1、压轴小题组合练(B)1.已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)与直线 yx3 只有一个公共点，且椭圆的离心率为 55，则椭圆 C 的方程为()A.x216y291B.x25y241C.x29y251D.x225y2201答案 B解析 把 yx3 代入椭圆方程，得(a2b2)x26a2x9a2a2b20，由于只有一个公共点，所以 0，得 a2b29，又ca 55，所以b2a245，解得 a25，b24.所以椭圆的方程为x25y241.2.如图，在ABC 中，点 D，E 是线段 BC 上两个动点，且AD AE xAByAC，则1x4y的最小值为()A.32B.2C.52D.92答案 D解析 设
2、AD mABnAC，AEABAC，B，D，E，C 共线，mn1，1，AD AExAByAC()m AB()n AC，则 xymn2，1x4y121x4y()xy 125yx4xy 1252yx4xy 92，当且仅当 x23，y43时，等号成立.则1x4y的最小值为92，故选 D.3.在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，E 为棱 AB 上一点，且 AE1，BE3，以 E 为球心，线段EC 的长为半径的球与棱 A1D1，DD1 分别交于 F，G 两点，则AFG 的面积为()A.4 22B.3 2C.2 22D.4答案 D解析 正方体的棱长为 4，则 DE 17，EC5.作 EHA1B1 于 H
3、，则 EFEGEC5，A1F2 2，DG2 2，则 FH()2 2 2123，所以 SAFG11A D DAS四边形1A FAS1FD GSSADG164 212()42 2 24 2164 2128 24 24.4.设双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的左、右焦点分别为 F1，F2，O 为坐标原点.以 F1F2 为直径的圆与双曲线的右支交于 P 点，且以 OF2 为直径的圆与直线 PF1 相切，若|PF1|8，则双曲线的焦距等于()A.6 2B.6C.3 2D.3答案 A解析 如图，不妨设点 P 在第一象限，连接 PF2，依题意知 PF1PF2，设以 OF2 为直径的圆与直线 PF1 相
4、切于点 N，圆心为 M，连接 NM，则 NMPF1，因此RtPF1F2RtNF1M，所以|NM|PF2|F1M|F1F2|，则c2|PF2|3c22c，解得|PF2|2c3，由勾股定理可得|PF1|F1F2|2|PF2|22c22c324 2c3，所以4 2c38，得 c3 2，故双曲线的焦距为6 2.5.已知抛物线 T 的焦点为 F，准线为 l，过 F 的直线 m 与 T 交于 A，B 两点，C，D 分别为 A，B 在 l 上的射影，M 为 AB 的中点，若 m 与 l 不平行，则CMD 是()A.等腰三角形且为锐角三角形B.等腰三角形且为钝角三角形C.等腰直角三角形D.非等腰的直角三角形答
5、案 A解析 不妨设抛物线 T 的方程为 y22px(p0).点 A 在抛物线 y22px 上，F 为抛物线的焦点，C，D 分别为 A，B 在 l 上的射影，M 为 AB的中点，NM 是 M 到抛物线准线的垂线，垂足为 N，准线与 x 轴的交点为 E，如图：在CMD 中，|CN|ND|，CMD 是等腰三角形，又根据抛物线定义，|AC|AF|，|BD|BF|，CFDCFEDFEACFBDFAFCBFD.可得CFD90，又|MN|EF|，可得CMDb0)上关于长轴对称的两点，A，B 分别为椭圆的左、右顶点，设 k1，k2 分别为直线 MA，NB 的斜率，则|k14k2|的最小值为()A.2baB.3
6、baC.4baD.5ba答案 C解析 设 M(x0，y0)，N(x0，y0)，k1 y0 x0a，k2 y0 x0a，|k14k2 y0 x0a4y0 x0a y0 x0a4y0 x0a，|k14k2|y0 x0a4y0 x0a2y0 x0a4y0 x0a4y20a2x20，由题意得 y20b2a2(a2x20)，所以|k14k2|4y20a2x204b2a2a2x20a2x20 4ba.7.已知棱长为 6的正四面体 ABCD(四个面都是正三角形)，在侧棱 AB 上任取一点 P(与 A，B 都不重合)，若点 P 到平面 BCD 及平面 ACD 的距离分别为 a，b，则4a1b的最小值为()A.
