1、第3讲 带电粒子在复合场中的运动 1.复合场的分类(1)叠加场：电场、_、重力场共存，或其中某两个场共存.磁场交替(2)组合场：电场与磁场各位于一定的区域内，并不重叠或在同一区域，电场、磁场_出现.2.带电粒子在复合场中的运动分类(1)静止或匀速直线运动当带电粒子在复合场中所受合外力_时，将处于静止或做匀速直线运动状态.(2)匀速圆周运动为零电场力当带电粒子所受的重力与_大小相等、方向相反时，带电粒子在洛伦兹力的作用下，在垂直于匀强磁场的平面内做匀速圆周运动.(3)非匀变速曲线运动当带电粒子所受的合外力的大小和方向均变化，且与初速度方向不在同一条直线上时，粒子做非匀变速曲线运动，这时粒子运动轨
2、迹既不是圆弧，也不是抛物线.【基础自测】1.(多选)一个带电粒子(重力不计)以初速度 v0 垂直于电场方向向右射入匀强电场区域，穿出电场后接着又进入匀强磁场区域.设电场和磁场区域有明确的分界线，且分界线与电场强度方向平行，如图中的虚线所示.在图所示的几种情况中，可能出现的是()ABCD解析：A、C 选项中粒子在电场中向下偏转，所以粒子带正电，再进入磁场后，A 图中粒子应逆时针转，A 正确；C 图中粒子应顺时针转，C 错误；同理可以判断 B 错误，D 正确.答案：AD2.(2019 年广东韶关质检)如图 8-3-1 所示，一个静止的质量为 m、带电荷量为 q 的粒子(不计重力)，经电压 U 加速
3、后垂直进入磁感应强度为 B 的匀强磁场，粒子在磁场中转半个圆周后打在 P 点，设 OPx，能够正确反应 x与 U 之间的函数关系的是()图 8-3-1ABCD解析：带电粒子经电压 U 加速，由动能定理，qU12mv2，粒子垂直进入磁感应强度为 B 的匀强磁场，洛伦兹力提供向心力，qvBmv2R，2Rx，联立解得：x2B2mUq，即 x2U，所以能够正确反应 x 与 U 之间的函数关系的是 B.答案：B3.两质量相同带电油滴在竖直向上的匀强电场 E 和垂直纸面向里的匀强磁场 B 正交的空间做竖直平面内的匀速圆周运)动，如图 8-3-2 所示.则两油滴一定相同的是(图 8-3-2带电性质A.运动周
4、期B.运动半径C.运动速率D.解析：根据 mgqE，所以静电力方向必须向上所以都带正电，正确；根据 rmvqB，mqEg，所以只要mq为常数即可，但v 不一定相等，r 也不一定相等，所以错误.根据 T2mqB，可得运动周期相同，正确.A 正确.答案：A4.(多选)如图 8-3-3 所示，某空间存在正交的匀强磁场和匀强电场，电场方向水平向右，磁场方向垂直纸面向里，一带电微粒从 a 点进入场区并刚好能沿 ab 直线向上运动，下列说法中正确的是()A.微粒一定带负电B.微粒的动能一定减小C.微粒的电势能一定增加D.微粒的机械能一定增加图 8-3-3解析：如图 D88，微粒进入场区后沿直线 ab 运动
5、，则微粒受到的合力或者为零，或者合力方向在 ab 直线上(垂直于运动方向的合力仍为零).若微粒所受合力不为零，则必然做变速运动，由于速度的变化会导致洛伦兹力变化，则微粒在垂直于运动方向上的合力不再为零，微粒就不能沿直线运动，因此微粒所受合力只能为零而做匀速直线运动；若微粒带正电，则受力分析如下图甲所示，合力不可能为零，故微粒一定带负电，受力分析如图乙所示，A 正确，B 错误；静电力做正功，微粒电势能减小，机械能增大，C 错误，D 正确.甲乙图 D88答案：AD热点 1 带电粒子在组合场中的运动热点归纳1.带电粒子在电场和磁场的组合场中运动，实际上是将粒子在电场中的加速与偏转，跟磁偏转两种运动组
6、合在一起，有效区别电偏转和磁偏转，寻找两种运动的联系和几何关系是解题的关键.当带电粒子连续通过几个不同的场区时，粒子的受力情况和运动情况也发生相应的变化，其运动过程则由几种不同的运动阶段组成.项目垂直进入磁场(磁偏转)垂直进入电场(电偏转)情景图受力 FBqv0B，大小不变，方向总指向圆心，方向变化，FB为变力 FEqE，FE大小、方向不变，为恒力 2.“电偏转”和“磁偏转”的比较：(续表)项目垂直进入磁场(磁偏转)垂直进入电场(电偏转)运动规律匀速圆周运动，rmv0Bq，T2mBq类平抛运动，vxv0，vyEqm t，xv0t，yEq2mt2运动时间t 2TmBqtLv0动能不变变化【典题
