1、第1页返回导航 数学 基础知识导航考点典例领航 智能提升返航 课时规范训练 第2页返回导航 数学 第8课时 直线与圆锥曲线的位置关系及应用第3页返回导航 数学 1直线与圆锥曲线的位置关系判断直线 l 与圆锥曲线 C 的位置关系时，通常将直线 l 的方程 AxByC0(A，B 不同时为 0)代入圆锥曲线 C 的方程 F(x，y)0，消去 y(也可以消去 x)得到一个关于变量 x(或变量 y)的一元方程即AxByC0，Fx，y0，消去 y，得 ax2bxc0.第4页返回导航 数学(1)当 a0 时，设一元二次方程 ax2bxc0 的判别式为，则0直线与圆锥曲线 C；0直线与圆锥曲线 C；0直线与圆
2、锥曲线 C(2)当 a0，b0 时，即得到一个一次方程，则直线 l 与圆锥曲线C 相交，且只有一个交点，此时，若 C 为双曲线，则直线 l 与双曲线的渐近线的位置关系是；若 C 为抛物线，则直线 l 与抛物线的对称轴的位置关系是相交相切相离平行平行或重合第5页返回导航 数学 2圆锥曲线的弦长设斜率为 k(k0)的直线 l 与圆锥曲线 C 相交于 A，B 两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|1k2|x1x2|1k2 x1x224x1x211k2|y1y2|11k2 y1y224y1y2.第6页返回导航 数学 3判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)直线 l 与椭圆
3、 C 相切的充要条件是：直线 l 与椭圆 C 只有一个公共点()(2)直线 l 与双曲线 C 相切的充要条件是：直线 l 与双曲线 C 只有一个公共点()(3)经过抛物线上一点有且只有一条直线与抛物线有一个公共点()(4)过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点()第7页返回导航 数学(5)直线 ykx1 与椭圆x25y291 恒有两个公共点()(6)过抛物线 y22px(p0)焦点的弦中最短弦的弦长是 2p.()(7)过椭圆x2a2y2b21 的焦点的弦中，最短的弦长为2b2a.()(8)与双曲线只有一个交点的直线为其切线()(9)过点(0,1)作直线，使它与 y24x 仅有一个
4、公共点的直线只有 2条()(10)直线ykx1与椭圆x29y241，相离，相切，相交随k而变()第8页返回导航 数学 考点一 直线与圆锥曲线位置关系判定及应用命题点1.判定位置关系2.求参数范围或直线第9页返回导航 数学 例 1(1)(2017广东深圳模拟)过点 A 的直线 l 与抛物线 y22x 有且只有一个公共点，这样的 l 的条数是()A0 或 1 B1 或 2C0 或 1 或 2 D1 或 2 或 3第10页返回导航 数学 解析：当 A 在抛物线的外部时，共有三条直线与抛物线只有一个公共点(有两条是切线，一条与抛物线的对称轴平行，如图)；可以想象，当 A 在抛物线上时，有两条直线与抛物
5、线只有一个公共点；当 A 在抛物线的内部时，只有一条直线与抛物线只有一个公共点故选 D.答案：D第11页返回导航 数学(2)设直线 l 与抛物线 y24x 相交于 A，B 两点，与圆(x5)2y2r2(r0)相切于点 M，且 M 为线段 AB 的中点若这样的直线 l恰有 4 条，则 r 的取值范围是()A(1,3)B(1,4)C(2,3)D(2,4)第12页返回导航 数学 解析：如图，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，则y214x1，y224x2，两式相减得，(y1y2)(y1y2)4(x1x2)当 l 的斜率 k 不存在时，符合条件的直线l 必有两条当 k 存在时，x
6、1x2，则有y1y22y1y2x1x22，又 y1y22y0，所以 y0k2.第13页返回导航 数学 由 CMAB 得 ky00 x051，即 y0k5x0，因此 25x0，x03，即 M 必在直线 x3 上将 x3 代入 y24x 得 y212，则有2 3y02 3.因为点 M 在圆上，所以(x05)2y20r2，故 r2y2044(为保证有 4 条，在 k 存在时，y00)，所以 4r216，即 2r2，即 m2n24.m29 n24 m29 4m241 536m20)交于 A，B 两点，且OA OB 3，其中 O 为坐标原点(1)求 p 的值；(2)若圆 x2y22x0 与直线 l 相交
