1、2016年安徽省合肥市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1若集合为自然数集，则下列选项正确的是（）AMx|x1BMx|x2CMN=0DMN=N2若i是虚数单位，复数z满足（1i）z=1，则|2z3|=（）ABCD3已知等差数列an的前n项和为Sn，a9=1，S18=0，当Sn取最大值时n的值为（）A7B8C9D104若a，b都是正数，则的最小值为（）A7B8C9D105已知抛物线y2=2px（p0）上一点M到焦点F的距离等于2p，则直线MF的斜率为（）ABC1D6点G为ABC的重心，设=， =，则=
2、（）A BC2D27由棱锥和棱柱组成的几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A14BC22D8执行下面的程序框图，则输出的n的值为（）A10B11C1024D20489在三棱锥PABC中，PA平面ABC，则三棱锥PABC的外接球的表面积为（）A20B24C28D3210已知实数x，y满足，若z=kxy的最小值为5，则实数k的值为（）A3B3或5C3或5D311某校组织由5名学生参加的演讲比赛，采用抽签法决定演讲顺序，在“学生A和B都不是第一个出场，B不是最后一个出场”的前提下，学生C第一个出场的概率为（）ABCD12定义在R上的偶函数f（x）的导函数为f（x），若对任意的实数x，都有2
3、f（x）+xf（x）2恒成立，则使x2f（x）f（1）x21成立的实数x的取值范围为（）Ax|x1B（，1）（1，+）C（1，1）D（1，0）（0，1）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13命题“”的否定是_14双曲线的左，右焦点分别为F1，F2，记|F1F2|=2c，以坐标原点O为圆心，c为半径的圆与双曲线M在第一象限的交点为P，若|PF1|=c+2，则P点的横坐标为_15已知各项均为正数的数列an前n项和为Sn，若，则an=_16若函数f（x）=x2（x2）2a|x1|+a有4个零点，则a的取值范围为_三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或
4、演算步骤.）17在ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知函数为偶函数，（1）求b；（2）若a=3，求ABC的面积S18某品牌手机厂商推出新款的旗舰机型，并在某地区跟踪调查得到这款手机上市时间（x个月）和市场占有率（y%）的几组相关对应数据；x12345y0.020.050.10.150.18（1）根据上表中的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程；（2）根据上述回归方程，分析该款旗舰机型市场占有率的变化趋势，并预测自上市起经过多少个月，该款旗舰机型市场占有率能超过0.5%（精确到月）附：19如图，六面体ABCDHEFG中，四边形ABCD为菱形，AE，BF，CG，DH都
5、垂直于平面ABCD，若DA=DH=DB=4，AE=CG=3（1）求证：EGDF；（2）求BE与平面EFGH所成角的正弦值20已知椭圆经过点，且离心率为，F1，F2是椭圆E的左，右焦点（1）求椭圆E的方程；（2）若点A，B是椭圆E上关于y轴对称两点（A，B不是长轴的端点），点P是椭圆E上异于A，B的一点，且直线PA，PB分别交y轴于点M，N，求证：直线MF1与直线NF2的交点G在定圆上21已知函数g（x）=ax3+x2+x（a为实数）（1）试讨论函数g（x）的单调性；（2）若对x（0，+）恒有，求实数a的取值范围请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22如图
6、，PA为四边形ABCD外接圆的切线，CB的延长线交PA于点P，AC与BD相交于点M，PABD（1）求证：ACB=ACD；（2）若PA=3，PC=6，AM=1，求AB的长23在直角坐标系xOy中，曲线（为参数），在以O为极点，x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线l：sin+cos=m（1）若m=0，判断直线l与曲线C的位置关系；（2）若曲线C上存在点P到直线l的距离为，求实数m的取值范围24已知函数f（x）=|x4|+|xa|（aR）的最小值为a（1）求实数a的值；（2）解不等式f（x）52016年安徽省合肥市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分
