1、第1页返回导航 数学 基础知识导航考点典例领航 智能提升返航 课时规范训练 第2页返回导航 数学 第3课时 等比数列及其前n项和第3页返回导航 数学 1等比数列的有关概念(1)等比数列的有关概念一般地，如果一个数列从起，每一项与它的前一项的比等于这个数列叫等比数列，这个常数叫用 q 表示(2)等比中项如果三个数 a，G，b 成等比数列，则 G 叫做 a 和 b 的等比中项，那么GabG，即.第2项同一常数公比G2ab第4页返回导航 数学 2等比数列的有关公式(1)等比数列的通项公式设等比数列an的首项为 a1，公比为 q，q0，则它的通项公式an.(2)等比数列的前 n 项和公式等比数列an的
2、公比为 q(q0)，其前 n 项和为 Sn，当 q1 时，Sn；当 q1 时，Sn a11qn1q a1anq1q .a1qn1na1第5页返回导航 数学 3等比数列的性质(1)通项公式的推广：an(n，mN*)(2)若an为等比数列，且 klmn(k，l，m，nN*)，则.amqnmakalaman第6页返回导航 数学(3)若an，bn(项数相同)是等比数列，则an(0)，1an，a2n，anbn，anbn 仍是(4)公比不为1 的等比数列an的前 n 项和为 Sn，则 Sn，S2nSn，S3nS2n 仍成等比数列，其公比为.等比数列qn第7页返回导航 数学 4判断下列结论的正误(正确的打“
3、”，错误的打“”)(1)常数列一定是等比数列()(2)等比数列中不存在数值为 0 的项()(3)满足 an1qan(nN*，q 为常数)的数列an为等比数列()(4)G 为 a，b 的等比中项G2ab.()(5)若等比数列an的首项为 a1，公比是 q，则其通项公式为 ana1qn.()第8页返回导航 数学(6)数 列 an 的通项公 式是 an an，则 其 前 n 项 和 为 Sn a1an1a.()(7)q1 时，等比数列an是递增数列()(8)在等比数列an中，若 amanapaq，则 mnpq.()(9)若一个数列满足 an1q2an，则an为等比数列()(10)若数列 a，a(1a
4、)，a(1a)2，是等比数列，则 a0 且a1.()第9页返回导航 数学 考点一 等比数列基本量的计算命题点利用 a 和 q解方程(组)第10页返回导航 数学 例 1(1)已知等比数列an满足 a13，a1a3a521，则 a3a5a7()A21 B42C63 D84第11页返回导航 数学 解析：设an的公比为 q，由 a13，a1a3a521 得33q23q421，即 q22，所以 a3a5a7(a1a3a5)q221242.答案：B第12页返回导航 数学(2)(2016高考全国乙卷)设等比数列an满足 a1a310，a2a45，则 a1a2an 的最大值为_第13页返回导航 数学 解析：由
5、题意知，a2a4(a1a3)q，即 510q，解得 q12，将 q12代入 a1a310，解得 a18.第14页返回导航 数学 a1a2anan1qnn128n12nn122n22 7n2.n22 7n2 12n722498 6，且 nN*.当 n3 或 4 时有最大值a1a2an2n22 7n2 2664，即最大值为 64.答案：64第15页返回导航 数学(3)(2017河南开封模拟)正项等比数列an中，a24，a416，则数列an的前 9 项和等于_第16页返回导航 数学 解析：an为正项等比数列，q2a4a2164 4，q2，S9a11q91q212912 21021 022.答案：1
6、022第17页返回导航 数学(4)在等比数列an中，若 a4a26，a5a115，则 a3_.第18页返回导航 数学 解析：设等比数列an的公比为 q(q0)，则a1q3a1q6a1q4a115，两式相除，得q1q225，即 2q25q20，解得 q2 或 q12.若 q2，则有 a124a115，a11，a34若 q12，a116a115，a116，a34.答案：4或4第19页返回导航 数学 方法引航 1方程思想.等比数列的通项公式和前 n 项和公式联系着五个基本量，“知三求二”是一类最基本的运算，通过列方程组求出关键量 a1 和 q，问题可迎刃而解.2分类讨论思想.等比数列的前 n 项和公
7、式涉及对公比 q 的分类讨论，即分 q1 和 q1 两种情况，此处是常考易错点，一定要引起重视.3整体思想.应用等比数列前 n 项和时，常把 qn，当成整体求解.第20页返回导航 数学 1(2017吉林长春调研)等比数列an 中，a39，前三项和 S327，则公比 q 的值为()A1 B12C1 或12D1 或12第21页返回导航 数学 解析：选 C.设数列an 的公比为 q，因为 a39，所以 a19q2，a29q，则 S39q29q927，即 2q2q10，解得 q1 或 q12，故选 C.第22页返回导航 数学 2(2017河南郑州质检)已知等比数列an 的前 n 项和为 Sn，若 a2