7、于 C，D(A，C 两点均在第一象限)，且线段 AC，CD，DB 的长构成等差数列，求直线 l 的方程第21页返回导航 数学 解：(1)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线 l：xmyp2，代入抛物线方程，消去 x，得 y22pmyp20，y1y22pm，y1y2p2，由于OA OB 3，即 x1x2y1y23，x1x2y212py222pp24，即有p24 p23，解得 p2.第22页返回导航 数学(2)由(1)得，y1y24m，y1y24，则(y1y2)2(y1y2)24y1y216(1m2)，|AB|2(y1y2)2(x1x2)2(y1y2)2y21y2242(y1y2)21y1
8、y24216(1m2)2，即有|AB|4(1m2)，第23页返回导航 数学 如图，由于线段 AC，CD，DB 的长构成等差数列，则 2|CD|AC|DB|AC|BC|CD|AB|CD|，又 CD 为圆 x2y22x0 的直径，即有|CD|2，则 4(1m2)6，解得 m 22，则直线 l 的方程是 2xy 20 或2xy 20.第24页返回导航 数学 方法引航 涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系、设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解.第25页返回导航 数学 例 3(1)已知椭圆 E：x2a2y2b
9、21(ab0)的右焦点 F(3,0)，过点 F的直线交 E 于 A，B 两点若 AB 的中点坐标为(1，1)，则 E 的方程为()A.x245y2361 B.x236y2271C.x227y2181 D.x218y291第26页返回导航 数学 解：因为直线 AB 过点 F(3,0)和点(1，1)，所以直线 AB 的方程为 y12(x3)，代入椭圆方程x2a2y2b21 消去 y，得a24 b2 x232a2x94a2a2b20，所以 AB 的中点的横坐标为32a22a24 b2 1，即 a22b2，又 a2b2c2，所以 bc3，a3 2，选 D.答案：D第27页返回导航 数学(2)已知(4,
10、2)是直线 l 被椭圆x236y291 所截得的线段的中点，则 l的方程是_第28页返回导航 数学 解析：设直线 l 与椭圆相交于 A(x1，y1)，B(x2，y2)则x2136y2191，且x2236y2291，两式相减得y1y2x1x2 x1x24y1y2.又 x1x28，y1y24，所以y1y2x1x212，故直线 l 的方程为 y212(x4)，即 x2y80.答案：x2y80第29页返回导航 数学 方法引航 处理中点弦问题常用的求解方法,1点差法：即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有 x1x2，y1y2，y1y2x1x2三个未知量，这样就直接联系了中点和直
11、线的斜率，借用中点公式即可求得斜率.2根与系数的关系：即联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后由根与系数的关系求解.第30页返回导航 数学 1如图所示，在直角坐标系 xOy 中，点 P1，12 到抛物线 C：y22px(p0)的准线的距离为54.点 M(t,1)是 C上的定点，A，B 是 C 上的两动点，且线段AB 的中点 Q(m，n)在直线 OM 上(1)求曲线 C 的方程及 t 的值；(2)记 d|AB|14m2，求 d 的最大值第31页返回导航 数学 解：(1)y22px(p0)的准线 xp2，1p2 54，p12，抛物线 C 的方程为 y2x.又点 M(t,1)在曲线
12、C 上，t1.(2)由(1)知，点 M(1,1)，从而 nm，即点 Q(m，m)，依题意，直线 AB 的斜率存在，且不为 0，设直线 AB 的斜率为 k(k0)且 A(x1，y1)，B(x2，y2)，第32页返回导航 数学 由y21x1，y22x2，得(y1y2)(y1y2)x1x2，故 k2m1，所以直线 AB 的方程为 ym 12m(xm)，即 x2my2m2m0.由x2my2m2m0，y2x消去 x，整理得 y22my2m2m0，第33页返回导航 数学 所以 4m4m20，y1y22m，y1y22m2m.从而|AB|11k2|y1y2|14m2 4m4m22 14m2mm2d|AB|14
13、m22 m1mm(1m)1，当且仅当 m1m，即 m12时，上式等号成立，又 m12满足 4m4m20.d 的最大值为 1.第34页返回导航 数学 2(2017江西兴国一模)椭圆 ax2by21 与直线 y1x 交于 A，B 两点，过原点与线段 AB 中点的直线的斜率为 32，则ab的值为()A.32 B.2 33C.9 32D.2 327第35页返回导航 数学 解析：选 A.联立椭圆方程与直线方程，得 ax2b(1x)21，(ab)x22bxb10.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1x2 2bab，y1 y2 1 x1 1 x2 2 2bab 2aab，AB 中 点 坐 标 为
