1、第五节绝对值不等式及柯西不等式(选修45)考情展望1.考查含绝对值不等式的解法.2.利用不等式的性质求最值.3.利用柯西不等式求一些特定函数的最值一、绝对值三角不等式定理1：如果a，b是实数，则|ab|a|b|，当且仅当ab0时，等号成立定理2：如果a，b，c是实数，那么|ac|ab|bc|，当且仅当(ab)(bc)0时，等号成立定理1的放缩功能|ab|a|b|，从左到右是一个放大过程，从右到左是一个缩小过程，证明不等式可以直接用，也可利用它消去变量求最值绝对值不等式是证明与绝对值有关的不等式的重要工具，但有时还需要通过适当的变形使其符合绝对值不等式的条件定理2的推论推论1：|a|b|ab|.
2、推论2：|a|b|ab|.二、绝对值不等式的解法1含绝对值的不等式|x|a的解集分类解集不等式a0a0a0|x|ax|xa或xaxR|x0R2|axb|c、|axb|c(c0)型不等式的解法3|xa|xb|c、|xa|xb|c(c0)型不等式的解法：解绝对值不等式的基本方法：零点分段讨论法是求解绝对值不等式的基本方法其操作程序是：找零点、分区间、分段讨论含绝对值不等式的常见类型及其转化方法1形如|f(x)|g(x)|型不等式|f(x)|g(x)|f(x)2f(x)2.2形如|f(x)|g(x)，|f(x)|g(x)型不等式(1)|f(x)|g(x)g(x)f(x)g(x)；(2)|f(x)|g
3、(x)f(x)g(x)或f(x)g(x)3形如a|f(x)|b(ba0)型不等式a|f(x)|baf(x)b或bf(x)a.4形如|f(x)|f(x)，|f(x)|f(x)型不等式|f(x)|f(x)f(x)0；|f(x)|f(x)x.5含有两个或两个以上绝对值的不等式的解法(1)零点分段法，通过讨论去掉绝对值符号(2)利用|xa1|xa2|的几何意义求解三、柯西不等式1二维形式的柯西不等式内容等号成立的条件代数形式若a、b、c、dR，则(a2b2)(c2d2)(acbd)2当且仅当adbc时，等号成立向量形式设、是两个向量，则|当且仅当是零向量或存在实数k，使k时，等号成立三角形式设x1，y
4、1，x2，y2R，那么(x1x2)2(y1y2)2当且仅当P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，O(0,0)三点共线且P1，P2在O两旁时，等号成立2.一般形式的柯西不等式设a1，a2，a3，an，b1，b2，b3，bn是实数，则(aaa)(bbb)(a1b1a2b2anbn)2.当且仅当b1b2bn0或存在一个数k，使得aikbi(i1,2，n)时，等号成立1设ab0，下面四个不等式中，正确的是()|ab|a|；|ab|b|；|ab|a|b|.A和B和C和 D和【解析】ab0，即a，b同号，则|ab|a|b|，正确，错误【答案】C2不等式|x2|x2的解集是()A(，2) B(，)C(2，
5、) D(，2)(2，)【解析】|x2|x2同解于x20，x2.【答案】A3已知关于x的不等式|x1|x|k无解，则实数k的取值范围是_【解析】|x1|x|x1x|1，当k1时，不等式|x1|x|k无解，故k1.【答案】(，1)4已知非负实数x，y，z满足x2y2z2x2y3z，则xyz的最大值为_【解析】由已知可得2(y1)22，则2(121212)3，从而xyz.当且仅当xy1z时，等号成立即当x1，y，z0时，xyz取得最大值.【答案】5(2013大纲全国卷)不等式|x22|2的解集是()A(1,1) B(2,2)C(1,0)(0,1) D(2,0)(0,2)【解析】由|x22|2，得2x
6、222，即0x24，所以2x0或0x2，故解集为(2,0)(0,2)【答案】D6(2013重庆高考)若关于实数x的不等式|x5|x3|a无解，则实数a的取值范围是_【解析】|x5|x3|5x|x3|5xx3|8，(|x5|x3|)min8，要使|x5|x3|1.(1)当a2时，求不等式f(x)4|x4|的解集；(2)已知关于x的不等式|f(2xa)2f(x)|2的解集为x|1x2，求a的值【思路点拨】绝对值不等式，分段讨论求解；将a看做已知，求解|f(2xa)2f(x)|2，将结果与已知结果对比确定a值【尝试解答】(1)当a2时，f(x)|x4|当x2时，由f(x)4|x4|得2x64，解得x
7、1；当2x0时，x，因此2且1，a2.5分(2)由(1)知f(x)|2x1|记h(x)f(x)2f()|2x1|2|x1|则h(x)8分所以|h(x)|1，因此k1.10分【名师寄语】(1)逆向问题可正向求解，以本题为例，求出不等式的解集后，与已知不等式的解集作比较，便可建立关于a的方程.(2)不等式恒成立，常转化为求函数的最值，本题充分利用绝对值定义，零点分段法化为分段函数，数形结合可求最值.设函数f(x)|xa|3x，其中a0.(1)当a1时，求不等式f(x)3x2的解集；(2)若不等式f(x)0的解集为x|x1，求a的值【解】 (1)当a1时，f(x)3x2可化为|x1|2.x3或x1.不等式f(x)3x2的解集为x|x3或x1(2)由f(x)0，得|xa|3x0.此不等式可化为不等式组或即或a0，不等式组的解集为.由题意可得1，a2.