1、第1页返回导航 数学 基础知识导航考点典例领航 智能提升返航 课时规范训练 第2页返回导航 数学 第3页返回导航 数学 第1课时 计数原理与排列组合第4页返回导航 数学 一、计数原理1分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案，在第 1 类方案中有 m 种不同的方法，在第 2 类方案中有 n 种不同的方法那么完成这件事共有种不同的方法Nmn第5页返回导航 数学 2分步乘法计数原理完成一件事需要两个步骤，做第 1 步有 m 种不同的方法，做第 2步有 n 种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法Nmn第6页返回导航 数学 二、排列与组合1排列与组合的概念名称定义排列从n个不同元素中取出m(mn
2、)个元素按照排成一列组合合成一组一定的顺序第7页返回导航 数学 2排列数与组合数(1)排列数的定义：从 n 个不同元素中取出 m(mn)个元素的的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用 Amn 表示(2)组合数的定义：从 n 个不同元素中取出 m(mn)个元素的的个数，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数，用 Cmn 表示所有不同排列所有不同组合第8页返回导航 数学 公式(1)Amnn！nm！(2)CmnAmnAmmnn1n2nm1m！n！m！nm！性质(1)0！；Ann(2)CmnCnmn；Cmn1CmnCm1n3排列数、组合数的公式及性质n(n1)(n2)(nm1)1
3、n！第9页返回导航 数学 三、判断下列结论的正误(正确的打“”错误的打“”)(1)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同()(2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事()(3)在分步乘法计数原理中，事情是分步完成的，其中任何一个单独的步骤都不能完成这件事，只有每个步骤都完成后，这件事情才算完成()第10页返回导航 数学(4)如果完成一件事情有 n 个不同步骤，在每一步中都有若干种不同的方法 mi(i1,2,3，n)，那么完成这件事共有 m1m2m3mn种方法()(5)在分步乘法计算原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的()(6)所有元素完全相同的两个排
4、列为相同排列()(7)一个组合中取出的元素讲究元素的先后顺序()第11页返回导航 数学(8)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同()(9)(n1)！n！nn！.()(10)AmnnAm1n1.()第12页返回导航 数学 考点一 计数原理及应用命题点1.分类加法计数原理的应用2.分类乘法计数原理的应用3.两个原理的综合应用第13页返回导航 数学 例 1(1)有 4 位教师在同一年级的 4 个班中各教一个班的数学，在数学检测时要求每位教师不能在本班监考，则监考的方法有()A8 种 B9 种C10 种D11 种第14页返回导航 数学 解析：法一：设四位监考教师分别为 A，B，C，D，所教班分别
5、为 a，b，c，d，假设 A 监考 b，则余下三人监考剩下的三个班，共有 3 种不同方法，同理 A 监考 c，d 时，也分别有 3 种不同方法，由分类加法计数原理共有 3339(种)第15页返回导航 数学 法二：班级按 a，b，c，d 的顺序依次排列，为避免重复或遗漏现象，教师的监考顺序可用“树形图”表示如下：共有 9 种不同的监考方法答案：B第16页返回导航 数学(2)(2016高考全国甲卷)如图，小明从街道的 E 处出发，先到 F 处与小红会合，再一起到位于 G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为()A24 B18C12 D9第17页返回导航 数学 解析：