14、bab，aab，AB 中点与原点连线的斜率aabbabab 32，故选 A.第36页返回导航 数学 3椭圆x22y21 的弦被点12，12 平分，则这条弦所在的直线方程是_第37页返回导航 数学 解析：设弦的两个端点为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1x21，y1y21.A，B 在椭圆上，x212y211，x222 y221，两式相减得，x1x2x1x22(y1y2)(y1y2)0，即y1y2x1x2 x1x22y1y212，第38页返回导航 数学 即直线 AB 的斜率为12.直线 AB 的方程为 y1212x12，即 2x4y30.答案：2x4y30第39页返回导航 数学 考点三
15、 定点、定值问题命题点1.求证(探索)量的定值问题2.求(直线)曲线过定点问题第40页返回导航 数学 例 4(1)(2016高考北京卷)已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的离心率为 32，A(a,0)，B(0，b)，O(0,0)，OAB 的面积为 1.求椭圆 C 的方程；设 P 是椭圆 C 上一点，直线 PA 与 y 轴交于点 M，直线 PB 与 x轴交于点 N.求证：|AN|BM|为定值第41页返回导航 数学 解：由题意得 ca 32，12ab1，a2b2c2，解得 a2，b1.所以椭圆 C 的方程为x24y21.证明：由知，A(2,0)，B(0,1)设 P(x0，y0)，则 x20
16、4y204.第42页返回导航 数学 当 x00 时，直线 PA 的方程为 y y0 x02(x2)令 x0，得 yM 2y0 x02，从而|BM|1yM|1 2y0 x02|.直线 PB 的方程为 yy01x0 x1.令 y0，得 xN x0y01，从而|AN|2xN|2 x0y01|.所以|AN|BM|2 x0y01 1 2y0 x02第43页返回导航 数学 x204y204x0y04x08y04x0y0 x02y024x0y04x08y08x0y0 x02y024.当 x00 时，y01，|BM|2，|AN|2，所以|AN|BM|4.综上，|AN|BM|为定值第44页返回导航 数学 方法引
17、航 求定值问题常见的方法有两种 从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关.直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.第45页返回导航 数学 1如图，椭圆 E：x2a2y2b21(ab0)的离心率是 22，点 P(0,1)在短轴 CD 上，且PCPD 1.(1)求椭圆 E 的方程；(2)设 O 为坐标原点，过点 P 的动直线与椭圆交于 A，B 两点，是否存在常数，使得OA OB PAPB为定值？若存在，求 的值；若不存在，请说明理由第46页返回导航 数学 解：(1)由已知，点 C，D 的坐标分别为(0，b)，(0，b)又点 P 的坐标为(0,1)，且PCPD 1，于是1b2
18、1，ca 22，a2b2c2，解得 a2，b 2.所以椭圆 E 的方程为x24y221.第47页返回导航 数学(2)当直线 AB 的斜率存在时，设直线 AB 的方程为 ykx1，点 A，B 的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)联立x24y221，ykx1，得(2k21)x24kx20.其判别式(4k)28(2k21)0，所以，x1x24k2k21，x1x222k21.第48页返回导航 数学 从而，OA OB PAPBx1x2y1y2x1x2(y11)(y21)(1)(1k2)x1x2k(x1x2)124k2212k21 12k212，所以，当 1 时，12k2123.第49页返回导航 数
19、学 此时，OA OB PAPB3 为定值当直线 AB 的斜率不存在时，直线 AB 即直线 CD.此时，OA OB PAPBOC OD PCPD 213.故存在常数 1，使得OA OB PAPB为定值3.第50页返回导航 数学 2已知抛物线 C：y22px(p0)的焦点为 F(1,0)，O 为坐标原点，A，B 是抛物线 C 上异于 O 的两点(1)求抛物线 C 的方程；(2)若直线 OA，OB 的斜率之积为12，求证：直线 AB 过 x 轴上一定点第51页返回导航 数学 解：(1)因为抛物线 y22px(p0)的焦点坐标为(1,0)，所以p21，所以 p2.所以抛物线 C 的方程为 y24x.(