7、1】(2018 年新课标卷)一足够长的条状区域内存在匀强电场和匀强磁场，其在 xOy 平面内的截面如图 8-3-4 所示：中间是磁场区域，其边界与 y 轴垂直，宽度为 l，磁感应强度的大小为 B，方向垂直于 xOy 平面；磁场的上、下两侧为电场区域，宽度均为 l，电场强度的大小均为 E，方向均沿 x 轴正方向；M、N 为条形区域边界上的两点，它们的连线与 y 轴平行.一带正电的粒子以某一速度从 M 点沿 y 轴正方向射入电场，经过一段时间后恰好以从 M 点入射的速度从 N 点沿 y 轴正方向射出.不计重力.图 8-3-4(1)定性画出该粒子在电磁场中运动的轨迹.(2)求该粒子从 M 点射入时速
8、度的大小.(3)若该粒子进入磁场时的速度方向恰好与 x 轴正方向的夹角为6，求该粒子的比荷及其从 M 点运动到 N 点的时间.解：(1)粒子运动的轨迹如图 8-3-5 所示.(粒子在电场中的轨迹为抛物线，在磁场中为圆弧，上下对称).图 8-3-5(2)粒子从电场下边界入射后在电场中做类平抛运动.设粒子从 M 点射入时速度的大小为 v0，在下侧电场中运动的时间为t，加速度的大小为 a；粒子进入磁场的速度大小为 v，方向与电场方向的夹角为(见图 8-3-6)，速度沿电场方向的分量为 v1，根据牛顿第二定律有图 8-3-6qEma 式中 q 和 m 分别为粒子的电荷量和质量，由运动学公式有v1at
9、lv0t v1vcos 粒子在磁场中做匀速圆周运动，设其运动轨道半径为 R，由洛伦兹力公式和牛顿第二定律得qvBmv2R 由几何关系得 l2Rcos 联立式得 v02ElBl.(3)由运动学公式和题给数据得 v1v0cot6 联立式得qm4 3ElB2l2 设粒子由 M 点运动到 N 点所用的时间为 t，则t2t2262T 式中 T 是粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期，T2mqB 由式得 tBlE 13l18l.【迁移拓展】(2018 年新课标卷)如图 8-3-7，在 y0 的区域存在方向沿 y 轴负方向的匀强电场，场强大小为 E，在 y0的区域存在方向垂直于 xOy 平面向外的匀强磁场.一个
10、氕核11H和一个氘核21H 先后从 y 轴上 yh 点以相同的动能射出，速度方向沿 x 轴正方向.已知11H 进入磁场时，速度方向与 x 轴正方向的夹角为 60，并从坐标原点 O 处第一次射出磁场.11H 的质量为m，电荷量为 q，不计重力.求：图 8-3-7(1)11H 第一次进入磁场的位置到原点 O 的距离.(2)磁场的磁感应强度大小.(3)21H 第一次离开磁场的位置到原点 O 的距离.图 D89解：(1)11H 在电场中做类平抛运动，在磁场中做圆周运动，运动轨迹如图 D89 所示.设11H 在电场中的加速度大小为 a1，初速度大小为 v1，它在电场中的运动时间为 t1，第一次进入磁场的
11、位置到原点 O 的距离为 s1.由运动学公式有s1v1t1 h12a1t21 由题给条件，11H 进入磁场时速度的方向与 x 轴正方向夹角160.11H 进入磁场时速度的 y 分量的大小为a1t1v1tan 1 联立以上各式得s12 33h.(2)11H 在电场中运动时，由牛顿第二定律有qEma1 设11H 进入磁场时速度的大小为 v1，由速度合成法则有v1 v21a1t12 设磁感应强度大小为 B，11H 在磁场中运动的圆轨道半径为R1，由洛伦兹力公式和牛顿第二定律有qv1Bmv12R1 由几何关系得s12R1sin 1 联立以上各式得B6mEqh.(3)设 21H 在电场中沿 x 轴正方向
12、射出的速度大小为 v2，在电场中的加速度大小为 a2，由题给条件得12(2m)v2212mv21由牛顿第二定律有qE2ma2设 21H 第一次射入磁场时的速度大小为 v2，速度的方向与x 轴正方向夹角为2，入射点到原点的距离为 s2，在电场中运动的时间为 t2.由运动学公式有s2v2t2h12a2t22v2 v22a2t22sin 2 a2t2v2联立以上各式得s2s1，21，v2 22 v1设21H 在磁场中做圆周运动的半径为 R2，由式及粒子在匀强磁场中做圆周运动的半径公式得R22mv2qB 2R1 所以出射点在原点左侧.设21H 进入磁场的入射点到第一次离开磁场的出射点的距离为 s2，由
