1、广东省广州2022高三上学期第二次阶段考试数学试题第一部分 选择题（共60分）一.单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知全集，集合，则（ ）A. B. C. D. 2. 如图，角的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆O分别交于A，B两点，则（ ）A. B. C. D. 3. 已知，则（ ）A. B. C. D. 4. 下列函数中，其图象与函数的图象关于yx对称的是（ ）A. B. C. D. 5. 已知函数的图象的一条对称轴与其相邻的一个对称中心的距离为，将的图象向右平移个单位长度得到函数的图象.若函
2、数的图象在区间上是增函数，则的取值范围为（ ）A. B. C. D. 6. 若过点与曲线相切的直线有两条，则实数的取值范围是（ ）.A. B. C. D. 7. 已知函数的图象关于对称，且，则的值是（ ）A. B. C. D. 8. 设，则（ ）A. B. C. D. 二.多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）9. 已知向量，则下列说法正确的是（ ）A 若，则B. 若，则C. 的最小值为6D. 若与的夹角为锐角，则10. 为了得到函数的图象，可将函数的图象（ ）A. 纵坐标不变
3、，横坐标伸长为原来的倍B. 纵坐标不变，横坐标缩短为原来的C. 向下平移两个单位长度D. 向上平移两个单位长度11. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列结论正确的是（ ）A 若ab，则B. c10，a12，A60，则有唯一解C. 若a，b，c成等比数列，的取值范围为D. 若，则ABC为锐角三角形12. 已知数列满足，记数列的前n项和为，对恒成立，则下列说法正确的有（ ）A. 若，则数列为递减数列B. 若，则数列为递增数列C. 若a3，则的可能取值为D. 若a3，则第二部分 非选择题（共90分）三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 如图所示的平面直角坐标系、设钟表秒针
4、针尖的坐标为P（x，y），若秒针针尖的初始坐标为当秒针由点P0的位置（此时t0）开始走时，点P的纵坐标y与时间t（单位：秒）的函数关系为_.14. 等差数列前项和为，则_.15. 计算：_.16. 用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”.现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇.衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线yf（x）在点（x，f（x）处的曲率，则曲线在（1，1）处的曲率为_；正弦曲线（xR）曲率的平方的最大值为_.四.解答题（本题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17. 在中，内角A，B，C所对的边长分
5、别为a，b，c，且.（1）求；（2）若，求的面积.18. 已知等比数列的前n项和为（b为常数）（1）求b的值和数列的通项公式；（2）记为在区间中的项的个数，求数列的前n项和19. 如图，三棱台ABCDEF中，ABC90，AC2AB2DF，四边形ACFD为等腰梯形，ACF45，平面ABED平面ACFD.（1）求证：ABCF；（2）求直线BD与平面ABC所成角的正弦值.20. 已知函数（，）再从条件、条件、条件这三个条件中选择能确定函数解析式两个合理条件作为已知，条件：的最大值为1；条件：的一条对称轴是直线；条件：的相邻两条对称轴之间的距离为求：（1）函数解析式；（2）若将函数图像上的点纵坐标不变
6、，横坐标变为原来的，再向右平移个单位，得到函数的图像，若在区间上的最小值为，求的最大值21. 已知函数偶函数.（I）证明：对任意实数，函数的图象与直线最多只有一个交点；（II）若方程有且只有一个解，求实数的取值范围.22. 已知函数 (为正有理数)（1）求函数的单调区间；（2）证明： 当时，数学试题一.单项选择题1.【答案】B【分析】由补集、交集的概念运算【详解】，则故选：B2.【答案】A【分析】利用任意角的三角函数定义写出两点的坐标，再求向量数量积即可【详解】由图可知，所以，故选：A.3.【答案】A【分析】根据三角函数的基本关系式，求得的值，再由，结合两角和的正弦公式，即可求解.【详解】由，
