1、第2练复数与平面向量明晰考情1.命题角度：复数的四则运算和几何意义；以平面图形为背景，考查平面向量的线性运算、平面向量的数量积.2.题目难度：复数题目为低档难度，平面向量题目为中低档难度.考点一复数的概念与四则运算要点重组(1)复数：形如abi(a，bR)的数叫做复数，其中a，b分别是它的实部和虚部，i为虚数单位.若b0，则abi为实数；若b0，则abi为虚数；若a0且b0，则abi为纯虚数.(2)复数相等：abicdiac且bd(a，b，c，dR).(3)共轭复数：abi与cdi共轭ac，bd(a，b，c，dR).(4)复数的模：向量的模r叫做复数zabi(a，bR)的模，记作|z|或|ab
2、i|，即|z|abi|r(r0，rR).(5)复数的四则运算类似于多项式的四则运算，复数除法的关键是分子分母同乘分母的共轭复数.1.(2018全国)设z2i，则|z|等于()A.0 B. C.1 D.答案C解析z2i2i2ii，|z|1.故选C.2.已知a，bR，i是虚数单位.若ai与2bi互为共轭复数，则(abi)2等于()A.54i B.54i C.34i D.34i答案D解析由已知得a2，b1，即abi2i，(abi)2(2i)234i.故选D.3.已知i是虚数单位，a，bR，则“ab1”是“(abi)22i”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要
3、条件答案A解析当ab1时，(abi)2(1i)22i，反过来(abi)2a2b22abi2i，则a2b20，2ab2，解得a1，b1或a1，b1.故“ab1”是“(abi)22i”的充分不必要条件，故选A.4.复数(m23m4)(m25m6)i是虚数，则实数m的取值范围是_.答案m|m6且m1解析根据题意知，m25m60，即(m6)(m1)0，所以m6且m1.考点二 复数的几何意义要点重组(1)复数zabi复平面内的点Z(a，b)(a，bR).(2)复数zabi(a，bR)平面向量.5.设aR，若(13i)(1ai)R(i是虚数单位)，则a等于()A.3 B.3 C. D.答案B解析(13i)
4、(1ai)1ai3i3a，(13i)(1ai)R，虚部为0，则a30，a3.6.已知z(m3)(m1)i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是()A.(3，1) B.(1，3) C.(1，) D.(，3)答案A解析由复数z(m3)(m1)i在复平面内对应的点在第四象限，得解得3m0，则ABC为锐角三角形.答案解析在ABC中，错误；若0，则B是钝角，ABC是钝角三角形，错误.3.已知向量a(1，2)，b(1，1)，且a与ab的夹角为锐角，则实数的取值范围是_.答案解析ab(1，2)，由a(ab)0，可得.又a与ab不共线，0.故且0.解题秘籍(1)复数的概念是考查的重点，虚数及纯虚数
5、的意义要把握准确.(2)复数的运算中除法运算是高考的热点，运算时要分母实数化(分子分母同乘以分母的共轭复数)，两个复数相等的条件在复数运算中经常用到.(3)注意向量夹角的定义和范围.在ABC中，和的夹角为B；向量a，b的夹角为锐角要和ab0区别开来(不要忽视向量共线情况，两向量夹角为钝角类似处理).1.设i是虚数单位，则复数i3等于()A.i B.3i C.i D.3i答案C解析i3ii2ii.故选C.2.(2017山东)已知aR，i是虚数单位.若zai，z4，则a等于()A.1或1 B.或 C. D.答案A解析z4，|z|24，即|z|2.zai，|z|2，a1.故选A.3.设i是虚数单位，
6、则复数在复平面内所对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限答案B解析1i，由复数的几何意义知，1i在复平面内的对应点为(1，1)，该点位于第二象限，故选B.4.(2018安庆模拟)在ABC中，点D是边BC上任意一点， M是线段AD的中点，若存在实数和，使得，则等于()A. B. C.2 D.2答案B解析因为点D在边BC上，所以存在tR，使得tt().因为M是线段AD的中点，所以()(tt)(t1)t.又，所以(t1)，t，所以.5.“复数z在复平面内对应的点在第三象限”是“a0”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案D
7、解析由题意得za3i，若z在复平面内对应的点在第三象限，则a0，2，则a等于()A.2 B. C. D.1答案B解析2，即a23.又a0，a.8.(2018浙江)已知a，b，e是平面向量，e是单位向量.若非零向量a与e的夹角为，向量b满足b24eb30，则|ab|的最小值是()A.1 B.1C.2 D.2答案A解析b24eb30，(b2e)21，|b2e|1.如图所示，把a，b，e的起点作为公共点O，以O为坐标原点，向量e所在直线为x轴，则b的终点在以点M(2，0)为圆心，1为半径的圆上，|ab|就是线段AB的长度.要求|AB|的最小值，就是求圆上动点到定直线的距离的最小值，也就是圆心M到直线
8、OA的距离减去圆的半径长，因此|ab|的最小值为1.故选A.9.设x，y为实数，且，则xy_.答案4解析由题意得(1i)(12i)(13i)，(5x2y)(5x4y)i515i，xy4.10.若点M是ABC所在平面内的一点，且满足53，则ABM与ABC的面积之比为_.答案解析设AB的中点为D，由53，得3322，即32.故C，M，D三点共线，如图所示，也就是ABM与ABC对于边AB的两高之比为35，则ABM与ABC的面积之比为.11.(2018德阳诊断)已知i为虚数单位，实数x，y满足(x2i)iyi，则|xyi|_.答案解析(x2i)iyi，2xiyi，则|xyi|12i|.12.已知，|，|t，若点P是ABC所在平面内的一点，且，则的最大值为_.答案13解析以点A为坐标原点，所在直线分别为x轴，y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0，0)，B，C(0，t)，(0，t)，t(0，t)(1，4)，点P(1，4)，则(1，t4)1717213，当且仅当4t，即t时取“”，的最大值为13.