1、第1页返回导航 数学 基础知识导航考点典例领航 智能提升返航 课时规范训练 第2页返回导航 数学 第4课时 直线与圆、圆与圆的位置关系第3页返回导航 数学 1直线与圆的位置关系与判断方法方法过程依据结论代数法 联立方程组消去x(或y)得一元二次方程，计算b24ac000几何法 计算圆心到直线的距离d，比较d与半径r的关系相交时弦长为2drdrdr相交相切相离相交相切相离第4页返回导航 数学 2.圆与圆的位置关系设圆 O1：(xa1)2(yb1)2r21(r10)，圆 O2：(xa2)2(yb2)2r22(r20).方法位置关系 几何法：圆心距d与r1，r2的关系代数法：两圆方程联立组成方程组的
2、解的情况外离dr1r2外切dr1r2相交|r1r2|dr1r2内切d|r1r2|(r1r2)内含0d|r1r2|(r1r2)无解一组实数解两组不同的实数解一组实数解无解第5页返回导航 数学 3.判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，那么两圆外切()(2)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，那么两圆相交()(3)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程()(4)过圆 x2y2r2 上一点 P(x0，y0)的圆的切线方程为x0 xy0yr2.()第6页返回导航 数学(5)“k1”是“直线 xyk0 与圆 x
3、2y21 相交”的必要不充分条件()(6)过点(1,0)的直线与圆(x2)2y21 都相切()(7)若两圆的公共点的横坐标有且只有一个值，则两圆一定是相切()(8)若两圆有且只有两条公切线，则两圆一定是相交()(9)若点 P(a，b)在圆 x2y21 外，则直线 axby1 与圆相离()(10)直线 yx1 与圆(x2)2y21 相交的弦长为 2.()第7页返回导航 数学 考点一 直线与圆的位置关系命题点1.位置关系的判定2.利用位置关系求参数第8页返回导航 数学 例 1(1)(2017福建泉州四校联考)已知 m(2cos，2sin)，n(3cos，3sin)，若 m 与 n 的夹角为 60，
4、则直线 xcos ysin 120 与圆(xcos)2(ysin)212的位置关系是()A相交 B相交且过圆心C相切D相离第9页返回导航 数学 解析：由向量的夹角公式得 cos m，n mn|m|n|cos cos sin sin cos()12，圆心(cos，sin)到直线的距离 dcos cos sin sin 12cos2sin21 22，直线与圆相离答案：D第10页返回导航 数学(2)直线 l1：yxa 和 l2：yxb 将单位圆 C：x2y21 分成长度相等的四段弧，则 a2b2_.第11页返回导航 数学 解析：依题意，不妨设直线 yxa 与单位圆相交于 A，B 两点，则AOB90.
5、如图，此时 a1，b1，满足题意，所以 a2b22.答案：2第12页返回导航 数学 方法引航 直线与圆的位置关系要注意直线的特殊性.如直线是否经过定点，斜率 k0 或不存在；点是在圆上，还是圆外或圆内，注意利用方程思想时，方程根的正负与范围等.第13页返回导航 数学 1直线 l：mxy1m0 与圆 C：x2(y1)25 的位置关系是()A相交B相切C相离D不确定第14页返回导航 数学 解析：选 A.法一：由题意知，圆心(0,1)到直线 l 的距离d|m|m211 5，故直线 l 与圆相交法二：直线 l：mxy1m0 过定点(1,1)，因为点(1,1)在圆x2(y1)25 的内部，所以直线 l
6、与圆相交第15页返回导航 数学 2若直线 yxb 与曲线 x 1y2恰有一个公共点，则 b 的取值范围是()Ab(1,1 Bb 2Cb 2Db(1,1或 b 2第16页返回导航 数学 解析：选 D.由 x 1y2知，曲线表示半圆(如图所示)，让直线yxb 在图形中运动，可知当1b1 时，与半圆有一个公共点；当直线与半圆相切时，也与半圆只有一个公共点，此时|b|21，求得 b 2(舍去)或 b 2.第17页返回导航 数学 考点二 圆的切线、弦长问题命题点1.求切线方程2.求弦长3.利用切线、弦长求参数第18页返回导航 数学 例 2(1)已知圆 x2y22x2ya0 截直线 xy20 所得弦的长度
7、为 4，则实数 a 的值是()A2 B4C6 D8第19页返回导航 数学 解析：由圆的方程 x2y22x2ya0 可得，圆心为(1,1)，半径r 2a.圆心到直线xy20的距离为d|112|22.由 r2d2422 得 2a24，所以 a4.答案：B第20页返回导航 数学(2)已知 P(x，y)是直线 kxy40(k0)上一动点，PA，PB 是圆C：x2y22y0 的两条切线，A，B 是切点，若四边形 PACB 的最小面积是 2，则 k 的值为()A3 B.212C2 2D2第21页返回导航 数学 解析：如图所示，由题意可得圆 C 的圆心坐标为(0,1)，半径为 1，则由四边形 PACB 的最