7、72B.4C.92D.5答案 C解析 由题意得13aSBCD13bSACD13hSBCD，其中 SBCDSACD，h 为以BCD 为底面的正四面体 ABCD 的高.h 6223 32 6 22，ab2.4a1b12(ab)4a1b 1254ba ab 12524ba ab 92，当且仅当 a43，b23时取等号.8.已知 F 为双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的右焦点，定点 A 为双曲线虚轴的一个顶点，过 F，A的直线与双曲线的一条渐近线在 y 轴左侧的交点为 B，若FA(21)AB，则此双曲线的离心率是()A.2B.3C.2 2D.5答案 A解析 设 F(c,0)，A(0，b)，渐近线
8、方程为 ybax，则直线 AF 的方程为xcyb1，与 ybax联立可得 Bacac，bcac，FA(21)AB，(c，b)(21)acac，bcacb，c(21)acac，eca 2.9.(2018河北省衡水金卷调研)已知抛物线 x24y 的焦点为 F，双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的右焦点为 F1()c，0，过点 F，F1 的直线与抛物线在第一象限的交点为 M，且抛物线在点 M 处的切线与直线 y 3x 垂直，则 ab 的最大值为()A.32B.32C.3D.2答案 B解析 由题意可知，直线 FF1 的方程为 y1cx1，由y1cx1，x24y，得 xM22 1c2c，又由 x24
9、y，即 y12x，因此1 1c2c()3 1，即 c 3，所以 a2b23，又 a2b22ab，即 32ab，当且仅当 ab 62 时取等号，即(ab)max32.10.点 M(3,2)到抛物线 C：yax2(a0)准线的距离为 4，F 为抛物线的焦点，点 N(1,1)，当点 P在直线 l：xy2 上运动时，|PN|1|PF|的最小值为()A.32 28B.2 24C.52 28D.52 24答案 B解析 点 M(3,2)到抛物线 C：yax2(a0)准线的距离为 4，2 14a4，a18，抛物线 C：x28y，直线 l：xy2 与 x 轴交于 A(2,0)，则 FAl，且点 N，A，F 三点
10、共线，设|AP|t，则|AN|2，|AF|2 2，|PN|t22，|PF|t28，设 t221m(m 21)，则|PN|1|PF|t221t28 mm126171m17267，m 21，即 t0 时，|PN|1|PF|的最小值为2 24.11.如图，在ABC 中，ABBC 6，ABC90，点 D 为 AC 的中点，将ABD 沿 BD 折起到PBD 的位置，使 PCPD，连接 PC，得到三棱锥 PBCD，若该三棱锥的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是()A.7B.5C.3D.答案 A解析 依题意可得该三棱锥的面 PCD 是边长为 3的正三角形，且 BD平面 PCD，设三棱锥 PBDC 外接
11、球的球心为 O，PCD 外接圆的圆心为 O1，则 OO1平面 PCD，所以四边形 OO1DB 为直角梯形，由 BD 3，O1D1 及 OBOD，可得 OB 72，则外接球的半径R 72.所以该球的表面积 S 球4R27.12.已知在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，点 E 是 AB 的中点，点 F 是 B1C1 的中点，若正方体ABCDA1B1C1D1 的内切球与直线 EF 交于点 G，H，且 GH3，若点 Q 是棱 BB1 上一个动点，则 AQD1Q 的最小值为()A.6B.3 10C.62 2D.61 2答案 C解析 设正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱长为 a，内切球球心为 O，
12、由题意可得内切球半径 ra2.OEOF 22 a，EF EB2BB21B1F2 62 a，取 EF 中点 P，则 OP OE2EP2 24 a，所以 cosPOGOPOG24 aa2 22，所以GOH2，OGa2 32，a3 2，把平面 DD1B1B 与平面 AA1B1B 展成一个平面，则 A，Q，D1 共线时 AQD1Q 最小，最小值为D1A()2aa 2a2()63 2 2()3 2 262 2.13.(2018天津滨海新区联考)已知正实数 a，b 满足 2ab，且 ab12，则4a2b212ab的最小值为_.答案 2 3解析 由题意得 2ab0，4a2b212ab4a2b24ab32ab
13、2ab232ab(2ab)32ab2 3，当且仅当 2ab32ab，即 b 7 32时等号成立.14.如图，在ABC 中，已知BD 12DC，P 为 AD 上一点，且满足CPmCA49CB，若ABC的面积为 3，ACB3，则|CP 的最小值为_.答案 43解析 设APAD，则CPCAAD CA()CD CA(1)CA23CB.由平面向量基本定理可得1m，4923，解得 m13，CP13CA49CB，令|CA x，|CB y，则 SABC12|CA|CB sinACB 34 xy 3，xy4，且 x0，y0.|CP 219x21681y2 427xy19x21681y21627219x21681
14、y21627169，当且仅当19x21681y2，即 3x4y，即 3|CA 4|CB 时等号成立.即|CP min43.15.如图，在三棱柱 ABCA1B1C1 中，侧棱 AA1底面 ABC,AA12,ABBC1,ABC90，三棱柱外接球的球心为 O，点 E 是侧棱 BB1 上的一个动点.有下列判断：直线 AC 与直线 C1E 是异面直线；A1E 一定不垂直于 AC1；三棱锥 EAA1O 的体积为定值；AEEC1 的最小值为 2 2.其中正确命题的序号是_.答案 解析 因为点 A平面 BB1C1C，点 CC1E，所以直线 AC 与直线 C1E 是异面直线；A1EAB1时，直线 A1E平面 A
15、B1C1.所以 A1EAC1，错误；球心 O 是直线 AC1，A1C 的交点，底面OAA1 面积不变，直线 BB1平面 AA1O，所以点 E 到底面距离不变，体积为定值；将矩形AA1B1B 和矩形 BB1C1C 展开到一个面内，当点 E 为 AC1 与 BB1 交点时，AEEC1 取得最小值 2 2.所以正确命题的序号是.16.(2018四川省成都市石室中学模拟)已知四面体 ABCD 的所有棱长都为 6，O 是该四面体内一点，且点 O 到平面 ABC，平面 ACD，平面 ABD，平面 BCD 的距离分别为13，x，16和 y，则1x1y的最小值是_.答案 83解析 该几何体为正四面体，体积为1312 6 6 32 2 3.各个面的面积为 34()6 23 32，所以四面体的体积又可以表示为133 32 13x16y 3，化简得 xy32，故1x1y231x1y()xy 232yxxy 23()22 83.当且仅当xy34时，等号成立