13、几何关系有s22R2sin 2 联立式得，21H 第一次离开磁场时的位置到原点 O 的距离为s2s22 33(21)h.方法技巧：解决带电粒子在组合场中的运动问题的思路：(1)首先明确每个场的性质、方向、强弱和范围.(2)对带电粒子进行受力分析，确定带电粒子的运动性质，分析粒子的运动过程，画出运动轨迹.(3)通过分析，确定粒子从一个场区进入另一场区时的位置、速度大小和方向是解题的关键.静止或匀速直线运动当带电粒子在叠加场中所受合力为零时，将处于静止或匀速直线运动状态匀速圆周运动当带电粒子所受的重力与电场力大小相等，方向相反时，带电粒子在洛伦兹力的作用下，在垂直于匀强磁场的平面内做匀速圆周运动较
14、复杂的曲线运动当带电粒子所受合力的大小和方向均变化，且与初速度方向不在同一条直线上时，粒子做非匀变速曲线运动，这时粒子运动轨迹既不是圆弧，也不是抛物线热点 2 带电粒子在叠加场中的运动热点归纳1.运动形式：2.分析方法：【典题 2】(2019 年天津耀华中学模拟)如图 8-3-8 所示，在竖直平面内建立直角坐标系 xOy，其第一象限存在着正交的匀强电场和匀强磁场，电场强度的方向水平向右；磁感应强度的方向垂直纸面向里.一带电荷量为q、质量为 m 的微粒以一定的初速度从原点出发与 x 轴正方向成 45角进入复合场中，正好做直线运动，当微粒运动到 A(l，l)时，电场方向突然变为竖直向上(不计电场变
15、化的时间)，粒子继续运动一段时间后，正好垂直于 y 轴穿出复合场.不计一切阻力，求：图 8-3-8(1)电场强度 E 的大小.(2)磁感应强度 B 的大小.(3)粒子在复合场中的运动时间.思路点拨：(1)在叠加场中正确进行受力分析，根据平衡条件可求出电场强度的大小；(2)在磁场中运动时要找到运动轨迹的半径，再结合物理知识求解.解析：(1)微粒在到达 A(l，l)之前做匀速直线运动，受力分析如图 8-3-9 所示，图 8-3-9根据平衡条件，有 qEmg，解得 Emgq.图 8-3-10(2)由(1)中受力分析，根据平衡条件，有 qvB 2mg；电场方向变化后，微粒所受重力与电场力平衡，微粒在洛
16、伦兹力作用下做匀速圆周运动，轨迹如图 8-3-10 所示，根据牛顿第二定律，有 qvBmv2r由几何关系可得 r 2l联立解得 v 2gl，Bmqgl.(3)微粒做匀速直线运动的时间为 t1 2lv lg由图知 34做圆周运动的时间为 t234 2lv34lg在复合场中运动时间为 tt1t2341lg.答案：(1)mgq (2)mqgl(3)341lg【迁移拓展】(2019 年桂林调研)如图 8-3-11 所示，质量为m，带电荷量为q 的液滴，以速度 v 沿与水平方向成45角斜向上进入正交的足够大匀强电场和匀强磁场叠加区域，电场强度方向水平向右，磁场方向垂直纸面向里，液滴在场区做直线运动.重力
17、加速度为 g，求：图 8-3-11(1)电场强度 E 和磁感应强度 B 各多大？(2)当液滴运动到某一点 A 时，电场方向突然变为竖直向上，大小不改变，不考虑因电场变化而产生的磁场的影响，此时液滴加速度多少？(3)在满足(2)的前提下，液滴从 A 点到达与 A 点位于同一水平线上的 B 点(图中未画出)所用的时间.解：(1)液滴带正电，液滴受力如图 D90 所示：图 D90根据平衡条件，有 Eqmgtan mg，qvB mgcos 2mg可得 Emgq，B 2mgqv.(2)电场方向突然变为竖直向上，大小不改变，故电场力与重力平衡，洛伦兹力提供向心力，粒子做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律，有：