7、，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1若集合为自然数集，则下列选项正确的是（）AMx|x1BMx|x2CMN=0DMN=N【考点】集合的包含关系判断及应用【分析】解分式不等式求出集合M，进而逐一分析四个答案的正误，可得结论【解答】解：=2，1），N为自然数集，故Mx|x1错误；Mx|x2错误；MN=0正确；MN=N错误；故选：C2若i是虚数单位，复数z满足（1i）z=1，则|2z3|=（）ABCD【考点】复数求模【分析】设z=a+bi，得到（a+b）+（ba）i=1，根据对应的系数相等得到a+b=1，ab=0，求出a，b的值，求出复数的模即可【解答】解：设z=a+b
8、i，则（1i）z=（1i）（a+bi）=1，（a+b）+（ba）i=1，a+b=1，ab=0，a=b=，则|2z3|=|2（+i）3|=|2+i|=，故选：B3已知等差数列an的前n项和为Sn，a9=1，S18=0，当Sn取最大值时n的值为（）A7B8C9D10【考点】等差数列的前n项和【分析】利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出【解答】解：设等差数列an的公差为d，a9=1，S18=0，a1+8d=1，18a1+d=0，可得：a1=17，d=2an=172（n1）=192n，由an0，解得，当Sn取最大值时n的值为9故选：C4若a，b都是正数，则的最小值为（）A7B8C9D10【考
9、点】基本不等式【分析】利用基本不等式的性质即可得出【解答】解：a，b都是正数，则=5+5+2=9，当且仅当b=2a0时取等号故选：C5已知抛物线y2=2px（p0）上一点M到焦点F的距离等于2p，则直线MF的斜率为（）ABC1D【考点】抛物线的简单性质【分析】根据抛物线的性质可求出M的横坐标，带诶抛物线方程解出M的纵坐标，代入斜率公式计算斜率【解答】解：抛物线的焦点为F（，0），准线方程为x=点M到焦点F的距离等于2p，M到准线x=的距离等于2pxM=，代入抛物线方程解得yM=pkMF=故选：D6点G为ABC的重心，设=， =，则=（）A BC2D2【考点】向量的三角形法则【分析】由题意作图辅
10、助，从而利用线性运算求解即可【解答】解：由题意知，+=，即+=，故=2=2，故选C7由棱锥和棱柱组成的几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A14BC22D【考点】由三视图求面积、体积【分析】利用三棱柱与三棱锥的体积计算公式即可得出【解答】解：由三视图可知：该几何体的体积V=4+2=14故选：A8执行下面的程序框图，则输出的n的值为（）A10B11C1024D2048【考点】程序框图【分析】先要通读程序框图，看到程序中有循环结构，然后代入初值，看是否进入循环体，是就执行循环体，写清每次循环的结果；不是就退出循环，看清要输出的是何值【解答】解：模拟执行程序框图，可得n=1，S=1满足条件
11、S2016，n=2，S=1+2=3满足条件S2016，n=4，S=3+4=7满足条件S2016，n=8，S=7+8=15满足条件S2016，n=16，S=15+16=31满足条件S2016，n=32，S=31+32=63满足条件S2016，n=64，S=63+64=127满足条件S2016，n=128，S=127+128=255满足条件S2016，n=256，S=255+256=511满足条件S2016，n=512，S=511+512=1023满足条件S2016，n=1024，S=1023+1024=2047不满足条件S2016，退出循环，输出n的值为1024故选：C9在三棱锥PABC中，PA
12、平面ABC，则三棱锥PABC的外接球的表面积为（）A20B24C28D32【考点】球的体积和表面积【分析】求出BC，可得ABC外接圆的半径，从而可求该三棱锥的外接球的半径，即可求出三棱锥PABC的外接球的表面积【解答】解：AB=AC=2，BAC=60，由余弦定理可得BC=2，设ABC外接圆的半径为r，则2r=4，r=2，设球心到平面ABC的距离为d，则由勾股定理可得R2=d2+22=22+（2d）2，d=1，R2=5，三棱锥PABC的外接球的表面积为4R2=20故选：A10已知实数x，y满足，若z=kxy的最小值为5，则实数k的值为（）A3B3或5C3或5D3【考点】简单线性规划【分析】由约束
