1、第2课时等差数列及其前n项和1理解等差数列的概念2掌握等差数列的通项公式与前n项和公式3能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题4了解等差数列与一次函数的关系对应学生用书P83【梳理自测】一、等差数列的概念1在等差数列an中，已知a11，a2a314，则a4a5a6等于()A40B51C43 D452在等差数列an中，a1a24，a7a828，则数列的通项公式an为()A2n B2n1C2n1 D2n23设an为等差数列，公差d2，Sn为其前n项和，若S10S11，则a1()A18 B20C22 D244若等差数列an的前三项依次为a，2a1，4a2，则它
2、的第五项为_答案：1.B2.C3.B4.4以上题目主要考查了以下内容：(1)等差数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示，定义的表达式为an1and(2)等差中项如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项且A(3)通项公式如果等差数列an的首项为a1，公差为d，那么通项公式为ana1(n1)d，nN*(4)前n项和公式：Snna1二、等差数列的性质1如果等差数列an中，a3a4a512，那么a1a2a7等于()A14 B21C28 D352已知等差数列an的前n项和为Sn，且S10
3、10，S2030，则S30_答案：1.C2.60以上题目主要考查了以下内容：(1)通项公式的推广：anam(nm)d(n，mN*)(2)若an为等差数列，且mnpq，则amanapaq(m，n，p，qN*)(3)am，amk，am2k，am3k，仍是等差数列，公差为kd(4)数列Sm，S2mSm，S3mS2m，也是等差数列【指点迷津】1一个常数anan1d(n2且nN*)恒成立，d为常数即公差2一个中项任何两个数a与b有且只有一个等差中项A.3二个函数andn(a1d)(d0)是关于n的一次函数Snn2(a1)n(d0)是关于n的二次函数(nN*)4两种设法定义法：a，ad，a2d，；对称法：
4、，ad，a，ad，或，a3d，ad，ad，a3d，.54种方法等差数列的判断方法定义法；等差中项法；通项公式法；前n项和公式法对应学生用书P83考向一等差数列基本量的计算(1)(2014郑州市高三质检)等差数列an的前7项和等于前2项和，若a11，aka40，则k_(2)(2014石家庄市高三质检)已知等差数列an满足a23，SnSn351(n3)，Sn100，则n的值为()A8B9C10 D11【审题视点】在等差数列an的an，Sn，a1，d，n的五个量中，知其三，求其二【典例精讲】(1)设数列an的公差为d，依题意得71d2d，解得d，则aka42(k2)()0，由此解得k6.(2)由Sn
5、Sn351得，an2an1an51，所以an117，又a23，Sn100，解得n10，选择C.【答案】(1)6(2)C【类题通法】此类问题的通法是把条件转化为a1与d的方程(组)，进而可求其它问题结合性质求解，可简化计算1(2014荆州市高三调研)公差不为零的等差数列an的前n项和为Sn，若a4是a3与a7的等比中项，且S1060，则S20()A80 B160C320 D640解析：选C.设数列an的公差为d，d0，则aa3a7(a4d)(a43d)，d(a13d)，da1，S105(2a19d)10a145(a1)20a160，a13，d2，S20320.考向二等差数列的判定或证明(2014
6、江南十校联考)若数列an满足：a1，a22，3(an12anan1)2.(1)证明：数列an1an是等差数列；(2)求使成立的最小的正整数n.【审题视点】由题设条件构造(an1an)(anan1)的值，并累加求和【典例精讲】(1)证明：由3 (an12anan1)2可得an12anan1，即(an1an)(anan1)，数列an1an是以a2a1为首项，为公差的等差数列(2)由(1)知an1an(n1)(n1)，于是累加求和得：ana1(23n)n(n1)，33n5n的最小值为6.【类题通法】等差数列的判断方法(1)定义法：对于n2的任意自然数，验证anan1为同一常数；(2)等差中项法：验证
7、2an1anan2(n3，nN*)都成立；(3)通项公式法：验证anpnq；(4)前n项和公式法：验证SnAn2Bn.注：后两种方法只能用来判断是否为等差数列，而不能用来证明等差数列2已知Sn为等差数列an的前n项和，bn(nN*)求证：数列bn是等差数列证明：设等差数列an的公差为d，则Snna1n(n1)d，bna1(n1)d.法一：bn1bna1nda1(n1)d(常数)，数列bn是等差数列法二：bn1a1nd，bn2a1(n1)d，bn2bna1(n1)da1(n1)d2a1nd2bn1.数列bn是等差数列考向三等差数列的性质及应用(1)(2014辽宁省五校联考)设等差数列an的前n项