6、分两步，第一步，从 EF，有 6 条可以选择的最短路径；第二步，从 FG，有 3 条可以选择的最短路径由分步乘法计数原理可知有 6318 条可以选择的最短路径故选 B.答案：B第18页返回导航 数学(3)如果一条直线与一个平面平行，那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”，在一个长方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是()A60 B48C36 D24第19页返回导航 数学 解析：长方体的 6 个表面构成的“平行线面组”有 6636 个，6 个对角面构成的“平行线面组”有 6212 个，共有 361248 个，故选 B.答案：B第20页返回导航 数学 方法引
7、航 1.使用分类加法原理时首先根据题目特点恰当选择一个分类标准；其次分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类2(1)利用分步乘法计数原理解决问题要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的，并且分步必须满足：完成一件事的各个步骤是相互依存的，只有各个步骤都完成了，才算完成这件事第21页返回导航 数学(2)分步必须满足两个条件：一是步骤互相独立，互不干扰；二是步与步确保连续，逐步完成3使用两个基本原理进行计数的基本思想是“先分类，再分步”，即先分为若干个“既不重复也不遗漏”的类，再对每类中的计数问题分成若干个“完整的步骤”，求出每个步骤的方法数，按照分步乘法计数原理计算各类中的方
8、法数，最后再按照分类加法计数原理得出总数第22页返回导航 数学 1从 0,1,2,3,4,5 这六个数字中，任取两个不同数字相加，其和为偶数的不同取法的种数有()A30 B20C10 D6第23页返回导航 数学 解析：选 D.从 0,1,2,3,4,5 六个数字中，任取两数和为偶数可分为两类，取出的两数都是偶数，共有 3 种方法；取出的两类都是奇数，共有 3 种方法，故由分类加法计数原理得共有 N336(种)第24页返回导航 数学 2从1,0,1,2 这四个数中选三个不同的数作为函数 f(x)ax2bxc 的系数，则可组成_个不同的二次函数，其中偶函数有_个(用数字作答)第25页返回导航 数学
9、 解析：一个二次函数对应着 a，b，c(a0)的一组取值，a 的取法有 3 种，b 的取法有 3 种，c 的取法有 2 种，由分步乘法计数原理知共有 33218 个二次函数若二次函数为偶函数，则 b0，同上可知共有 326 个偶函数答案：18 6第26页返回导航 数学 3已知集合 M1，2,3)，N4,5,6，7，从两个集合中各取一个元素作为点的坐标，则这样的坐标在直角坐标系中可表示第一、二象限内不同的点的个数是()A18 B10C16 D14第27页返回导航 数学 解析：选 D.分两类：(1)M 中的元素作点的横坐标，N 中元素作点的纵坐标，在一、二象限的点共有 32 个；(2)M 中的元素
10、作点的纵坐标，N 中元素作点的横坐标，在一、二象限的点有 24 个，故所求不同点的个数为 322414(个)第28页返回导航 数学 考点二 排列问题命题点1.有限制条件的排列2.相邻元素的排列3.不相邻元素的排列4.定序问题的排列第29页返回导航 数学 例 2(1)A、B、C、D、E 五人并排站成一排，如果 B 必须站在A 的右边(A、B 可以不相邻)，那么不同的排法共有_种第30页返回导航 数学 解析：法一：可先排 C、D、E 三人，共有 A35种排法，剩余 A、B两人只有一种排法，由分步乘法计数原理知满足条件的排法共有A3560(种)法二：五人全排列，共 A55种排法，其中 B 站在 A
11、的右边或左边对半，故所求排法种数为12A5560(种)答案：60第31页返回导航 数学(2)(2017山东临沂检测)有 4 名男生、5 名女生，全体排成一行，下列情形各有多少种不同的排法？甲不在中间也不在两端；甲、乙两人必须排在两端；男女相间第32页返回导航 数学 解：法一：(元素分析法)：先排甲有 6 种，再排其余人有 A88种排法，故共有 6A88241 920(种)排法法二：(位置分析法)：从甲外的 8 人排中间和两端有 A38种排法，包括甲在内的剩余 6 人有 A66种排法，故共有 A38A66336720241 920(种)排法法三：(等机会法)：9 个人全排列有 A99种，甲排在每