13、条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，分k0和k0讨论得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（1，2），联立，解得B（2，1），化z=kxy为y=kxz，由图可知，当k0时，直线过A时在y轴上的截距最大，z有最小值为k2=5，即k=3；当k0时，直线过B时在y轴上的截距最大，z有最小值2k+1=5，即k=3综上，实数k的值为3故选：D11某校组织由5名学生参加的演讲比赛，采用抽签法决定演讲顺序，在“学生A和B都不是第一个出场，B不是最后一个出场”的前提下，学生C第一个出场的概率为（）ABCD【考点】古典概型及其概率计
14、算公式【分析】方法一：由题意，“学生A和B都不是第一个出场，B不是最后一个出场”的出场顺序为：分为两类，求取种数，再满足其前提下，学生C第一个出场顺序也为两类，再根据概率公式计算即可，方法二：直接根据分步计数原理，可得，再根据概率公式计算即可【解答】解：方法一：“学生A和B都不是第一个出场，B不是最后一个出场”的出场顺序为：分为两类第一类：A最后一个出场，从除了B之外的3人选1人安排第一个，其它的任意排，故有A31A33=18种，第二类：A不是最后一个出场，从除了A，B之外的3人选2人安排在，第一个或最后一个，其余3人任意排，故有A32A33=36种，故学生A和B都不是第一个出场，B不是最后一
15、个出场的种数18+36=54种，“学生A和B都不是第一个出场，B不是最后一个出场”的前提下，学生C第一个出场的”的出场顺序为：分为两类第一类：学生C第一个出场，A最后一个出场，故有A33=6种，第二类：学生C第一个出场，A不是最后一个出场，从除了A，B之外的2人选1人安排在最后一个，其余3人任意排，故有A21A33=12种，故在“学生A和B都不是第一个出场，B不是最后一个出场”的前提下，学生C第一个出场的种数6+12=18种，故学生C第一个出场的概率为=，方法二：先排B，有A31（非第一与最后），再排A有A31（非第一）种方法，其余三个自由排，共有A31A31A33=54这是总结果；学生C第一
16、个出场，先排B，有A31（非第一与最后），再排A有A31，C第一个出场，剩余2人自由排，故有A31A31A22=18种，故学生C第一个出场的概率为=，故选：A12定义在R上的偶函数f（x）的导函数为f（x），若对任意的实数x，都有2f（x）+xf（x）2恒成立，则使x2f（x）f（1）x21成立的实数x的取值范围为（）Ax|x1B（，1）（1，+）C（1，1）D（1，0）（0，1）【考点】利用导数研究函数的单调性【分析】根据已知构造合适的函数，对函数求导，根据函数的单调性，求出函数的取值范围，并根据偶函数的性质的对称性，求出x0的取值范围【解答】解：当x0时，由2f（x）+xf（x）20可知：
17、两边同乘以x得：2xf（x）x2f（x）2x0设：g（x）=x2f（x）x2则g（x）=2xf（x）+x2f（x）2x0，恒成立：g（x）在（0，+）单调递减，由x2f（x）f（1）x21x2f（x）x2f（1）1即g（x）g（1）即x1；当x0时，函数是偶函数，同理得：x1综上可知：实数x的取值范围为（，1）（1，+），故选：B二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13命题“”的否定是【考点】命题的否定【分析】利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“”的否定是：故答案为：14双曲线的左，右焦点分别为F1，F2，记|F1F2
18、|=2c，以坐标原点O为圆心，c为半径的圆与双曲线M在第一象限的交点为P，若|PF1|=c+2，则P点的横坐标为【考点】双曲线的简单性质【分析】求得圆O的方程，联立双曲线的方程，求得P的横坐标，再由双曲线的定义，和直角三角形的勾股定理，可得c，b，化简整理可得所求横坐标的值【解答】解：坐标原点O为圆心，c为半径的圆的方程为x2+y2=c2，由，解得x2=，由|PF1|=c+2，由双曲线的定义可得|PF2|=|PF1|2a=c+22=c，在直角三角形PF1F2中，可得c2+（c+2）2=4c2，解得c=1+，由c2=a2+b2=1+b2，可得b2=3+2，可得P的横坐标为=故答案为：15已知各项
