1、山东省青岛市黄岛区2019-2020学年高二数学上学期期中试题（含解析）本试卷4页，23小题，满分150分，考试用时120分钟.第卷一、单项选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线的倾斜角为（ ）A. 30B. 60C. 120D. 150【答案】A【解析】直线的斜率为，所以倾斜角为30.故选A.2.双曲线的虚轴长等于（ ）A. B. 1C. 2D. 【答案】C【解析】【分析】直接利用双曲线的标准方程求解双曲线的虚轴长即可【详解】双曲线，可得b=1，所以双曲线的虚轴长等于2故选：C【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本
2、知识的考查，是基础题3.已知直线与直线平行，则（）A. B. C. 或D. 【答案】B【解析】【分析】由两直线平行，得到，求解，得出的值，再代入直线方程检验，即可得出结果.【详解】因为直线与直线平行，所以，即，解得：或，当时，与重合，不满足题意，舍去；当时，与平行，满足题意.故选：B【点睛】本题主要考查由直线平行求参数，熟记直线平行的判定条件即可，属于常考题型.4.观察数列1，4，7，则该数列的第20项等于（ ）A. 2020B. 20C. D. 【答案】D【解析】【分析】通过观察数列得出规律，数列中的项是按正整数顺序排列，且以3为循环节，由此判断第20项是哪个数【详解】由数列得出规律，按照1
3、，是按正整数的顺序排列，且以3为循环节，由，所以该数列的第20项为故选：D【点睛】本题考查了归纳推理的应用问题，是基础题5.若点在椭圆：，分别为椭圆的左右焦点，且，则的面积为（ ）A. B. 3C. 4D. 1【答案】D【解析】【分析】根据椭圆方程算出c，从而中得到，结合椭圆的定义联解，得到，最后用直角三角形面积公式，即可算出的面积【详解】椭圆C：，a2=4，b2=1可得，因此中，由勾股定理得 根据椭圆的定义，得 联解，可得，的面积故选：D【点睛】本题给出椭圆方程，求当焦点三角形是直角三角形时求焦点三角形的面积，着重考查了勾股定理、椭圆的定义及简单性质等知识，属于中档题6.已知正项等比数列的前
4、项和为，则（ ）A. B. C. 3D. 2【答案】C【解析】【分析】设正项等比数列的公比为q0，利用通项公式即可得出【详解】设正项等比数列的公比为q0，解得：，则.故选：C【点睛】本题考查了等比数列的通项公式、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题7.已知圆：与圆：，则两圆的位置关系为（ ）A. 相离B. 外切C. 相交D. 内切【答案】D【解析】【分析】化圆的一般方程为标准方程，求得圆心坐标与半径，再由两圆的圆心距与半径的关系判断【详解】化圆：为，可得圆的圆心坐标为，半径为7；由圆：的圆心坐标为，半径为2，而，两圆的位置关系为内切故选：D【点睛】本题考查两圆位置关系的判定，考查圆
5、的一般方程化标准方程，是基础题8.人造地球卫星的运行轨道是以地心为焦点的椭圆.设地球的半径为，卫星近地点、远地点离地面的距离分别为，则卫星轨道的离心率等于（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由题意画出图形，结合椭圆的定义，求出椭圆的长半轴a，半焦距c，即可确定椭圆的离心率【详解】椭圆的离心率：，（c，半焦距；a，长半轴）所以只要求出椭圆的c和a，由题意，结合图形可知，所以故选：A【点睛】本题是基础题，考查椭圆的离心率的求法，注意半焦距与长半轴的求法，是解题的关键，考查学生的作图视图能力9.已知直线：与圆：相交于，两点，若，则实数（ ）A B. C. 1D. -1【答案】A【
6、解析】【分析】利用弦长求出圆心到直线的距离，再用点到直线的距离公式即可求出a【详解】由题意，圆心，半径，由几何知识可得，圆心C到直线l的距离，解得，故选：A【点睛】本题主要考查利用几何法解决直线与圆的相交时的弦长问题，属于基础题10.若等差数列的前项和为，则的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】推导出，由此能求出的最大值【详解】等差数列的前n项和为，的最大值为故选：B【点睛】本题考查等差数列的前n项和的最大值的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题二、多项选择题：本大题共3小题，每小题4分，共12分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要
