1、第八节正弦定理、余弦定理的应用举例考情展望以实际问题为背景，考查利用正、余弦定理等知识和方法解决一些与测量(高度、距离)有关的实际问题实际问题中的有关概念1仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图381)图3812方位角和方向角(1)方位角：从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为(如图381)(2)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30等3坡度与坡比坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数坡比：坡面的铅直高度与水平长度之比4视角观测点与观测目标两端点的连线所成的夹角叫做视角(如图382)图382解三角形应用题的一般步骤(1
2、)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型(3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等1从A处望B处的仰角为，从B处望A处的俯角为，则，之间的关系是()ABC90 D180【解析】如图所示，由图可知.【答案】B2为了在一条河上建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥位桩A，B(如图383)，要测算A，B两点的距离，测量人员在岸边定出基线BC，测得BC50 m，ABC105，BCA45，就可以计算出A，B两点的距离为()图383A50 m
3、 B50 mC25 m D. m【解析】在ABC中，由正弦定理，AB50.【答案】A图3843如图384所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东20，灯塔B在观察站C的南偏东40，则灯塔A与灯塔B的距离为()Aa km B.a kmC.a km D2a km【解析】在ABC中，ACBCa，ACB120，AB2a2a22a2cos 1203a2，ABa.【答案】B4在200米高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30，60，则塔高为_米【解析】如图所示，山的高度MN200米，塔高为AB，CNMB，AC.所以塔高AB200(米)【答案】考向一 06
4、8测量距离问题要测量对岸A、B两点之间的距离，选取相距 km的C、D两点，并测得ACB75，BCD45，ADC30，ADB45，求A、B之间的距离【思路点拨】将题中距离、角度转化到一个三角形中，再利用正、余弦定理解三角形【尝试解答】如图所示，在ACD中，ACD120，CADADC30，ACCD km.在BCD中，BCD45，BDC75，CBD60.BC.在ABC中，由余弦定理，得AB2()222cos 75325，AB(km)，A、B之间的距离为 km.规律方法11.利用示意图把已知量和待求量尽量集中在有关三角形中，建立一个解三角形的模型；2.利用正、余弦定理解出所求的边和角，得出该数学模型的
5、解.对点训练图385如图385所示，A，B是海面上位于东西方向相距5(3)海里的两个观测点现位于A点北偏东45，B点北偏西60的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60且与B点相距20海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D点需要多长时间？【解】由题意知AB5(3)海里，DBA906030，DAB904545，ADB180(4530)105，在DAB中，由正弦定理，得，DB10(海里)，又DBCDBAABC60，BC20(海里)在DBC中，由余弦定理得CD2BD2BC22BDBCcosDBC300120021020900.CD30(海里)则需要的时间t1
6、(小时)考向二 069测量高度问题某人在塔的正东沿着南偏西60的方向前进40米后，望见塔在东北方向，若沿途测得塔顶的最大仰角为30，求塔高【思路点拨】依题意画图，某人在C处，AB为塔高，他沿CD前进，CD40米，此时DBF45，从C到D沿途测塔的仰角，只有B到测试点的距离最短时，仰角才最大，这是因为tanAEB，AB为定值，BE最小时，仰角最大要求出塔高AB，必须先求BE，而要求BE，需先求BD(或BC)【尝试解答】如图所示，某人在C处，AB为塔高，他沿CD前进，CD40，此时DBF45，过点B作BECD于E，则AEB30，在BCD中，CD40，BCD30，DBC135，由正弦定理，得，BD2
7、0(米)BDE1801353015.在RtBED中，BEDBsin 152010(1)(米)在RtABE中，AEB30，ABBEtan 30(3)(米)故所求的塔高为(3)米规律方法21.在测量高度时，要准确理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一铅垂面内，视线与水平线的夹角；2.分清已知条件与所求，画出示意图；明确在哪个三角形内运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形.对点训练如图386所示，B，C，D三点在地面的同一直线上，DCa，从C，D两点测得A点的仰角分别为和()，则A点距地面的高AB为_图386【解析】ABACsin ，解得AB.【答案】考向三 070测量角度问题在海岸A处，发现北
