1、第3课时等比数列及其前n项和1理解等比数列的概念2掌握等比数列的通项公式与前n项和公式3能在具体的问题情境中，识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题4了解等比数列与指数函数的关系对应学生用书P86【梳理自测】一、等比数列的概念1(教材改编)在等比数列an中，如果公比q1，那么等比数列an是()A递增数列B递减数列C常数列 D无法确定数列的增减性2(教材改编)等比数列an中，a44，则a2a6等于()A4 B8C16 D323已知an是等比数列，a22，a5，则公比q等于()A B2C2 D.答案：1.D2.C3.D以上题目主要考查了以下内容：(1)等比数列的定义如果一个数列从第2项起
2、，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示(2)等比数列的通项公式设等比数列an的首项为a1，公比为q，则它的通项ana1qn1(3)等比中项若a，G、b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项二、等比数列性质及前n项和公式1设an是公比为正数的等比数列，若a11，a516，则数列an前7项的和为()A63 B64C127 D1282(课本精选题)在等比数列an中，an0，a2a42a3a5a4a625，则a3a5的值为_答案：1.C2.5以上题目主要考查了以下内容：等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：anamqnm，(n，
3、mN*)(2)若an为等比数列，且klmn(k，l，m，nN*)，则akalaman(3)若an，bn(项数相同)是等比数列，则an(0)，a，anbn，仍是等比数列(4)公比不为1的等比数列an的前n项和为Sn，则Sn，S2nSn，S3nS2n仍成等比数列，其公比为qn等比数列的前n项和公式等比数列an的公比为q(q0)，其前n项和为Sn，(5)当q1时，Snna1；当q1时，Sn【指点迷津】1一个常数等比数列q(q0)是一个不变常数2三种防范(1)由an1qan，q0并不能立即断言an为等比数列，还要验证a10.(2)在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q1与q1分类讨论，防止因忽略
4、q1这一特殊情形导致解题失误(3)任何两个数不一定有等比中项G2ab0(a、b同号)如1、1之间无等比中项(4)两个数之间可能有一个或者两个如：2、3之间等比中项可为、(之一或之二)对应学生用书P86考向一等比数列基本量的计算(1)(2013高考全国新课标卷)等比数列an的前n项和为Sn，已知S3a210a1，a59，则a1()A.BC. D(2)(2014荆州市高三质检)设Sn是等比数列an的前n项和，S3，S9，S6成等差数列，且a2a52am，则m_【审题视点】建立关于a1和q的方程(组)求所需要的量【典例精讲】(1)设公比为q，S3a210a1，a59，解得a1，故选C.(2)设数列a
5、n的公比为q，S9S3S6S9，显然q1，q3，q，又a2a52am，则a2(1q3)2a2qm2，即(1)()，m8.【答案】(1)C(2)8【类题通法】(1)等比数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，q，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题(2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和q是等比数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法1(2014辽宁鞍山质检)数列an的前n项之和为Sn，Sn1an，则an_解析：n1时，a1S11a1，得a1，n2时，Sn1an，Sn11an1.两式相减得anan1an，即anan1，.
6、所以an是等比数列，首项为a1，公比为，所以an.答案：考向二等比数列的判定或证明(2014长安模拟)已知数列an中，a1，a2.当n2时，3an14anan1(nN*)(1)证明：an1an为等比数列；(2)求数列an的通项【审题视点】构造an1an与anan1的关系用累加法求an.【典例精讲】(1)证明：数列an中a1，a2，当n2时，3an14anan1(nN*)当n2时，3an13ananan1，即an1an(anan1)an1an是以a2a1为首项，以为公比的等比数列(2)由(1)知an1an，故anan1，an1an2，a2a1，累加得ana1，an即an1.【类题通法】等比数列的
7、判定方法：(1)定义法：若q(q为非零常数)或q(q为非零常数且n2)，则an是等比数列(2)中项公式法：若数列an中an0且aanan2(nN*)，则数列an是等比数列(3)通项公式法：若数列通项公式可写成ancqn1(c，q均为不为0的常数，nN*)，则an是等比数列(4)前n项和公式法：若数列an的前n项和Snkqnk(k为常数且k0，q0，1)，则an是等比数列2(2013湖南衡阳市六校联考)已知数列an的满足条件：a1t，an12an1.(1)判断数列an1是否为等比数列；(2)若t1，令cn，记Tnc1c2c3cn，证明：cn；Tn1.解析：(1)由题意得an112an22(an1