20、2)证明：当直线 AB 的斜率不存在时，设 At24，t，Bt24，t.因为直线 OA，OB 的斜率之积为12，第52页返回导航 数学 所以 tt24tt2412，化简得 t232.所以 A(8，t)，B(8，t)，此时直线 AB 的方程为 x8.当直线 AB 的斜率存在时，设其方程为 ykxb，A(xA，yA)，B(xB，yB)，联立得y24x，ykxb，化简得 ky24y4b0.根据根与系数的关系得 yAyB4bk，因为直线 OA，OB 的斜率之积为12，第53页返回导航 数学 所以yAxAyBxB12，即 xAxB2yAyB0.即y2A4 y2B4 2yAyB0，解得 yAyB0(舍去)
21、或 yAyB32.所以 yAyB4bk 32，即 b8k，所以 ykx8k，即 yk(x8)综上所述，直线 AB 过 x 轴上一定点(8,0)第54页返回导航 数学 3(2017湖南长沙一中月考)已知圆 A：x2(y1)21，圆 B：(x4)2(y3)21.(1)过 A 的直线 l 被圆 B 所截得的弦长为65，求直线 l 的斜率；(2)动圆 P 同时平分圆 A 与圆 B 的周长求动圆圆心 P 的轨迹方程；问动圆 P 是否过定点？若经过，则求出定点坐标；若不经过，请说明理由第55页返回导航 数学 解：(1)设直线 l 的方程为 ykx1，由题意可得圆心 B(4,3)到直线 l 的距离为|4k3
22、1|k21 1352，化简得 12k225k120，解得 k43或34.第56页返回导航 数学(2)由题意得 PAPB，则 P 在 AB 的中垂线上，所以动圆圆心 P的轨迹方程为 xy30.过定点设 P(m,3m)，P 的半径为 r，则 r2PA212m2(3m1)21，故圆 P 的方程为(xm)2y(m3)2m2(3m1)21，化简得 x2y26y82m(xy1)0，由x2y26y80，xy10，得两个定点为23 22，13 22，23 22，13 22.第57页返回导航 数学 考点四 存在性与范围问题命题点1.探索几何元素的存在性2.探索结论的存在性3.求范围问题第58页返回导航 数学 例
23、 5 已知椭圆 C：9x2y2m2(m0)，直线 l 不过原点 O 且不平行于坐标轴，l 与 C 有两个交点 A，B，线段 AB 的中点为 M.(1)证明：直线 OM 的斜率与 l 的斜率的乘积为定值；(2)若 l 过点m3，m，延长线段 OM 与 C 交于点 P，四边形 OAPB能否为平行四边形？若能，求此时 l 的斜率；若不能，说明理由第59页返回导航 数学 解：(1)证明：设直线 l：ykxb(k0，b0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)将 ykxb 代入 9x2y2m2，得(k29)x22kbxb2m20，故 xMx1x22 kbk29，yMkxMb 9bk29.
24、于是直线 OM 的斜率 kOMyMxM9k，即 kOMk9.所以直线 OM 的斜率与 l 的斜率的乘积为定值第60页返回导航 数学(2)四边形 OAPB 能为平行四边形因为直线 l 过点m3，m，所以 l 不过原点且与 C 有两个交点的充要条件是 k0，k3.由(1)得 OM 的方程为 y9kx.设点 P 的横坐标为 xP.由y9kx，9x2y2m2，得 x2P k2m29k281，即 xPkm3 k29.第61页返回导航 数学 将点m3，m 的坐标代入直线 l 的方程得bm3k3，因此 xMkk3m3k29.四边形 OAPB 为平行四边形，当且仅当线段 AB 与线段 OP 互相平分，即 xP
25、2xM.于是km3 k292kk3m3k29，解得第62页返回导航 数学 k14 7，k24 7.因为 ki0，ki3，i1,2，所以当直线 l 的斜率为 4 7或 4 7时，四边形 OAPB 为平行四边形第63页返回导航 数学 方法引航 存在性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在.1当条件和结论不唯一时要分类讨论.2当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件.3当条件和结论都不知，按常规方法解题很难时，要思维开放，采取另外的途径.第64页返回导航 数学 例 6(2017河南洛阳统考)已知椭圆的中心是坐标原点 O，焦点在 x 轴上，离心率为