18、aF 合m Bqvm 2g.(3)电场变为竖直向上后，qEmg，故液滴做匀速圆周运动，由牛顿第二定律得 qvBmv2r可得 rmvqB则 T2rv 2mqB 2vg由几何知识得 t34T可得 t3 2v4g.带电粒子在交变电场、磁场中的运动解决带电粒子在交变电场、磁场中的运动问题的基本思路：【典题 3】(2018 年山西晋城一模)在如图 8-3-12 甲所示的xOy 坐标系中，第一象限内有垂直坐标平面的匀强磁场；第二象限内有方向水平向右、场强大小为 E 的匀强电场 E1；第四象限内有方向水平(以水平向右为正方向)、大小按图乙规律变化的电场 E2，变化周期 T2mx0Eq.一质量为 m，电荷量为
19、q 的粒子，从(x0，x0)点由静止释放，进入第一象限后恰能绕 O 点做匀速圆周运动.以粒子经过x轴进入第四象限时为电场E2的计时起点，不计粒子重力.求：(1)第一象限内匀强磁场的磁感应强度 B 的大小.(3)粒子在第四象限中运动，当tnT(nN*)时，粒子的坐标.甲乙图 8-3-12(2)粒子在第四象限中运动，当 tT2时，粒子的速度.解：(1)设粒子离开第二象限时的速度为 v0，在第二象限内，由动能定理得 qEx012mv20解得 v02qEx0m在第一象限内，粒子做匀速圆周运动的速度为 v0，由qv0Bmv20 x0得 B2mEqx0.方向与水平方向成 45角斜向右下方.(2)粒子进入第
20、四象限后，当 tT2时在水平方向上有 v 水平atq2Em T2得 v 水平2qEx0mv0v 合 2v02 qEx0m(3)粒子在第四象限中运动时，y 方向上做匀速直线运动，x方向上前半个周期向右做匀加速运动，后半个周期向右做匀减速运动直到速度为 0；每半个周期向右前进 x12qE2m T22x02，每个周期前进 x0当 tnT 时，xx0nx0yv0nT2nx0粒子的坐标(n1)x0，2nx0(nN*).方法技巧：(1)解决带电粒子在交变电场、磁场中的运动问题时，关键要明确粒子在不同时间段内、不同区域内的受力特性，对粒子的运动情景、运动性质作出判断.(2)这类问题一般都具有周期性，在分析粒
21、子运动时，要注意粒子的运动周期、电场周期、磁场周期的关系.(3)带电粒子在交变电磁场中运动仍遵循牛顿运动定律、运动的合成与分解、动能定理、能量守恒定律等力学规律，所以此类问题的研究方法与质点动力学相同.【触类旁通】(2019 年广东深圳二模)如图 8-3-13 甲所示，整个空间存在竖直向上的匀强电场(平行于纸面)，在同一水平线上的两位置，以相同速率同时喷出质量均为 m 的油滴 a 和 b，带电量为q 的 a 水平向右，不带电的 b 竖直向上.b 上升高度为 h 时，到达最高点，此时 a 恰好与它相碰，瞬间结合成油滴P.忽略空气阻力，重力加速度为 g.求：(1)油滴 b 竖直上升的时间及两油滴喷
22、出位置的距离.(2)匀强电场的场强及油滴 a、b 结合为 P 后瞬间的速度.(3)若油滴 P 形成时恰位于某矩形区域边界，取此时为 t0时刻，同时在该矩形区域加一个垂直于纸面的周期性变化的匀强磁场，磁场变化规律如图乙 所示，磁场变化周期为 T0(垂直纸面向外为正)，已知 P 始终在矩形区域内运动，求矩形区域的最小面积.(忽略磁场突变的影响)甲乙图 8-3-13解：(1)设油滴的喷出速率为 v0，则对油滴 b 做竖直上抛运动，有0v202gh，解得：v0 2gh 0v0gt0，解得：t02hg 对油滴 a 的水平分运动，有x0v0t0，解得：x02h.(2)两油滴结合之前，油滴 a 做类平抛运动
23、，设加速度为a，有qEmgma设油滴的喷出速率为v0，结合前瞬间油滴a速度大小为va，方向向右上与水平方向夹，则h12at20 解得：ag，E2mgqv0vacos v0tan at0 解得：va2 gh，45两油滴的结合过程动量守恒，此油滴 b 在最高点速度为 0，因此mva2mvP 联立各式，解得：vP gh，方向向右上，与水平方向夹45角.(3)因 qE2mg，油滴 P 在磁场中做匀速圆周运动，设半径为 r，周期为 T，则由 qvP8mqT0 2mv2Pr得：rT0 gh4 由 T2rvP得：TT02 即油滴 P 在磁场中的运动轨迹是两个外切圆组成的“8”字形.最小矩形的两条边长分别为 2r、4r(轨道如图 D91 所示).最图 D91小矩形的面积为 Smin2r4rghT2022.