8、)，又a11t1，所以，当t1时，an1不是等比数列，当t1时，an1是以t1为首项，2为公比的等比数列(2)由(1)知an2n1，cn.Tnc1c2c3cn11.考向三等比数列的性质及应用(1)(2014辽宁沈阳一模)已知各项不为0的等差数列an满足2a2a2a120，数列bn是等比数列，且b7a7，则b3b11等于()A16B8C4 D2(2)(2013江西临川模拟)在等比数列中，已知a1aa15243，则的值为()A3 B9C27 D81【审题视点】利用等比数列的性质或等比中项求解【典例精讲】(1)由等差数列性质得a2a122a7，所以4a7a0，又a70，所以a74，b74，由等比数列
9、性质得b3b11b16，故选A.(2)a1aa15243，a83，又a，9.故选B.【答案】(1)A(2)B【类题通法】求解数列问题，利用其性质可使求解过程简单等比中项是数列“脚码和”性质的特例涉及到等比数列的“两项积”时，可考虑此性质的应用3(1)(2014成都模拟)已知an是等比数列，a22，a5，则a1a2a2a3anan1()A16(14n) B16(12n)C.(14n) D.(12n)解析：a22，a5，a14，q.a1a2a2a3anan1(14n)答案：C(2)已知方程(x2mx2)(x2nx2)0的四个根组成以为首项的等比数列，则的值为_解析：设a，b，c，d是方程(x2mx
10、2)(x2nx2)0的四个根，不妨设acdb，则abcd2，a，故b4，根据等比数列的性质，得到：c1，d2，则mab，ncd3，或mcd3，nab，则或.答案：或对应学生用书P87 等差、等比数列综合问题的规范答题(2013高考全国新课标)已知等差数列an的公差不为零，a125，且a1，a11，a13成等比数列(1)求an的通项公式；(2)求a1a4a7a3n2.【审题视点】(1)先设出公差d，根据已知条件求出公差，可得出通项公式；(2)所求的和构成了一个新的数列，求出该数列的首项和公差，运用数列的前n项和公式求解【思维流程】依等差数列设未知量，依等比数列建立等式关系求d，求通项判断a3n2
11、为等差数列依据公式求和【规范解答】(1)设an的公差为d，由题意得aa1a13，即(a110d)2a1(a112d)于是d(2a125d)0.又a125，所以d0(舍去)，d2.故an2n27.(2)令Sna1a4a7a3n2.由(1)知a3n26n31，故a3n2是首项为25，公差为6的等差数列从而Sn(a1a3n2)(6n56)3n228n.【规范建议】本题求等差数列an，就设等差数列中的未知量，用等比数列建立关于d的方程，分清两个使用层次在第二问中，必须指明数列a1，a4，a7，a3n2所具有的特点1(2013高考全国大纲卷)已知数列an满足3an1an0，a2，则an的前10项和等于(
12、)A6(1310)B.(1310)C3(1310) D3(1310)解析：选C.先根据等比数列的定义判断数列an是等比数列，得到首项与公比，再代入等比数列前n项和公式计算由3an1an0，得，故数列an是公比q的等比数列又a2，可得a14.所以S103(1310)2(2013高考福建卷)已知等比数列an的公比为q，记bnam(n1)1am(n1)2am(n1)m，cnam(n1)1am(n1)2am(n1)m(m，nN*)，则以下结论一定正确的是()A数列bn为等差数列，公差为qmB数列bn为等比数列，公比为q2mC数列cn为等比数列，公比为qm2D数列cn为等比数列，公比为qmm解析：选C.
13、计算出bn，cn，并结合等差、等比数列的概念判定数列的类型bna1qm(n1)a1qm(n1)1a1qm(n1)m1a1qm(n1)(1qqm1)a1qm(n1)，qm，bn是等比数列，公比为a1qm(n1)a1qm(n1)1a1qm(n1)m1aqm2(n1)，是等比数列，公比为qm2.3(2013高考北京卷)若等比数列an满足a2a420，a3a540，则公比q_；前n项和Sn_解析：设出等比数列的公比，利用已知条件建立关于公比的方程求出公比，再利用前n项和公式求Sn.设等比数列an的首项为a1，公比为q，则：由a2a420得a1q(1q2)20.由a3a540得a1q2(1q2)40.由解得q2，a12.故Sn2n12.答案：22n124(2013高考广东卷)设数列an是首项为1，公比为2的等比数列，则a1|a2|a3|a4|_解析：由首项和公比写出等比数列的前4项，然后代入代数式a1|a2|a3|a4|求值也可以构造新数列，利用其前n项和公式求解方法一：a1|a2|a3|a4|1|1(2)|1(2)2|1(2)3|15.方法二：因为a1|a2|a3|a4|a1|a2|a3|a4|，数列|an|是首项为1，公比为2的等比数列，故所求代数式的值为15.答案：15