1、第1页返回导航 数学 基础知识导航考点典例领航 智能提升返航 课时规范训练 第2页返回导航 数学 第3课时 数系的扩充与复数的引入第3页返回导航 数学 1复数的有关概念(1)复数的定义形如 abi(a、bR)的数叫做复数，其中实部是，虚部是.(2)复数的分类复数 zabi(a，bR)实数b0，虚数b 0纯虚数a0，b0，非纯虚数a0，b0.ab第4页返回导航 数学(3)复数相等abicdi(a，b，c，dR)(4)共轭复数abi 与 cdi 共轭(a，b，c，dR)(5)复数的模向量OZ的模叫做复数 zabi 的模，记作或，即|z|abi|r a2b2(r0，a、bR)ac且bdac且bd|z
2、|abi|第5页返回导航 数学 2复数的几何意义(1)复平面的概念建立来表示复数的平面叫做复平面(2)实轴、虚轴在复平面内，x 轴叫做，y 轴叫做，实轴上的点都表示；除原点以外，虚轴上的点都表示(3)复数的几何表示复数 zabi复平面内的点 平面向量OZ.直角坐标系实轴虚轴实数纯虚数Z(a，b)第6页返回导航 数学 3复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设 z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)，则：加法：z1z2(abi)(cdi)；减法：z1z2(abi)(cdi)；乘法：z1z2(abi)(cdi)；除法：z1z2abicdiabicdicdicdi acbdc2d2 bca
3、dc2d2 i(cdi0)(ac)(bd)i(ac)(bd)i(acbd)(adbc)i第7页返回导航 数学(2)复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何 z1、z2、z3C，有 z1z2，(z1z2)z3(3)复数乘法的运算定律复数的乘法满足交换律、结合律、分配律，即对于任意 z1，z2，z3C，有 z1z2z2z1，(z1z2)z3z1(z2z3)，z1(z2z3)z1z2z1z3.z2z1z1(z2z3)第8页返回导航 数学 4判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)已知 zabi(a，bR)，当 a0 时复数 z 为纯虚数()(2)复数 zabi(a，bR
4、)中，虚部为 bi.()(3)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模()(4)若复数 z1，z2 满足 z1z20，则 z1z2.()(5)复数的减法不满足结合律，即(z1z2)z3z1(z2z3)可能不成立()(6)两个复数的积与商一定是虚数()第9页返回导航 数学(7)复数加减乘除的混合运算法则是先乘除，后加减()(8)复数 z32i 对应点的坐标为(3，2i)()(9)AB对应的复数就是点 B 对应的复数()(10)虚数可以构成等比数列且通项公式、前 n 项的公式都适合()第10页返回导航 数学 考点一 复数的概念命题点1.复数的分类问题：实数、虚数
5、、纯虚数2.共轭复数问题3.复数的模问题第11页返回导航 数学 例 1(1)设 a，bR，i 是虚数单位，则“ab0”是“复数 abi为纯虚数”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件第12页返回导航 数学 解析：若 ab0，则当 a1，b0 时，abi是实数，不是纯虚数，若 abi是纯虚数，由 abiabi 知 a0，b0，ab0，因此“ab0”是“复数 abi为纯虚数”的必要不充分条件答案：B第13页返回导航 数学(2)(2016高考全国甲卷)设复数 z 满足 zi3i，则 z()A12i B12iC32i D32i第14页返回导航 数学 解析：由 zi
6、3i 得 z32i，所以 z 32i.答案：C第15页返回导航 数学(3)(2016高考全国乙卷)设(1i)x1yi，其中 x，y 是实数，则|xyi|()A1 B.2C.3D2第16页返回导航 数学 解析：因为(1i)xxxi1yi，又x，yR 所以 xy1，|xyi|1i|1212 2，选 B.答案：B第17页返回导航 数学 方法引航 有关复数的概念问题，一般涉及到复数的实部、虚部、模、虚数、纯虚数、实数、共轭复数等，解决时，一定先看复数是否为 abia，bR的形式，以确定其实部和虚部.第18页返回导航 数学 1本例(1)中“ab0”是abi2 为实数的什么条件？第19页返回导航 数学 解
7、：abi2(abi)2a2b22abi若 ab0，abi2 为实数，反之成立所以 ab0 是abi2 为实数的充要条件第20页返回导航 数学 2若本例(2)改为设复数 z 满足(z2i)(2i)5，则 z()A23i B23iC32i D32i第21页返回导航 数学 解析：选 B.(z2i)(2i)5，则 z 52i2i2i2i23i.z23i.第22页返回导航 数学 3本例(3)改为已知 a，bR，i 是虚数单位若 ai2bi，则|(abi)2|_.第23页返回导航 数学 解析：由复数相等可得 a2，b1，则(2i)234i.|(abi)2|34i|5.答案：5第24页返回导航 数学 考点二