12、一个位置的机会都是均等的，依题意得，甲不在中间及两端的排法总数有 A9969241 920(种)第33页返回导航 数学 法四：(间接法)：将 4 男 5 女共 9 人全排列有 A99种排法，应去掉甲排中间有的 A88种，去掉甲排两端的有 2A88种故有 A993A886A88241 920(种)先排甲、乙，再排其余 7 人共有 A22A7710 080(种)排法(插空法)先排 4 名男生有 A44种方法，再将 5 名女生插空，有 A55种方法，故共有 A44A552 880(种)排法第34页返回导航 数学 方法引航 排列问题的常用技巧捆绑法把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑
13、元素的内部排列插空法对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空档中先整体后局部“小集团”排列问题中先整体后局部定序问题除法处理对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列间接法正难则反，等价转化的方法第35页返回导航 数学 1将本例(1)改为：A，B，C，D，E 排一排，其中 A，B，C 顺序固定，有多少种排法第36页返回导航 数学 解：假如有五个位置，先排好 D，E 两人，剩余的三个位置就按 A，B，C 的固定顺序安排，只有一种方法，故 A255420.第37页返回导航 数学 2在本例(2)条件下，若甲，乙二人不相邻，有多少种排法第38
14、页返回导航 数学 解：先排其余 7 人，有 A77种方法，产生 8 个“空位”，甲乙二人插空有 A28，共有 A77A28种方法第39页返回导航 数学 考点三 组合问题命题点1.某元素含在内部2.某元素不含在内部3.“至多，至少”含元素第40页返回导航 数学 例 3 某市工商局对 35 种商品进行抽样检查，已知其中有 15 种假货现从 35 种商品中选取 3 种(1)其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？(2)其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？(3)恰有 2 种假货在内，不同的取法有多少种？(4)至少有 2 种假货在内，不同的取法有多少种？(5)至多有 2 种假货在内，不同的取
15、法有多少种？第41页返回导航 数学 解：(1)从余下的 34 种商品中，选取 2 种有 C234561(种)，某一种假货必须在内的不同取法有 561 种(2)从 34 种可选商品中，选取 3 种，有 C334种或者 C335C234C3345 984(种)某一种假货不能在内的不同取法有 5 984 种(3)从 20 种真货中选取 1 件，从 15 种假货中选取 2 件有 C120C2152 100(种)恰有 2 种假货在内的不同的取法有 2 100 种第42页返回导航 数学(4)选取 2 件假货有 C120C215种，选取 3 件假货有 C315种，共有选取方式 C120C215C3152 1
16、004552 555(种)至少有 2 种假货在内的不同的取法有 2 555 种(5)选取 3 件的总数有 C335，因此共有选取方式C335C3156 5454556 090(种)至多有 2 种假货在内的不同的取法有 6 090 种第43页返回导航 数学 方法引航 1“含”与“不含”的问题：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取.2“至少”、“至多”的问题：解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解.用直接法或间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理.第44页返回导航 数学 1
17、在某校举行的羽毛球两人决赛中，采用 5 局 3 胜制的比赛规则，先赢 3 局者获胜，直到决出胜负为止若甲、乙两名同学参加比赛，则所有可能出现的情形(个人输赢局次的不同视为不同情形)共有()A6 种 B12 种C18 种D20 种第45页返回导航 数学 解析：选 D.分三种情况：恰好打 3 局(一人赢 3 局)，有 2 种情形；恰好打 4 局(一人前 3 局中赢 2 局，输一局，第 4 局赢)，共有 2C236 种情形；恰好打 5 局(一个前 4 局中赢 2 局，输 2 局，第 5 局赢)，共有 2C2412 种情形所有可能出现的情形共有 261220(种)第46页返回导航 数学 2甲、乙两人从