8、和为Sn，已知(a41)32 013(a41)1，(a2 0101)32 013(a2 0101)1，则下列结论中正确的是()AS2 0132 013，a2 010a4BS2 0132 013，a2 010a4CS2 0132 012，a2 010a4DS2 0132 012，a2 010a4(2)(2014武汉市高三联考)已知数列an是等差数列，a1a3a5105，a2a4a699，an的前n项和为Sn，则使得Sn达到最大的n是()A18B19C20 D21【审题视点】(1)S2 013.(2)求Sn为n的二次函数，求最值【典例精讲】(1)设f(x)x32 013x，显然f(x)为奇函数和增
9、函数，由已知得f(a41)f(a2 0101)，所以f(a41)f(a2 0101)，a41a2 0101，a4a2 0102，S2 0132 013，显然11，即f(a41)f(a2 0101)，又f(x)为增函数，故a41a2 0101，即a4a2 010.(2)a1a3a5105a335，a2a4a699a433，则an的公差d33352，a1a32d39，Snn240n，因此当Sn取得最大值时，n20.【答案】(1)A(2)C【类题通法】(1)本题的解题关键是将性质mnpqamanapaq与前n项和公式Sn结合在一起，采用整体思想，简化解题过程(2)等差数列的最值的处理方法：利用Sna
10、n2bn转化为二次函数最值时要注意n的取值若an是等差数列，求其前n项和的最值时，()若a10，d0，且满足前n项和Sn最大()若a10，d0，且满足，前n项和Sn最小3(2014深圳市高三调研)等差数列an中，已知a50，a4a70，则an的前n项和Sn的最大值为()AS7 BS6CS5 DS4解析：选C.，Sn的最大值为S5.对应学生用书P85 有关等差数列的规范答题(2013高考浙江卷)在公差为d的等差数列an中，已知a110，且a1，2a22，5a3成等比数列(1)求d，an；(2)若d0，求|a1|a2|a3|an|.【审题视点】(1)用a1，d把a2，a3表示出来，利用a1，2a2
11、2，5a3成等比数列列方程即可解出d，进而根据等差数列的通项公式写出an.(2)根据(1)及d0确定数列的通项公式，确定an的符号，以去掉绝对值符号，这需要对n的取值范围进行分类讨论【思维流程】由等差数列建立关于d的方程，求d.当n11时，an0，是原等差数列求和当n12时，是两个等差数列求和总结Sn公式【规范解答】(1)由题意得，a15a3(2a22)2，由a110，an为公差为d的等差数列得，d23d40，2分解得d1或d4.所以ann11(nN*)或an4n6(nN*).4分(2)设数列an的前n项和为Sn.因为d0，由(1)得d1，ann11，所以当n11时，|a1|a2|a3|an|
12、Snn2n；8分当n12时，|a1|a2|a3|an|Sn2S11n2n110.12分综上所述，|a1|a2|a3|an|14分【规范建议】(1)不能盲目认为|a1|，|a2|，|an|是等差数列，要分段研究(2)当n11时，是求Sn，而不是求S11.(3)讨论n11和n12后，要有总结结论1(2013高考安徽卷)设Sn为等差数列an的前n项和，S84a3，a72，则a9()A6B4C2 D2解析：选A.借助等差数列前n项和公式及通项公式的性质，计算数列的公差，进而得到a9的值由等差数列性质及前n项和公式，得S84(a3a6)4a3，所以a60.又a72，所以公差d2，所以a9a72d6.2(
13、2013高考全国新课标卷)设等差数列an的前n项和为Sn，若Sm12，Sm0，Sm13，则m()A3 B4C5 D6解析：选C.可以先求出首项和公差，再利用等差数列的求和公式和通项公式求解an是等差数列，Sm12，Sm0，amSmSm12.Sm13，am1Sm1Sm3，dam1am1.又Sm0，a12，am2(m1)12，m5.3(2013高考广东卷)在等差数列an中，已知a3a810，则3a5a7_解析：可以利用通项公式，把a3a8，3a5a7都用a1，d表示出来，进行整体代换；也可以利用anam(nm)d把a3a8，3a5a7都用a3，d表示出来，进行整体代换方法一：a3a82a19d10
14、，3a5a74a118d2(2a19d)21020.方法二：a3a82a35d10，3a5a74a310d2(2a35d)21020.答案：204(2013高考全国大纲卷)等差数列an的前n项和为Sn，已知S3a，且S1，S2，S4成等比数列，求an的通项公式解析：设an的公差为d.由S3a，得3a2a，故a20或a23.由S1，S2，S4成等比数列得，SS1S4.又S1a2d，S22a2d，S44a22d，故(2a2d)2(a2d)(4a22d)若a20，则d22d2，所以d0，此时Sn0，不合题意；若a23，则(6d)2(3d)(122d)，解得d0或d2.因此an的通项公式为an3或an2n1.