8、偏东45方向、距离A处(1)海里的B处有一艘走私船；在A处北偏西75方向、距离A处2海里的C处的缉私船奉命以10海里/小时的速度追截走私船同时，走私船正以10海里/小时的速度从B处向北偏东30方向逃窜，问缉私船什么方向能最快追上走私船？最少要花多少时间？【思路点拨】设缉私船t小时后在D处追上走私船，确定出三角形，先利用余弦定理求出BC，再利用正弦定理求出时间【尝试解答】设缉私船t小时后在D处追上走私船，则有CD10t，BD10t.在ABC中，AB1，AC2，BAC120.利用余弦定理可得BC.由正弦定理，得sinABCsinBAC，得ABC45，即BC与正北方向垂直于是CBD120.在BCD中
9、，由正弦定理，得sinBCD，得BCD30，又，即，得t.所以当缉私船沿东偏北30的方向能最快追上走私船，最少要花小时规律方法3测量角度问题的一般步骤(1)在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离；(2)用正弦定理或余弦定理解三角形；(3)将解得的结果转化为实际问题的解.对点训练如图387所示，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救信息中心立即把消息告知在其南偏西30、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东的方向沿直线CB前往B处救援，求cos 的值图387【解】如题图所示，在ABC中，AB40，AC20，BAC1
10、20，由余弦定理，BC2AB2AC22ABACcos 1202 800，BC20，由正弦定理得，sinACBsinBAC.由BAC120，知ACB为锐角，则cosACB.由ACB30，得cos cos(ACB30)cosACBcos 30sinACBsin 30.故cos 的值为.思想方法之十一函数思想在解三角形中的应用在解决数学问题时，有一种从未知转化为已知的手段，就是通过引入变量，寻找已知与未知之间的等量关系，构造函数，然后借助函数的变化趋势来分析或预测未知量的变化情况，这就是函数思想在解三角形应用举例中，借助函数思想可以解决以下两类问题：(1)距离最短的追缉问题(2)仰角(或视角)最大问
11、题求解此类问题时可先借助三角形中的正(余)弦定理建立等量关系，然后借助函数的知识(如二次函数最值的求法，导数等)探求最优解1个示范例 1个对点练图388(2013江苏高考)如图388，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50 m/min.在甲出发2 min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1 min后，再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min，山路AC长为1 260 m，经测量，cos A，cos C.(1)求索道AB的长(2
12、)问：乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？【解】(1)在ABC中，因为cos A，cos C，所以sin A，sin C.从而sin Bsin(AC)sin(AC)sin Acos Ccos Asin C.由正弦定理，得ABsin C1 040(m)所以索道AB的长为1 040 m.(2)假设乙出发t min后，甲、乙两游客距离为d，此时，甲行走了(10050t)m，乙距离A处130t m，所以由余弦定理得d2(10050t)2(130t)22130t(10050t)200(37t270t50)由于0t
13、，即0t8，故当t(min)时，甲、乙两游客距离最短(3)由正弦定理，得BCsin A500(m)乙从B出发时，甲已走了50(281)550(m)，还需走710 m才能到达C.设乙步行的速度为v m/min，由题意得33，解得v，所以为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3 min，乙步行的速度应控制在(单位：m/min)范围内某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？(2)为保证小艇在30分钟内(含30分钟)能与轮船相遇，试确定小艇航行速度的最小值【解】(1)设相遇时小艇航行的距离为S海里，则S，故当t时，Smin10，v30，即小艇以30海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小(2)设小艇与轮船在B处相遇，如图所示由题意可得：(vt)2202(30t)222030tcos(9030)，化简得：v29004002675.由于0t，即2，所以当2时，v取得最小值10，即小艇航行速度的最小值为10海里/小时
