1、1已知等差数列an的首项a11，公差d0，且第2项、第5项、第14项分别是等比数列bn的第2项、第3项、第4项(1)求数列an、bn的通项公式；(2)设数列cn对nN，均有an1成立，求c1c2c2 012.解：(1)由已知有a21d，a514d，a14113d，(14d)2(1d)(113d)，解得d0或d2，又d0，d2.an1(n1)22n1.又b2a23，b3a59，等比数列bn的公比q3.bnb2qn233n23n1.(2)由an1，得当n2时，an，得n2时，an1an2，cn2bn23n1(n2)而n1时，a2，c1c2c2 0123231232232 01133332 0113
2、2 011.2(2014山东济南三模)已知等比数列an的前n项和为Sn，且满足Sn3nk.(1)求k的值及数列an的通项公式；(2)若数列bn满足(4k)anbn，求数列bn的前n项和Tn.解：(1)当n2时，由anSnSn13nk3n1k23n1.因为an是等比数列，所以a12，an23n1.a1S13k2，所以k1.(2)由(4k)anbn，可得bn，bn，Tn.Tn，Tn，Tn.3(2014吉林长春模拟)已知函数f(x)满足axf(x)bf(x)(ab0)，f(1)2且f(x2)f(2x)对定义域中任意x都成立(1)求函数f(x)的解析式；(2)若正项数列an的前n项和为Sn，满足Sn2
3、.求证：数列an是等差数列；(3)若bn，数列bn的前n项和为Tn，求Tn.解：(1)由axf(x)bf(x)(ab0)，得f(x)(ax1)b.若ax10，则b0，不合题意，故ax10，f(x).由f(1)2，得2a2b.由f(x2)f(2x)对定义域中任意x都成立，得，由此解得a.把代入，可得b1.f(x)(x2)(2)证明：f(an)，Sn2，Sn(an1)2，a1(a11)2，a11；当n2时，Sn1(an11)2，anSnSn1(aa2an2an1)，得(anan1)(anan12)0.an0，anan120，即anan12，数列an是等差数列(3)数列an是首项为1，公差为2的等差
4、数列，通项公式为an2n1.bn.Tn，同边同乘以，得Tn，得Tn，Tn22，Tn3.4(2012高考大纲全国卷)函数f(x)x22x3.定义数列xn如下：x12，xn1是过两点P(4,5)、Qn(xn，f(xn)的直线PQn与x轴交点的横坐标(1)证明：2xnxn13；(2)求数列xn的通项公式解：(1)用数学归纳法证明：2xnxn13.()当n1时，x12，直线PQ1的方程为y5(x4)，令y0，解得x2，所以2x1x23.()假设当nk时，结论成立，即2xkxk13.直线PQk1的方程为y5(x4)，令y0，解得xk2.由归纳假设知xk2443；xk2xk10，即xk1xk2.所以2xk
5、1xk23，即当nk1时，结论成立由()、()知对任意的正整数n,2xnxn13.(2)证明：由(1)及题意得xn1.设bnxn3，则1，5，数列是首项为，公比为5的等比数列因此5n1，即bn，所以数列xn的通项公式为xn3.5已知数列an中，a11，an1c.(1)设c，bn，求数列bn的通项公式；(2)求使不等式anan13成立的c的取值范围解：(1)an122，2，即bn14bn2.所以bn14.又a11，故b11，所以是首项为，公比为4的等比数列，bn4n1，即bn.(2)a11，a2c1，由a2a1，得c2.用数学归纳法证明：当c2时，anan1.当n1时，a2ca1，命题成立；假设当nk时，akak1，则当nk1时，ak2ccak1.故由，知当c2时，anan1.当c2时，因为can1an，所以acan10有解所以an.所以令a，当2c时，a在上单调递增，所以ana3；当c时，a3，且1ana，a，所以ca.又can1，所以aan1，所以aan1(aan)又ana3，所以aan1(aan)(aan)(aan1)(aan2)(aa2)(a1)所以当nlog3时，aan1a3，所以an13，与已知矛盾所以c不符合要求故c的取值范围是.