7、可得，因为，可得，所以.故选：A.4. 【答案】D【分析】将函数中的变为，变为，整理可得答案.【详解】将函数中的变为，变为得整理得，即图象与函数的图象关于yx对称的是故选：D.5.【答案】B【分析】由题意，根据余弦函数的周期性质，结合函数图象平移性质以及单调性，可得答案.【详解】由函数的图象的一条对称轴与其相邻的一个对称中心的距离为，则函数的周期，则，则，由将的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，可得，由，函数的图象在区间上是增函数，故，解得，由，当时，故选：B.6. 【答案】A【分析】设切点坐标，根据导数几何意义列等式，把有两条切线的问题转化为方程有两个解的问题，再把方程有两个解的问题转化
8、为函数图像有两个交点的问题，结合函数图像求的范围即可.【详解】设切点为，的导函数为， 可得切线的斜率，由切线经过点，可得，化简可得，由题意可得方程有两解，设，可得，当时，所以在上递减， 当时，所以在上递增， 可得在处取得最大值，如图所示，所以，解得.故选：A.7. 【答案】C【分析】先对函数化简变形，然后由题意可得，求得，再由可得，再利用诱导公式和二倍角公式可求得结果【详解】因为，其中，由于函数的图象关于对称，所以，即，化简得，所以，即，所以，故选：C.8. 【答案】B【分析】法一：构造，求导分析单调性，结合可得，再构造，求导分析单调性可得，进而判断出即可.【详解】法一：若，令在上单调递增，即
9、，比较与的大小，先比较与若令时单调递减，.法二：秒杀另一方面由时，.故选：B二.多项选择题9.【答案】BC【分析】由平面向量垂直、平行以及模长的坐标计算公式，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.【详解】A：若，故可得，解得或，故A错误；B：当时，此时，则，故B正确；C： ，故，当时，取得最小值，故C正确；D：若与的夹角为锐角，则，解得；当与共线时，解得，故，故D错误；综上所述，正确的选项是：.故选：BC.10.【答案】BD【分析】，可通过平移，也可通过伸缩得到.【详解】,可将函数的图象向上平移两个单位长度得到，也可将函数的图象纵坐标不变，横坐标缩短为原来的得到.故选：BD11.【答案】AB
10、C【分析】A选项利用三角形中大边对大角即可判断出.B，D选项利用正余弦定理可判断.C选项，由a，b，c成等比数列，用等比中项的性质，再结合三角形边的性质，两边之和大于第三边列不等式组即可.【详解】对于A：ab可知AB，由余弦函数单调性可知故A正确；对于B，在中，c10，a12，得，所以ABC有唯一解，故B正确；对于C，a，b，c成等比数列，设，q0，则baq，故C正确；对于D，若，则，故，由正弦定理得：，由余弦定理得，则，C为锐角，另外两个角不能确定为锐角还钝角，故D错误；故选：ABC12.【答案】BCD【分析】对于A，取特殊情况，可得答案；对于B，构造函数，作图，利用数形结合思想，可得答案；
11、对于C、D，同B，可得数列的取值方程，整理求得数列相邻两项的大小关系，利用放缩法，解得裂项相消和等比数列求和，可得答案.【详解】对于A，令，解得，即数列的不动点为2，所以当a2时，此时为常数列，A错误；对于B，作出函数与函数yx的图像如图：由图可知B正确；对于C，作出函数与函数yx的图像如图：由图可知：，即，又，一方面，由得，且当n，另一方面，由，得，又，且，所以CD正确.故选：BCD.第二部分 非选择题（共90分）三、填空题13.【答案】，【分析】确定对应的角度，再根据点在单位圆上，写出函数的解析式.【详解】由题意，半径，函数的周期，所以时刻秒针针尖经过的圆弧对应的角度为，以轴正半轴为始边，
12、所在射线为终边，得对应的角度为，秒针是顺时针，则对应的角度为，所以时刻的纵坐标，.故答案为：，.14.【答案】【分析】由结合等差数列的性质可得，然后利用等差数列的求和公式可求得结果【详解】，即故答案为：5215.【答案】【分析】把化为，逆用二倍角的余弦公式和正弦公式，运用辅助角公式，最后化简求值.【详解】原式【点睛】本题考查了同角三角函数商关系，考查了二倍角的正弦公式、余弦公式、辅助角公式.16.【答案】 . 1【分析】（1）由题意，求导，代入公式，可得答案；（2）由题意，整理曲率的函数解析式，换元求导，求最值，可得答案.【详解】（1）由题意得，则，则.（2）由题意得，令，则，令，则，显然当t