26、 22，坐标原点 O 到过右焦点 F 且斜率为 1 的直线的距离为 22.(1)求椭圆的标准方程；(2)设过右焦点 F 且与坐标轴不垂直的直线 l 交椭圆于 P，Q 两点，在线段 OF 上是否存在点 M(m,0)，使得|MP|MQ|？若存在，求出 m 的取值范围；若不存在，请说明理由第65页返回导航 数学 解：(1)设椭圆的方程为x2a2y2b21(ab0)，F(c,0)(c0)，由坐标原点 O 到直线 xyc0 的距离为 22，得|00c|2 22，解得 c1.又 eca 22，故 a 2，b1.所求椭圆的标准方程为x22y21.第66页返回导航 数学(2)假设存在点 M(m,0)(0m1)
27、满足条件，则以 MP，MQ 为邻边的平行四边形是菱形直线 l 与 x 轴不垂直，设直线 l 的方程为 yk(x1)(k0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)由x22y22ykx1 得(12k2)x24k2x2k220，0 恒成立，x1x2 4k212k2，x1x22k2212k2.设线段 PQ 的中点为 N(x0，y0)，第67页返回导航 数学 则 x0 x1x22 2k212k2，y0k(x01)k12k2.|MP|MQ|，MNPQ，kMNkPQ1，即k12k22k212k2mk1，mk212k2121k2.k20，0m12.第68页返回导航 数学 方法引航 圆锥曲线中最值问题的解决方法一
28、般分两种：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值.第69页返回导航 数学 1已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的离心率为 22，点 P(0,1)和点A(m，n)(m0)都在椭圆 C 上，直线 PA 交 x 轴于点 M.(1)求椭圆 C 的方程，并求点 M 的坐标(用 m，n 表示)；(2)设 O 为原点，点 B 与点 A 关于 x 轴对称，直线 PB 交 x 轴于点N.问：y 轴上是否存在点 Q，使得OQMONQ？若存在，求点 Q 的
29、坐标；若不存在，说明理由第70页返回导航 数学 解：(1)由题意得b1，ca 22，a2b2c2，解得 a22.故椭圆 C 的方程为x22y21.设 M(xM,0)因为 m0，所以1n1，第71页返回导航 数学 直线 PA 的方程为 y1n1m x.所以 xM m1n，即 Mm1n，0.(2)因为点 B 与点 A 关于 x 轴对称，所以 B(m，n)设 N(xN,0)，则 xN m1n.“存在点 Q(0，yQ)使得OQMONQ”等价于“存在点 Q(0，yQ)使得|OM|OQ|OQ|ON|”，第72页返回导航 数学 即 yQ 满足 y2Q|xM|xN|.因为 xM m1n，xN m1n，m22
30、n21，所以 y2Q|xM|xN|m21n22.所以 yQ 2或 yQ 2.故在 y 轴上存在点 Q，使得OQMONQ，且点 Q 的坐标为(0，2)或(0，2)第73页返回导航 数学 2(2017贵州贵阳检测)已知椭圆 C：y2a2x2b21(ab0)的离心率为 63，且椭圆 C 上的点到一个焦点的距离的最小值为 3 2.(1)求椭圆 C 的方程；(2)已知过点 T(0,2)的直线 l 与椭圆 C 交于 A、B 两点，若在 x 轴上存在一点 E，使AEB90，求直线 l 的斜率 k 的取值范围第74页返回导航 数学 解：(1)设椭圆的半焦距长为 c，则由题设有：ca 63ac 3 2，解得：a
31、 3，c 2，b21，故椭圆 C 的方程为y23x21.第75页返回导航 数学(2)由已知可得，以 AB 为直径的圆与 x 轴有公共点设 A(x1，y1)、B(x2，y2)，AB 中点为 M(x0，y0)，将直线 l：ykx2 代入y23x21，得(3k2)x24kx10，12k212，x0 x1x22 2k3k2，y0kx0263k2，第76页返回导航 数学|AB|1k212k2123k22 3k413k2，12k212063k212|AB|，解得：k413，即 k4 13或 k4 13.第77页返回导航 数学 易错警示相交与相切的争执同样只有一个交点典例 已知点 A(0,2)和双曲线 x2
32、y241，过点 A 与双曲线只有一个交点的直线的条数为()A1 B2C3 D4第78页返回导航 数学 正解 设过点 A(0,2)的直线为 ykx2.由 ykx2x2y241得(4k2)x24kx80，当 k24 即 k2 时，方程只有一解，即直线与双曲线只有一个交点当 k24，方程有一解时，(4k)24(4k2)(8)0.k28，k2 2，为切线的斜率共有 4 条直线答案 D第79页返回导航 数学 易误 得出方程(4k2)x24kx80 后，不考虑 k24，直接由0，得 k2 2.从而错选 B.警示 直线与双曲线只有一个交点时，该直线可与双曲线相切(0)，也可与其渐近线平行，故一个交点不一定是