8、52a3a6，S562，则 a1 的值是_第23页返回导航 数学 解析：设an 的公比为 q.由 a252a3a6 得(a1q4)22a1q2a1q5，q2，S5a11251262，a12.答案：2第24页返回导航 数学 3已知数列an是递增的等比数列，a1a49，a2a38，则数列an的前 n 项和等于_第25页返回导航 数学 解析：设等比数列的公比为 q，则有a1a1q39，a21q38，解得a11，q2或a18，q12.又an为递增数列，a11，q2，Sn12n12 2n1.答案：2n1第26页返回导航 数学 考点二 等比数列的判定或证明命题点1.用定义法证明等比数列2.用等比中项法证明
9、等比数列第27页返回导航 数学 例 2(1)对任意等比数列an，下列说法一定正确的是()Aa1，a3，a9 成等比数列 Ba2，a3，a6 成等比数列Ca2，a4，a8 成等比数列Da3，a6，a9 成等比数列第28页返回导航 数学 解析：设数列an的公比为 q，a3a1q2，a9a1q8，故 A 错，a2a1q，a6a1q5，故 B 错，a4a1q3，a8a1q7，故 C 错，只有 a3，a6，a9 成等比数列答案：D第29页返回导航 数学(2)已知数列an的前 n 项和为 Sn，数列bn中，b1a1，bnanan1(n2)，且 anSnn.设 cnan1，求证：cn是等比数列；求数列bn的
10、通项公式第30页返回导航 数学 解：证明：anSnn，()an1Sn1n1.()()()得 an1anan11，2an1an1，2(an11)an1，an11an1 12，an1是等比数列又 a1a11，a112，首项 c1a11，c112，公比 q12.第31页返回导航 数学 又 cnan1，cn是以12为首项，以12为公比的等比数列由可知 cn12 12n112n，ancn1112n.第32页返回导航 数学 当 n2 时，bnanan1112n112n112n112n12n.又 b1a112代入上式也符合，bn12n.第33页返回导航 数学 方法引航 将已知中提供的递推关系式，或者是 an
11、 与 Sn 的关系式进行化简，转化为数列an中相邻两项之间的关系，在 an0nN*前提下，若qq 为非零常数或qq 为非零常数，n2且 nN*，或者anan2nN*，则an是等比数列.第34页返回导航 数学 1在数列an 中，“an2an1，n2,3,4，”是“an 是公比为 2的等比数列”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件第35页返回导航 数学 解析：选 B.当 an0 时，也有 an2an1，n2,3,4，但an 是等差数列，不是等比数列，因此充分性不成立当an 是公比为 2的等比数列时，有 anan12，n2,3,4，即 an2an1，n2,3,4，
12、所以必要性成立故选 B.第36页返回导航 数学 2设数列an的前 n 项和 Sn43an132n123，n1,2,3，.(1)求首项 a1 的值；(2)求证：数列an2n是等比数列第37页返回导航 数学 解：(1)令 n1，得 a1S143a113423，解得 a12.(2)证明：当 n2 时，Sn143an1132n23.所以 anSnSn143(anan1)13(2n12n)，即 an4an12n，所以 an2n4(an12n1)，所以数列an2n是首项为 a124，公比为 4 的等比数列第38页返回导航 数学 考点三 等比数列的性质及应用命题点1.等比数列的通项性质2.等比数列的前 n
13、项和性质第39页返回导航 数学 例 3(1)(2017辽宁沈阳模拟)已知各项不为 0 的等差数列an 满足 2a2a272a120，数列bn 是等比数列，且 b7a7，则 b3b11 等于()A16 B8C4 D2第40页返回导航 数学 解析：由等差数列性质得 a2a122a7，所以 4a7a270，又 a70，所以 a74，b74，由等比数列性质得 b3b11b2716，故选 A.答案：A第41页返回导航 数学(2)(2017河北衡水模拟)各项均为正数的等比数列an的前 n 项和为 Sn，若 Sn2，S3n14，则 S4n 等于()A80 B30C26 D16第42页返回导航 数学 解析：由