19、均为正数的数列an前n项和为Sn，若，则an=【考点】数列递推式【分析】把已知数列递推式变形，可得（n2），即数列an从第二项起构成以2为公比的等比数列，再由等比数列的通项公式求得答案【解答】解：由S1=2，得a1=S1=2，由，得，又an0，2Sn=Sn+an+1，即Sn=an+1，当n2时，Sn1=an，两式作差得：an=an+1an，即，又由，求得a2=2，当n2时，验证n=1时不成立，故答案为：16若函数f（x）=x2（x2）2a|x1|+a有4个零点，则a的取值范围为（1，0）（0，+）【考点】根的存在性及根的个数判断；函数的图象【分析】利用函数的零点与方程的根的关系，转化为两个函数
20、的交点问题，画出函数的图象，然后求解a的范围即可【解答】解：函数f（x）=x2（x2）2a|x1|+a有4个零点，转化为：x2（x2）2a|x1|+a=0由4个根，即y=x2（x2）2；y=a|x1|a=两个函数的图象有4个交点，在同一个直角坐标系中画出两个函数的图象，如图：当a0时，如图中蓝色的折线，函数有4个零点，可得1a0；当a0时，如图中的红色折线，此时函数有4个零点满足题意综上：a（1，0）（0，+）故答案为：（1，0）（0，+）三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17在ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知函数为偶函数
21、，（1）求b；（2）若a=3，求ABC的面积S【考点】正弦定理；三角函数的化简求值【分析】（1）利用三角函数的辅助角公式进行化简，结合三角函数是偶函数，建立方程关系进行求解即可（2）根据正弦定理先求出A，然后根据三角形的面积公式进行求解即可【解答】解：（1）在ABC中，由f（x）为偶函数可知，所以又0B，故所以（2），b=，由正弦定理得sinA=，A=或，当A=时，则C=，ABC的面积S=当时，则C=，ABC的面积S=18某品牌手机厂商推出新款的旗舰机型，并在某地区跟踪调查得到这款手机上市时间（x个月）和市场占有率（y%）的几组相关对应数据；x12345y0.020.050.10.150.18
22、（1）根据上表中的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程；（2）根据上述回归方程，分析该款旗舰机型市场占有率的变化趋势，并预测自上市起经过多少个月，该款旗舰机型市场占有率能超过0.5%（精确到月）附：【考点】线性回归方程【分析】（1）根据表中数据，计算、，求出和，写出线性回归方程；（2）根据回归方程得出上市时间与市场占有率的关系，列出不等式求出解集即可预测结果【解答】解：（1）根据表中数据，计算=（1+2+3+4+5）=3，=（0.02+0.05+0.1+0.15+0.18）=0.1；=0.042，=0.10.0423=0.026，所以线性回归方程为；（2）由上面的回归方程可知，上市时间
23、与市场占有率正相关，即上市时间每增加1个月，市场占有率都增加0.042个百分点；由，解得x13；预计上市13个月时，市场占有率能超过0.5%19如图，六面体ABCDHEFG中，四边形ABCD为菱形，AE，BF，CG，DH都垂直于平面ABCD，若DA=DH=DB=4，AE=CG=3（1）求证：EGDF；（2）求BE与平面EFGH所成角的正弦值【考点】直线与平面所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系【分析】（1）连结AC，则可证AC平面BDF，由四边形AEGC为平行四边形得出EGAC，故而EG平面BDF，于是EGDF；（2）设AC，BD交点为O，以O为原点建立空间坐标系，求出和平面EFGH的法向
24、量，则|cos|即为所求角的正弦值【解答】解：（1）连接AC，四边形ABCD为菱形，ACBD，BF平面ABCD，AC平面ABCD，ACBF，又BD平面BDF，BF平面BDF，BDBF=B，AC平面BDF，AECG，AE=CG，四边形AEGC是平行四边形，EGAC，EG平面BDF，又DF平面BDF，EGDF（2）设ACBD=O，EGHF=P，四边形ABCD为菱形，AE平面ABCD，BF平面ABCD，ADBC，AEBF，平面ADHE平面BCGF，EHFG，同理可得：EHHG，四边形EFGH为平行四边形，P为EG的中点，又O为AC的中点，OPAE，AE=OP，OP平面ABCD，又OAOB，所以OA，
25、OB，OP两两垂直，OP=（BF+DH），BF=2以O为原点建立空间直角坐标系Oxyz，ABD是等边三角形，AB=4，OA=2E（2，0，3），P（0，0，3），F（0，2，2），B（0，2，0）=（2，2，3），=（2，0，0），=（0，2，1）设平面EFGH的一个法向量为，则，令y=1，得设BE与平面EFGH所成角为，则20已知椭圆经过点，且离心率为，F1，F2是椭圆E的左，右焦点（1）求椭圆E的方程；（2）若点A，B是椭圆E上关于y轴对称两点（A，B不是长轴的端点），点P是椭圆E上异于A，B的一点，且直线PA，PB分别交y轴于点M，N，求证：直线MF1与直线NF2的交点G在定圆上【考点】
