的图象有三个不同的交点，故实数m的取值范围是（54，54）点评：本题考查了函数的导数与函数的单调性、极值、最值的关系，方程的根转化问题，以及分类讨论思想、转化思想，属于中档题