18、 4 门课程中各选修 2 门，求：甲、乙所选的课程中恰有 1 门相同的选法有多少种？甲、乙所选的课程中至少有一门不相同的选法有多少种？第47页返回导航 数学 解：甲、乙两人从 4 门课程中各选修 2 门，且甲、乙所选课程中恰有 1 门相同的选法种数共有 C24C12C1224(种)甲、乙两人从 4 门课程中各选两门不同的选法种数为 C24C24，又甲乙两人所选的两门课程都相同的选法种数为 C24种，因此满足条件的不同选法种数为 C24C24C2430(种)第48页返回导航 数学 考点四 分组与分配、排列与组合的综合应用例 4 4 个不同的球，4 个不同的盒子，把球全部放入盒内(1)恰有 1 个
19、盒不放球，共有几种放法？(2)恰有 1 个盒内有 2 个球，共有几种放法？(3)恰有 2 个盒不放球，共有几种放法？第49页返回导航 数学 解：(1)为保证“恰有 1 个盒不放球”，先从 4 个盒子中任意取出去一个，问题转化为“4 个球，3 个盒子，每个盒子都要放入球，共有几种放法？”即把 4 个球分成 2,1,1 的三组，然后再从 3 个盒子中选 1 个放 2 个球，其余 2 个球放在另外 2 个盒子内，由分步乘法计数原理得，共有 C14C24C13A22144(种)(2)“恰有 1 个盒内有 2 个球”，即另外 3 个盒子放 2 个球，每个盒子至多放 1 个球，也即另外 3 个盒子中恰有一
20、个空盒，因此，“恰有 1 个盒内有 2 个球”与“恰有 1 个盒不放球”是同一件事，所以共有 144 种放法第50页返回导航 数学(3)确定 2 个空盒有 C24种方法4 个球放进 2 个盒子可分成(3,1)、(2,2)两类，第一类有序不均匀分组有 C34C11A22种方法；第二类有序均匀分组有C24C22A22 A22种方法故共有 C24(C34C11A22C24C22A22 A22)84(种)第51页返回导航 数学 方法引航 排列、组合综合题目，一般是将符合要求的元素取出组合或进行分组，再对取出的元素或分好的组进行排列.其中分组时，要注意“平均分组”与“不平均分组”的差异及分类的标准.第5
21、2页返回导航 数学 1将标号为 1,2,3,4,5,6 的 6 张卡片放入 3 个不同的信封中若每个信封放 2 张，其中标号为 1,2 的卡片放入同一信封，则不同的放法共有()A12 种 B18 种C36 种D54 种第53页返回导航 数学 解析：选 B.先放 1、2 的卡片有 C13种，再将 3、4、5、6 的卡片平均分成两组再放置，有C24A22A22种，故共有 C13C2418(种)第54页返回导航 数学 2在 8 张奖券中有一、二、三等奖各 1 张，其余 5 张无奖将这8 张奖券分配给 4 个人，每人 2 张，不同的获奖情况有_种(用数字作答)第55页返回导航 数学 解析：把 8 张奖
22、券分 4 组有两种分法，一种是分(一等奖，无奖)、(二等奖，无奖)、(三等奖，无奖)、(无奖，无奖)四组，分给 4 人有 A44种分法；另一种是一组两个奖，一组只有一个奖，另两组无奖，共有 C23种分法，再分给 4 人有 C23A24种分法，所以不同获奖情况种数为 A44C23A24243660.答案：60第56页返回导航 数学 方法探究不同元素的分组分配问题不同元素的分配问题，有时比较容易混淆，作为分配问题，可以分两步来完成，先分组后分配的原则，还要看是均匀分组还是非均匀分组，这样就对分配问题的解题有明确的思路第57页返回导航 数学 典例 按下列要求分配 6 本不同的书，各有多少种不同的分配
23、方式？(1)分成三份，1 份 1 本，1 份 2 本，1 份 3 本；(2)甲、乙、丙三人中，一人得 1 本，一人得 2 本，一人得 3 本；(3)平均分成三份，每份 2 本；(4)平均分配给甲、乙、丙三人，每人 2 本；(5)分成三份，1 份 4 本，另外两份每份 1 本；(6)甲、乙、丙三人中，一人得 4 本，另外两人每人得 1 本；(7)甲得 1 本，乙得 1 本，丙得 4 本第58页返回导航 数学 审题视点 本题是分组分配问题，要注意区分平均、不平均分组或分配的区别与联系第59页返回导航 数学 解(1)无序不均匀分组问题先选 1 本，有 C16种选法；再从余下的 5 本中选 2 本，有