26、椭圆的简单性质【分析】（1）由椭圆经过点，且离心率为，列出方程组求出a，b，由此能求出椭圆C的方程（2）设B（x0，y0），P（x1，y1），则A（x0，y0），直线PA的方程为，从而，同理得，由此能证明直线F1M与直线F2N交于点G在以F1F2为直径的圆上【解答】解：（1）椭圆经过点，且离心率为，由条件得，解得，椭圆C的方程证明：（2）设B（x0，y0），P（x1，y1），则A（x0，y0）直线PA的方程为，令x=0，得故，同理可得，=F1MF2N，直线F1M与直线F2N交于点G在以F1F2为直径的圆上 21已知函数g（x）=ax3+x2+x（a为实数）（1）试讨论函数g（x）的单调性；（2
27、）若对x（0，+）恒有，求实数a的取值范围【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（2）令，求出函数f（x）的最小值，通过讨论a的范围，得到g（x）的单调性，求出g（x）的最大值小于f（x）的最小值，从而求出a的范围即可【解答】解：（1）g（x）=3ax2+2x+1（i）当a=0时，g（x）在单调减和单调增；（ii）当a0时，=412a，当时，g（x）=3ax2+2x+10恒成立，此时g（x）在R单调增；当时，由g（x）=3ax2+2x+1=0得，g（x）在（x1，x2）单调减，在（，x1）和（x2，
28、+）单调增；当a0时，g（x）在（x2，x1）单调增，在（，x2）和（x1，+）单调减；（2）令，则因此，f（x）在（0，1）单调减，在（1，+）单调增fmin（x）=f（1）=1当a1时，g（1）=a+21=f（1），显然，对x（0，+）不恒有f（x）g（x）；当a1时，由（1）知，g（x）在（0，x1）单调增，在（x1，+）单调减，即所以，在（0，+）上，又所以，即满足对x（0，+）恒有f（x）g（x）综上，实数a（，1请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22如图，PA为四边形ABCD外接圆的切线，CB的延长线交PA于点P，AC与BD相交于点M，PA
29、BD（1）求证：ACB=ACD；（2）若PA=3，PC=6，AM=1，求AB的长【考点】与圆有关的比例线段；相似三角形的性质【分析】（1）利用弦切角定理及平行线的性质，证明：ACB=ACD；（2）由切割线定理及AMBABC，求AB的长【解答】（1）证明：PA为切线，PAB=ACBPABD，PAB=ABD=ACD，ACB=ACD（2）解：已知PA=3，PC=6，AM=1，由切割线定理PA2=PBPC得：，PABD，得又知AMBABC，所以所以AB2=AMAC=4，所以AB=223在直角坐标系xOy中，曲线（为参数），在以O为极点，x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线l：sin+cos=m（1）
30、若m=0，判断直线l与曲线C的位置关系；（2）若曲线C上存在点P到直线l的距离为，求实数m的取值范围【考点】摆线在刻画行星运动轨道中的作用；参数方程化成普通方程【分析】（1）求出曲线C的普通方程，直线的普通方程，利用圆的到直线的距离距离与半径比较，即可得到结果（2）利用圆心到直线的距离与已知条件列出关系式，即可得到结果【解答】解：（1）曲线（为参数），曲线C的直角坐标方程为：（x1）2+（y1）2=2，是一个圆；圆心（1，1），半径为：直线l：sin+cos=0，可得直线l的直角坐标方程为：x+y=0圆心C到直线l的距离，所以直线l与圆C相切 （2）由已知可得：圆心C到直线lx+y=m的距离，解得1m524已知函数f（x）=|x4|+|xa|（aR）的最小值为a（1）求实数a的值；（2）解不等式f（x）5【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式【分析】（1）根据绝对值的几何意义求出f（x）的最小值，从而求出a的值即可；（2）求出f（x）的分段函数形式，从而求出不等式的解集即可【解答】解：（1）f（x）=|x4|+|xa|4a|=a，从而解得a=2（2）由（1）知，f（x）=|x4|+|x2|=，综合函数y=f（x）的图象知，解集为2016年9月20日