8、小面积为2 得 212|PA|12，所以|PA|2.又 PA 是圆 C 的切线，由勾股定理得|PC|PA|212 5，再由点到直线的距离公式得|0k14|k212 5(k0)，解得 k2.答案：D第22页返回导航 数学(3)一条光线从点(2，3)射出，经 y 轴反射后与圆(x3)2(y2)21 相切，则反射光线所在直线的斜率为()A53或35B32或23C54或45D43或34第23页返回导航 数学 解析：由已知，得点(2，3)关于 y 轴的对称点为(2，3)，由入射光线与反射光线的对称性，知反射光线一定过点(2，3)设反射光线所在直线的斜率为 k，则反射光线所在直线的方程为 y3k(x2)，
9、即 kxy2k30.由反射光线与圆相切，则有 d|3k22k3|k211，解得 k43或 k34.答案：D第24页返回导航 数学 方法引航 1处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长一半、弦心距、半径构成直角三角形.2圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径建立关系解决问题.第25页返回导航 数学 1若将本例(1)改为：已知直线 axy20 与圆心为 C 的圆(x1)2(ya)24 相交于 A，B 两点，且ABC 为等边三角形，则实数 a_.第26页返回导航 数学 解析：由题意知，圆心 C(1，a)到直线 axy20 的距离为|aa2|a21，因为ABC 为等边三角形，所以|AB|B
10、C|2，所以|aa2|a2121222，解得 a4 15.第27页返回导航 数学 答案：4 15第28页返回导航 数学 2若将本例(2)改为：已知圆 C：(xa)2(ya)21(a0)与直线y2x 相交于 P、Q 两点，则当CPQ 的面积最大时，实数 a 的值为_第29页返回导航 数学 解析：圆 C：(xa)2(ya)21(a0)的圆心为 C(a，a)，半径为1，圆心到直线的距离 d|2aa|5 a5，半弦长为1a52255a25，SCPQ a5 255a25 a25a25 5a2a4515a2522254，当 a252时，S 取得最大值，最大值为15254155212，此时 a 102.第3
11、0页返回导航 数学 答案：102第31页返回导航 数学 3将本例(3)改为：直线 l 过点 A(2,4)且与圆 x2y24 相切，则 l的方程为()A3x4y100 Bx2Cxy20 Dx2 或 3x4y100第32页返回导航 数学 解析：选 D.显然 x2 为所求切线之一；另设 y4k(x2)，即 kxy42k0，而|42k|k212，k34，即切线为 3x4y100，x2 或 3x4y100 为所求第33页返回导航 数学 考点三 圆与圆的位置关系命题点1.圆与圆位置关系判定2.利用圆与圆位置关系求参数3.利用圆与圆位置关系求圆的方程第34页返回导航 数学 例 3(1)圆 C1：x2y21
12、与圆 C2：x2(y3)21 的内公切线有且仅有()A1 条 B2 条C3 条D4 条第35页返回导航 数学 解析：圆心距为 3，半径之和为 2，故两圆外离，内公切线条数为2.答案：B第36页返回导航 数学(2)已知两圆 x2y22x6y10 和 x2y210 x12ym0.m 取何值时两圆外切？m 取何值时两圆内切？求 m45 时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长第37页返回导航 数学 解：两圆的标准方程为：(x1)2(y3)211，(x5)2(y6)261m，圆心分别为 M(1,3)、N(5,6)，半径分别为 11和 61m当两圆外切时，512632 11 61m，解得：m2510 1
13、1.当两圆内切时，因定圆的半径 11小于两圆圆心距 5，故只有61m 115，解得：m2510 11.第38页返回导航 数学 当 m45 时，两圆的公共弦所在直线方程为(x2y22x6y1)(x2y210 x12y45)0，即 4x3y230.公共弦长为 2 112|413323|423222 7.第39页返回导航 数学 方法引航 1处理两圆的位置关系多用圆心距与半径和或差的关系判断，一般不采用代数法.2若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差得到.第40页返回导航 数学 1与圆 C1：x2y22x6y260，C2：x2y24x2y40都相切的直线有()A1 条 B2 条C3