24、 C25种选法；最后余下 3 本全选，有 C33种选法故共有 C16C25C3360(种)(2)有序不均匀分组问题由于甲、乙、丙是不同的三人，在(1)题基础上，还应考虑再分配，共有 C16C25C33A33360(种)第60页返回导航 数学(3)无序均匀分组问题先分三步，则应是 C26C24C22种方法，但是这里出现了重复不妨记六本书为 A，B，C，D，E，F，若第一步取了 AB，第二步取了CD，第三步取了 EF，记该种分法为(AB，CD，EF)，则 C26C24C22种分法中还有(AB，EF，CD)，(CD，AB，EF)，(CD，EF，AB)，(EF，CD，AB)，(EF，AB，CD)，共有
25、 A33种情况，而这 A33种情况仅是AB，CD，EF 的顺序不同，因此只能作为一种分法，故分配方式有C26C24C22A3315(种)第61页返回导航 数学(4)有序均匀分组问题在(3)的基础上再分配给 3 个人，共有分配方式C26C24C22A33A33C26C24C2290(种)(5)无序部分均匀分组问题共有C46C12C11A2215(种)(6)有序部分均匀分组问题在(5)的基础上再分配给 3 个人，共有分配方式C26C12C11A22A3390(种)第62页返回导航 数学(7)直接分配问题甲选 1 本，有 C16种方法；乙从余下的 5 本中选 1 本，有 C15种方法，余下 4 本留
26、给丙，有 C44种方法，故共有分配方式 C16C15C4430(种)第63页返回导航 数学 第64页返回导航 数学 高考真题体验1(2016高考全国丙卷)定义“规范 01 数列”an如下：an共有2m 项，其中 m 项为 0，m 项为 1，且对任意 k2m，a1，a2，ak 中 0 的个数不少于 1 的个数，若 m4，则不同的“规范 01 数列”共有()A18 个 B16 个C14 个D12 个第65页返回导航 数学 解析：选 C.当 m4 时，数列an共有 8 项，其中 4 项为 0,4 项为1，要满足对任意 k8，a1，a2，ak 中 0 的个数不少于 1 的个数，则必有 a10，a81，
27、a2 可为 0，也可为 1.(1)当 a20 时，分以下 3 种情况：若 a30，则 a4，a5，a6，a7 中任意一个为 0 均可，则有 C144 种情况；若 a31，a40，则 a5，a6，a7 中任意一个为 0 均可，有 C133 种情况；若 a31，a41，则 a5 必为 0，a6，a7 中任一个为 0 均可，有 C122 种情况；(2)当 a21 时，必有 a30，分以下 2 种情况：若 a40，则 a5，a6，a7 中任一个为 0 均可，有 C133 种情况；第66页返回导航 数学 若 a41，则 a5 必为 0，a6，a7 中任一个为 0 均可，有 C122 种情况综上所述，不同
28、的“规范 01 数列”共有 4323214 个，故选 C.第67页返回导航 数学 2(2012高考课标全国卷)将 2 名教师，4 名学生分成 2 个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由 1 名教师和 2 名学生组成，不同的安排方案共有()A12 种B10 种C9 种D8 种第68页返回导航 数学 解析：选 A.2 名教师各在 1 个小组，给其中 1 名教师选 2 名学生，有 C24种选法，另 2 名学生分配给另 1 名教师，然后将 2 个小组安排到甲、乙两地，有 A22种方案，故不同的安排方案共有 C24A2212(种)，选 A.第69页返回导航 数学 3(2014高考大纲全国卷)有 6 名男医生、5 名女医生，从中选出2 名男医生、1 名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有()A60 种B70 种C75 种D150 种第70页返回导航 数学 解析：选 C.由题意知，选 2 名男医生、1 名女医生的方法有 C26C1575(种)第71页返回导航 数学 4(2016高考四川卷)用数字 1,2,3,4,5 组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为()A24 B48C60 D72第72页返回导航 数学 解析：选 D.奇数的个数为 C13A4472.第73页返回导航 数学 课时规范训练