7、求.全部选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.11.若直线过点，且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线方程可能为（ ）A. B. C. D. 【答案】ABC【解析】【分析】讨论直线过原点时和直线不过原点时，分别求出对应的直线方程即可【详解】当直线经过原点时，斜率为，所求的直线方程为y=2x，即；当直线不过原点时，设所求的直线方程为xy=k，把点A（1，2）代入可得1-2=k，或1+2=k，求得k=-1，或k=3，故所求的直线方程为，或；综上知，所求的直线方程为、，或故选：ABC【点睛】本题考查了利用分类讨论思想求直线方程的问题，是基础题12.已知椭圆的中心在原点，焦点，在轴上，且短
8、轴长为2，离心率为，过焦点作轴的垂线，交椭圆于，两点，则下列说法正确的是（ ）A. 椭圆方程为B. 椭圆方程为C. D. 的周长为【答案】ACD【解析】【分析】由已知求得b，再由离心率结合隐含条件求得a，可得椭圆方程，进一步求得通径及的周长判断得答案【详解】由已知得，2b=2，b=1，又，解得，椭圆方程为，如图：，的周长为故选：ACD【点睛】本题考查椭圆的简单性质，考查数形结合的解题思想方法，是中档题13.已知抛物线：的焦点为，直线的斜率为且经过点，直线与抛物线交于点，两点（点在第一象限）、与抛物线的准线交于点，若，则以下结论正确的是（ ）A. B. 为中点C. D. 【答案】ABC【解析】【
9、分析】如图所示：作准线于，轴于，准线于，计算得到，为中点，得到答案.【详解】如图所示：作准线于，轴于，准线于.直线的斜率为，故，故，.，代入抛物线得到；，故，故为中点；，故；，故；故选：.【点睛】本题考查了抛物线相关命题的判断，意在考查学生的综合应用能力.第卷三、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分.14.准线方程为的抛物线的标准方程是_.【答案】【解析】【分析】由抛物线的准线方程可知，抛物线是焦点在轴负半轴上的抛物线，并求得值，则答案可求【详解】解：由抛物线的准线方程为，可知抛物线是焦点在轴负半轴上的抛物线，设其方程为，则其准线方程为，得该抛物线的标准方程是故答案为：【点睛】本题考
10、查抛物线的标准方程，属于基础题15.已知双曲线：的一条渐近线与直线：垂直，则双曲线的离心率_.【答案】【解析】【分析】求出双曲线的渐近线方程，再由两直线垂直的条件，可得，b=2a，再由a，b，c的关系和离心率公式，即可得到所求【详解】双曲线C：的一条渐近线，由于一条渐近线与直线垂直，则有，则离心率为故答案：【点睛】本题考查双曲线的方程和性质，考查渐近线方程和离心率的求法，考查运算能力，属于基础题16.已知等差数列的首项为1，公差不为零，若，成等比数列，则数列的前8项的和为_.【答案】.【解析】【分析】设等差数列的公差为d，运用等比数列的中项性质和等差数列的通项公式，解方程可得公差d，再由等差数
11、列的求和公式，计算可得所求和【详解】等差数列的首项为1，公差d不为零，若，成等比数列，可得，即，解得（0舍去），数列前8项的和为故答案为：【点睛】本题考查等差数列的通项公式和求和公式，等比数列的中项性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题17.已知圆上一动点，定点，轴上一点，则的最小值等于_.【答案】【解析】【分析】根据题意画出示意图，进而数形结合求解；【详解】根据题意画出圆，以及点B（6，1）的图象如图，作B关于x轴的对称点，连接圆心与，则与圆的交点A，即为的最小值，为点（0，2）到点（6，-1）的距离减圆的半径，即，故答案为：【点睛】考查“将军饮马”知识，数形结合的思想，画出图形，做出B点
12、的对称点是解决本题的突破点；四、解答题：共82分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.18.已知等差数列的前项和为，.（1）求数列的通项公式；（2）若，数列的前项和为，证明：.【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）直接利用已知条件建立等量关系式求出数列的首项和公差，进一步求出数列的通项公式（2）利用（1）的结论，进一步利用裂项相消法求出数列的和，进一步利用放缩法的应用求出结果【详解】解：（1）设等差数列的公差为，因为，所以，所以，所以数列的通项公式为：.（2）由（1）知：，所以.【点睛】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，放缩法的应用