14、条D4 条第41页返回导航 数学 解析：选 A.将已知圆化为圆的标准形式，C1：(x1)2(y3)236，C2：(x 2)2 (y 1)2 1，两 圆 圆 心 距|C1C2|1223125，两圆圆心距等于两圆半径之差，故两圆相内切，它们只有一条公切线第42页返回导航 数学 2若圆 x2y24 与圆 x2y22ay60(a0)的公共弦的长为2 3，则 a_.第43页返回导航 数学 解析：两圆的方程相减，得公共弦所在的直线方程为(x2y22ay6)(x2y2)04y1a，又 a0，结合图象(图略)，再利用半径、弦长的一半及弦心距所构成的直角三角形，可知1a22 321a1.答案：1第44页返回导航
15、 数学 方法探究巧用圆的几何性质典例 已知圆 C1：(x2)2(y3)21，圆 C2：(x3)2(y4)29，N，M 分别是圆 C1，C2 上的动点，P 为 x 轴上的动点，则|PM|PN|的最小值为()A5 24 B.171C62 2D.17第45页返回导航 数学 解析 作圆 C1关于 x 轴的对称圆 C1：(x2)2(y3)21，则|PM|PN|PM|PN|，由图可知当 C2，M，P，N，C1 在同一直线上时，|PM|PN|PM|PN|取得最小值，即为|C1 C2|135 24.故选 A.答案 A第46页返回导航 数学 方法探究 利用两圆心的连线的性质与对称特点求得答案，解析几何中涉及圆的
16、问题，要注意强化两种解题意识：一是画图意识，通过画图探求解析，去杂补漏；二是灵活应用圆的几何性质解题的意识第47页返回导航 数学 高考真题体验1(2016高考全国乙卷)设直线 yx2a 与圆 C：x2y22ay20 相交于 A，B 两点，若|AB|2 3，则圆 C 的面积为_第48页返回导航 数学 解析：圆 C 的方程可化为 x2(ya)2a22，可得圆心的坐标为C(0，a)，半径 r a22，所以圆心到直线 xy2a0 的距离为|a2a|2|a|2，所以|a|22(3)2(a22)2，解得 a22，所以圆 C 的半径为 2，所以圆 C 的面积为 4.答案：4第49页返回导航 数学 2(201
17、6高考全国丙卷)已知直线 l：x 3y60 与圆 x2y212 交于 A，B 两点，过 A，B 分别作 l 的垂线与 x 轴交于 C，D 两点则|CD|_.第50页返回导航 数学 解析：设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3,0)，D(x4,0)，由 x 3y60，得 x 3y6，代入圆的方程，并整理，得 y23 3y60，解得 y12 3，y2 3，所以 x10，x23，所以直线 AC 的方程为 y2 3 3x，令 y0 得 x32，直线 BD 的方程为 y 3 3(x3)，令 y0 得 x42，则|CD|x3x4|4.答案：4第51页返回导航 数学 3(2014高考课标全国卷)设
18、点 M(x0,1)，若在圆 O：x2y21上存在点 N，使得OMN45，则 x0 的取值范围是()A1,1 B.12，12C 2，2 D.22，22第52页返回导航 数学 解析：选 A.法一：过 M 作圆 O 的两条切线 MA、MB，切点分别为 A、B，若在圆 O 上存在点 N，使OMN45，则OMBOMN45，所以AMB90，所以1x01，故选 A.第53页返回导航 数学 法二：过 O 作 OPMN 于 P，则|OP|OM|sin 451，|OM|2，即 x201 2，x201，即1x01，故选 A.第54页返回导航 数学 4(2015高考课标全国卷)已知过点 A(0,1)且斜率为 k 的直
19、线 l与圆 C：(x2)2(y3)21 交于 M，N 两点(1)求 k 的取值范围；(2)若OM ON 12，其中 O 为坐标原点，求|MN|.第55页返回导航 数学 解：(1)由题设，可知直线 l 的方程为 ykx1.因为直线 l 与圆 C 交于两点，所以|2k31|1k2 1，解得4 73k4 73.所以 k 的取值范围为4 73，4 73.第56页返回导航 数学(2)设 M(x1，y1)，N(x2，y2)将 ykx1 代入圆 C 的方程(x2)2(y3)21，整理得(1k2)x24(1k)x70，所以 x1x241k1k2，x1x271k2.OM ON x1x2y1y2(1k2)x1x2k(x1x2)14k1k1k2 8.第57页返回导航 数学 由题设可得4k1k1k2 812，解得 k1，所以 l 的方程为yx1.故圆 C 的圆心(2,3)在 l 上，所以|MN|2.第58页返回导航 数学 课时规范训练