33、相切关系，注意数形结合法的应用第80页返回导航 数学 第81页返回导航 数学 高考真题体验1(2014高考课标全国卷)设 F 为抛物线 C：y23x 的焦点，过F 且倾斜角为 30的直线交 C 于 A，B 两点，O 为坐标原点，则OAB 的面积为()A.3 34 B.9 38C.6332D.94第82页返回导航 数学 解析：选 D.易知直线 AB 的方程为 y 33 x34，与 y23x 联立并消去 x 得 4y212 3y90.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 y1y23 3，y1y294.SOAB12|OF|y1y2|1234 y1y224y1y238 27994.故选 D.第8
34、3页返回导航 数学 2(2013高考课标全国卷)已知椭圆 E：x2a2y2b21(ab0)的右焦点为 F(3,0)，过点 F 的直线交 E 于 A，B 两点若 AB 的中点坐标为(1，1)，则 E 的方程为()A.x245y2361 B.x236y2271C.x227y2181 D.x218y291第84页返回导航 数学 解析：选 D.直线 AB 的斜率 k013112，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x21a2y21b21，x22a2y22b21，得y1y2x1x2b2a2x1x2y1y2.第85页返回导航 数学 则 kb2a2 22，b2a212.又 a2b2c29，由得 a21
35、8，b29.所以椭圆 E 的方程为x218y291，故选 D.第86页返回导航 数学 3(2015高考湖南卷)已知抛物线 C1：x24y 的焦点 F 也是椭圆C2：y2a2x2b21(ab0)的一个焦点，C1 与 C2 的公共弦的长为 2 6.过点 F 的直线 l 与 C1 相交于 A，B 两点，与 C2 相交于 C，D 两点，且AC与BD 同向(1)求 C2 的方程；(2)若|AC|BD|，求直线 l 的斜率第87页返回导航 数学 解：(1)由 C1：x24y 知其焦点 F 的坐标为(0,1)因为 F 也是椭圆C2 的一个焦点，所以 a2b21.又 C1 与 C2 的公共弦的长为 2 6，C
36、1 与 C2 都关于 y 轴对称，且 C1的方程为 x24y，由此易知 C1 与 C2 的公共点的坐标为 6，32，所以 94a2 6b21.联立，得 a29，b28.故 C2 的方程为y29x281.第88页返回导航 数学(2)如图，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)因AC与BD 同向，且|AC|BD|，所以ACBD，从而 x3x1x4x2，即 x1x2x3x4，于是(x1x2)24x1x2(x3x4)24x3x4.设直线 l 的斜率为 k，则 l 的方程为ykx1.第89页返回导航 数学 由ykx1，x24y，得 x24kx40.而 x1，x2 是方
37、程的两根，所以 x1x24k，x1x24.由ykx1，x28y291，得(98k2)x216kx640.而 x3，x4 是此方程的两根，第90页返回导航 数学 所以 x3x4 16k98k2，x3x46498k2.将代入，得 16(k21)162k298k2246498k2，即 16(k21)1629k2198k22，所以(98k2)2169，解得 k 64，即直线 l 的斜率为 64.第91页返回导航 数学 4(2016高考北京卷)已知椭圆 C：x2a2y2b21 过 A(2,0)，B(0,1)两点(1)求椭圆 C 的方程及离心率；(2)设 P 为第三象限内一点且在椭圆 C 上，直线 PA
38、与 y 轴交于点M，直线 PB 与 x 轴交于点 N.求证：四边形 ABNM 的面积为定值第92页返回导航 数学 解：(1)由题意得，a2，b1.所以椭圆 C 的方程为x24y21.又 c a2b2 3，所以离心率 eca 32.(2)证明：设 P(x0，y0)(x00，y00)，则 x204y204.又 A(2,0)，B(0,1)，所以，直线 PA 的方程为 y y0 x02(x2)第93页返回导航 数学 令 x0，得 yM 2y0 x02，从而|BM|1yM1 2y0 x02.直线 PB 的方程为 yy01x0 x1.令 y0，得 xN x0y01，从而|AN|2xN2 x0y01.所以四边形 ABNM 的面积第94页返回导航 数学 S12|AN|BM|122 x0y01 1 2y0 x02x204y204x0y04x08y042x0y0 x02y022x0y02x04y04x0y0 x02y02 2.从而四边形 ABNM 的面积为定值第95页返回导航 数学 课时规范训练