13、，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型19.在平面直角坐标系中，圆的圆心在直线上，且圆经过点和点.（1）求圆的标准方程；（2）求经过点且与圆恰有1个公共点的直线的方程.【答案】（1）；（2）或【解析】【分析】（1）由题意可知，圆心应在弦PQ的中垂线上，求出该直线方程，与圆心所在直线方程联立求解，求得圆心坐标，再利用点P在圆上，求出半径，进而求出圆的方程；（2）分直线的斜率是否存在进行讨论，设出直线的点斜式方程，由直线与圆相切可知，圆心到直线的距离等于半径，求出直线的斜率，从而求出直线的方程【详解】解：（1）直线的斜率，中点坐标为，所以中垂线方程为，即，由得，圆心，所以，所以
14、圆的标准方程为：.（2）当该直线斜率不存在，即直线方程为时，成立，当该直线斜率存在时，设其方程为：，即，因为该直线与圆恰有1个公共点，所以圆心到直线距离，得.所以切线方程为或.【点睛】本题考查的知识要点：圆与直线的位置关系式的应用，点到直线的距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题20.已知为坐标原点，点和点，动点满足：.（1）求动点的轨迹曲线的方程并说明是何种曲线；（2）若抛物线：的焦点恰为曲线的顶点，过点的直线与抛物线交于，两点，求直线的方程.【答案】（1）动点的轨迹方程为：，点的轨迹是以，为焦点的双曲线的右支；（2）或【解析】【分析】（1）由动点满足，可得到
15、轨迹曲线为双曲线的右支；（2）由（1）可得F的坐标，然后再求出抛物线的方程，设出直线的方程为，后根据焦点弦弦长公式得到关于k的方程，解出即可【详解】解：（1）根据双曲线的定义：点的轨迹是以，为焦点的双曲线的右支且，所以，所以动点的轨迹方程为：.（2）因为曲线的顶点为，所以抛物线的方程为：，当直线斜率不存时，不满足题意，设直线：，由抛物线的定义知：，所以，将代入得：，所以，解得，所以直线的方程为：或.【点睛】本题主要考查双曲线的定义以及直线与圆锥曲线的关系，应用抛物线的定义求其弦长公式即可快速求解，属于中档题21.已知为坐标原点，定点，定直线：，动点到直线的距离为，且满足：.（1）求动点的轨迹曲
16、线的方程；（2）若直线：与曲线交于，两点，求面积的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）设，P到F的距离，P到定直线l的距离为，进而求解；（2）设，联立直线方程和椭圆方程，求出t的取值范围，进而由三角形面积公式求解；【详解】解：（1）设点，由题知：，所以，整理得点的轨迹方程为：.（2）将带入得：，所以，得，点到直线的距离，当且仅当即时等号成立满足，面积最大值为.【点睛】（1）考查椭圆轨迹方程解析式求解；，点到直线距离，点到点的距离公式应用；（2）考查圆锥曲线与直线相交，求三角形面积最值问题，解决本题关键点在于怎么表示三角形的面积；22.已知数列的前项和为，.（1）证明：数列为等
17、比数列；（2）已知曲线若为椭圆，求的值；（3）若，求数列的前项和【答案】（1）见解析；（2）或；（3）.【解析】【分析】（1）利用的递推公式证明出为非零常数，即可得出结论；（2）利用（1）中的结论求出，由与之间的关系求出，结合题意得出，可求出的值；（3）求出数列的通项公式，然后利用错位相减法求出.【详解】（1）对任意的，则且，所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列；（2）由（1）可得，.当时，也适合上式，所以，.由于曲线是椭圆，则，即，解得或；（3），得，因此，.【点睛】本题考查等比数列的证明，同时也考查了利用椭圆方程求参数以及错位相减法求和，考查推理能力与计算能力，属于中等题.23.已知为
18、坐标原点，椭圆：上顶点为，右顶点为，离心率，圆：与直线相切.（1）求椭圆的标准方程；（2）若，为椭圆上的三个动点，直线，的斜率分别为.（i）若的中点为，求直线的方程；（ii）若，证明：直线过定点.【答案】（1）；（2）（i）；（ii）证明见解析.【解析】【分析】（1）由离心率和直线AB与圆相切分别得到a，b的关系式，求解得椭圆的方程；（2）（i）由点差法求出直线EF的斜率，然后写出方程；（）由直线DE、DF与椭圆的相交关系，分别求出E、F两点的横坐标，再利用，求得，另设直线的方程为，代入椭圆方程，利用韦达定理表示，求得，故得结论直线EF过定点【详解】解：（1）由题意，直线的方程为：，即为，因为圆与直线相切，所以，设椭圆的半焦距为，因为，所以由得：，所以椭圆的标准方程为：.（2）设，（i）由题知：，两式做差得：，整理得：，所以此时直线的方程为：；（ii）设直线：，设直线：，将代入，得：，所以，因此.又因为，且同理可得：，可得，设直线的方程为：，将代入，得：，得，所以，所以直线过定点.【点睛】本题考查了椭圆的基本的几何性质，考查了点差法，直线与椭圆的位置关系，属于难题