13、1,2时，p（t）单调递减，所以，的最大值为1.故答案为：，1.四.解答题17. 【答案】（1）； （2）.【解析】【分析】（1）根据正弦定理，结合同角的三角函数关系式进行求解即可；（2）根据余弦定理，结合三角形面积公式进行求解即可.【小问1详解】由，故由正弦定理知：，所以.因为，所以A为锐角，故；【小问2详解】由（1）及余弦定理知：，故，故.由，所以，所以的面积.18.【答案】（1）； （2）【解析】【分析】（1）依题意等比数列的公比不为1，再根据等比数列前项和公式得到，即可得到且，从而求出、，即可得解；（2）首先令，即可求出的取值范围，从而求出，即可得到，再利用错位相减法求和即可；【小问1
14、详解】解：由题设，显然等比数列的公比不为1，若的首项、公比分别为、，则，且，所以，故的通项公式为当时，；【小问2详解】解：令，解得，所以数列在中的项的个数为，则，所以， 两式相减得19.【答案】（1）证明见解析 （2）【解析】【分析】(1) 延长AD、BE、CF交于点P，由平面ABED平面ACFD推导出CP平面ABED，进而可得出CPAB；(2) 设DFa，可得出，过点P作PMBC于点M，计算出点到平面ABC的距离，即可求得直线BD与平面ABC所成角的正弦值.【小问1详解】证明：延长AD、BE、CF交于点P，四边形ACFD为等腰梯形，ACF45，APC90，即CPAP，平面ABED平面ACFD
15、，平面平面ACFDAP，平面ACFD，CP平面ABED，平面ABED，CPAB.【小问2详解】由AC2AB2DF，可知D为PA的中点，设ABDFa，则，由（1）知，CPAB，ABC90，即ABBC，CP、平面PBC，AB平面PBC，ABPB，过点P作PMBC于点M，AB平面PBC，平面PBC，ABPM，又，AB、平面ABC，PM平面ABC，PMBC，由（1）知，CP平面ABED，CPPB，即，D为PA的中点，D到平面ABC的距离，直线BD与平面ABC所成角的正弦值为.20.【答案】（1）选择条件得； （2）【分析】（1）由题知，进而结合已知条件选择能确定函数解析式，再求解即可；（2）结合函数平
16、移变换得，进而根据题意得，再解不等式即可得答案.【小问1详解】解：，当选条件，的一条对称轴是直线时，即，显然不成立，条件能确定函数解析式，因为的最大值为1，的相邻两条对称轴之间的距离为所以，解得，所以，【小问2详解】解：根据题意得，因为，所以，因为在区间上的最小值为所以，解得.所以，的最大值为.21.【答案】（I）证明见解析；（II）.【分析】（I）先利用偶函数的定义结合对数的运算性质求出的值，然后利用定义法证明函数在上单调递增，即可证明出所证结论；（II）由，得出，令，将问题转化为关于的方程有且只有一个正根，然后分三种情况讨论：；，；，方程有一个正根一个负根.分析这三种情况，可求出实数的取值
17、范围.【详解】（I）由函数是偶函数可得：，即对一切恒成立，.由题意可知，只要证明函数在定义域上为单调函数即可.任取、且，则，即，.函数在上为单调增函数.对任意实数，函数的图象与直线最多只有一个交点；（II）若方程有且只有一解，也就是方程有且只有一个实根.令，问题转化为方程：有且只有一个正根.（1） 若，则，不合题意； （2） 若时，由或，当时，不合题意；当时，； （3） 若时，若方程一个正根与一个负根时，则.综上：实数的取值范围是.【点睛】关键点睛：利用函数的奇偶性求参数、函数的零点问题，涉及函数的单调性以及二次函数的零点问题，解题时要注意将这些知识点进行等价转化处理，属于中等题.22.【答案
18、】（1）的增区间为，减区间为， （2）证明见解析.【解析】【分析】（1）对函数求导后，由导数的正负可求出函数的单调区间，（2）由于在单调递减，所以，令，所以只要证即可，而，所以只要证明： 当时，而，所以令，然后利用导数求的最大值小于等于零即可.【小问1详解】函数的定义域为（为正有理数)，当时，所以； 当时，所以，所以在上单调递增，在上单调递减，所以的增区间为，减区间为；【小问2详解】因为在单调递减， 所以记，因此要证，只要证即可而且，因此只要证明： 当时，而令，则， 令， 则 令，则，令，则，所以(0，1上单调递增， 又， 又在(0，1上连续， 故存在， 使得当时，当时，所以在上单调递减， 在单调递增 又，所以即，所以在单调递减， 所以，即综上所述，当时，【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查利用导数求函数的单调区间，考查利用导数解决不等式恒成立问题，第（2）问解题的关键是结合（1）将问题转化为证明当时，构造函数，然后转化为利用导数求其最大值不大于零即可，考查数学转化思想，属于难题.