8、 复数的代数运算命题点1.直接根据复数的运算法则进行运算2.利用待定系数求复数第25页返回导航 数学 例 2(1)(2016高考全国丙卷)若 z12i，则4iz z 1()A1 B1Ci Di第26页返回导航 数学 解析：4iz z 14i12i12i1i.答案：C第27页返回导航 数学(2)i 为虚数单位，1i1i2()A1 B1Ci Di第28页返回导航 数学 解析：1i1i21i21i22i2i 1.答案：B第29页返回导航 数学(3)已知 a，bR，i 是虚数单位若(ai)(1i)bi，则(abi)i2的共轭复数是_第30页返回导航 数学 解析：(ai)(1i)bi(a，bR)，(a1
9、)(a1)ibi，a10，a1b，解得a1，b2，(abi)i2(12i)(1)12i.因此(abi)i2 的共轭复数为12i.答案：12i第31页返回导航 数学(4)设 i 是虚数单位，z 是复数 z 的共轭复数，若 z z i22z，则 z()A1i B1iC1i D1i第32页返回导航 数学 解析：设 zabi(a，bR)，由 z z i22z，得(abi)(abi)i22(abi)，即(a2b2)i22a2bi，由复数相等的条件得a2b22b，22a，得a1，b1.z1i.答案：A第33页返回导航 数学 方法引航 1复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算，除法运算关键是分子分母同
10、乘以分母的共轭复数，注意要把 i的幂写成最简形式.2记住以下结论，可提高运算速度，1i22i；i；i；bai；i4n1，i4n1i，i4n21，i4n3inN.第34页返回导航 数学 1若复数 z12i，其中 i 是虚数单位，则z1z z _.第35页返回导航 数学 解析：z12i，z 12i，所以z1z z z z 1516.答案：6第36页返回导航 数学 2若复数 z 满|z|zi3i，求 z.第37页返回导航 数学 解：设 zabi(a，bR)a2b2(abi)i3i a2b2b3，a1.a1，1b23b，1b296bb2，b43z143i.第38页返回导航 数学 考点三 复数的几何意义
11、命题点1.求复数对应点的象限2.求点对应的复数第39页返回导航 数学 例 3(1)若 a，bR，i 是虚数单位，且 a(b1)i1i，则1biai对应的点在()A第一象限 B第二象限C第三象限D第四象限第40页返回导航 数学 解析：由 a(b1)i1i，a，bR，得 a1 且 b11，所以 a1，且 b2.因此1biai 12iii12iii2i.复数对应点(2，1)在第四象限答案：D第41页返回导航 数学(2)在复平面内，向量AB对应的复数是 2i，向量CB对应的复数是13i，则向量CA对应的复数是()A12i B12iC34i D34i第42页返回导航 数学 解析：因为CACBBA13i(
12、2i)34i.答案：D第43页返回导航 数学 方法引航 因为复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应的，要求某个向量对应的复数时，只要找出所求向量的始点和终点，或者用向量相等直接给出结论即可.第44页返回导航 数学 1若 i 为虚数单位，图中复平面内点 Z 表示复数 z，则表示复数 z1i的点是()AEBFCGDH第45页返回导航 数学 解析：选 D.由题图知复数 z3i，z1i3i1i3i1i1i1i42i22i.表示复数 z1i的点为 H.第46页返回导航 数学 2设复数 z1，z2 在复平面内的对应点关于虚轴对称，z12i，则 z1z2()A5 B5C4i D4i第47页返回导航 数
13、学 解析：选 A.z12i 在复平面内的对应点为(2,1)，又 z1 与 z2 在复平面内的对应点关于虚轴对称，则 z2 的对应点的坐标为(2,1)，即 z22i，z1z2(2i)(2i)i245.第48页返回导航 数学 易错警示复数代数运算的转化方法实数化典例 1(2015高考课标卷)若 a 为实数，且(2ai)(a2i)4i，则 a()A1 B0C1 D2第49页返回导航 数学 解析(2ai)(a2i)4i，4a(a24)i4i.4a0，a244.解得 a0.故选 B.答案 B第50页返回导航 数学 典例 2(2015高考江苏卷)设复数 z 满足 z234i(i 是虚数单位)，则 z 的模
14、为_第51页返回导航 数学 解析 法一：z234i44ii2(2i)2，所以 z2i 或 z2i，即|z|221 5.法二：令 zabi(a，bR)，z2(abi)2a2b22abi34i.由两复数相等的判定条件知a2b23，2ab4，a2，b1或a2，b1，第52页返回导航 数学 所以 z2i 或 z2i，即|z|221 5.法三：|z2|34i|5.又|z2|z|25，|z|5.答案 5第53页返回导航 数学 回顾反思 求解复数问题，就是利用复数相等转化为实数问题，典例 2 中的方法一采用了配方法，方法三利用了模的性质|z1z2|z1|z2|，|z1z2|z1|z2|，|z2|z|2.第54页返回导航 数学 第55页返回导航 数学 课时规范训练