14、于 2，S2n2,14S2n 成等比数列，(S2n2)22(14S2n)，S22n2S2n240，由于 Sn0，S2n6，S2nSn624，S2nSnSn2，S4nS3n223，S4n161430.答案：B第43页返回导航 数学(3)一个项数为偶数的等比数列an，全部各项之和为偶数项之和的 4 倍，前 3 项之积为 64，则 a1()A11 B12C13 D14第44页返回导航 数学 解析：设数列an的首项为 a1，公比为 q，全部奇数项、偶数项之和分别记为 S 奇、S 偶，由题意知，S 奇S 偶4S 偶，即 S 奇3S 偶，因为数列an的项数为偶数，所以 qS偶S奇13，又 a1a1qa1q
15、264，所以 a31q364，故 a112.答案：B第45页返回导航 数学 方法引航 求解数列问题，利用基本性质可使求解过程简单.等比中项是数列“脚码和”性质的特例.涉及到等比数列的“两项积”时，可考虑此性质的应用.已知两项求公比时，常用 anamqnm.,在等比数列an中，若 amanapaqm，n，p，qN*，则不一定有 mnpq 成立，如当数列an是非零常数列时此结论不成立.第46页返回导航 数学 1公比为 2 的等比数列an的各项都是正数，且 a3a1116，则log2a10 等于()A4 B5C6 D7第47页返回导航 数学 解析：选 B.利用等比数列的性质和通项公式求解a3a111
16、6，a2716.又等比数列an的各项都是正数，a74.又a10a7q342325，log2a10log2255.故选 B.第48页返回导航 数学 2一个等比数列的前三项的积为 3，最后三项的积为 9，且所有项的积为 729，则该数列的项数是()A13 B12C11 D10第49页返回导航 数学 解析：选 B.设该等比数列为an，其前 n 项积为 Tn，则由已知得 a1a2a33，an2an1an9，(a1an)33933，a1an3，又 Tna1a2an1an，Tnanan1a2a1，T2n(a1an)n，即 72923n，n12.第50页返回导航 数学 规范答题等差、等比数列综合问题的规范答
17、题典例(本题满分 12 分)设数列an(n1,2,3，)的前 n 项和 Sn满足 Sn2ana1，且 a1，a21，a3 成等差数列(1)求数列an的通项公式；(2)记数列1an 的前 n 项和为 Tn，求 Tn.第51页返回导航 数学 规范解答(1)由已知 Sn2ana1，有anSnSn12an2an1(n2)，2 分即 an2an1(n2)，所以 q2.3 分从而 a22a1，a32a24a1.又 因 为 a1，a2 1，a3 成 等 差 数 列，即 a1 a3 2(a2 1)，5 分所以 a14a12(2a11)，解得 a12.6 分第52页返回导航 数学 所以数列an是首项为 2，公比
18、为 2 的等比数列故 an2n.8 分(2)由(1)得 1an 12n，9 分所以 Tn12 122 12n12112n1121 12n.12 分第53页返回导航 数学 规范建议(1)由 Sn2ana1 得 Sn12an1a1；(2)由 anSnSn1 得 an2an1(n2)；(3)由 a1，a21，a3 成等差数列求 a1；(4)求 an，进而求 1an；(5)求前 n 项和 Tn.第54页返回导航 数学 第55页返回导航 数学 高考真题体验1(2014高考大纲全国卷)设等比数列an 的前 n 项和为 Sn，若 S23，S415，则 S6()A31 B32C63 D64第56页返回导航 数
19、学 解析：选 C.在等比数列an 中，S2、S4S2、S6S4 也成等比数列，故(S4S2)2S2(S6S4)，则(153)23(S615)，解得 S663.第57页返回导航 数学 2(2015高考课标卷)在数列an中，a12，an12an，Sn 为an的前 n 项和若 Sn126，则 n_.第58页返回导航 数学 解析：由已知得an为等比数列，公比 q2，由首项 a12，Sn126 得212n12 126，解得 2n1128，n6.答案：6第59页返回导航 数学 3(2015高考课标卷)已知等比数列an满足 a114，a3a54(a41)，则 a2()A2 B1C.12D.18第60页返回导
20、航 数学 解析：选 C.a3a5a24，a3a54(a41)，a244(a41)，a244a440，a42.又q3a4a12148，q2，a2a1q14212，故选 C.第61页返回导航 数学 4(2016高考全国乙卷)已知an是公差为 3 的等差数列，数列bn满足 b11，b213，anbn1bn1nbn.(1)求an的通项公式；(2)求bn的前 n 项和第62页返回导航 数学 解：(1)由已知，a1b2b2b1，b11，b213，得 a12，所以数列an是首项为 2，公差为 3 的等差数列，通项公式为 an3n1.(2)由(1)知 anbn1bn1nbn 得 bn1bn3，因此bn是首项为 1，公比为13的等比数列记bn的前 n 项和为 Sn，则 Sn113n11332123n1.第63页返回导航 数学 课时规范训练
