1、炎德英才大联考湖南师大附中2019届高三月考试卷(七)数学(理科)命题人：朱海棠贺祝华张天平欧阳普审题：高三数学备课组时量：120分钟满分：150分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知复数za(aR)，若z为纯虚数，则|a2i|(B)A5 B. C2 D.【解析】因为zai(3i)a13i为纯虚数，则a1，所以|a2i|，选B.2下列说法错误的是(B)A在回归模型中，预报变量y的值不能由解释变量x唯一确定B若变量x，y满足关系y0.1x1，且变量y与z正相关，则x与z也正相关C在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模
2、型拟合的精度越高D以模型ycekx去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设zln y，将其变换后得到线性方程z0.3x4，则ce4，k0.3【解析】对于A，在回归模型中，预报变量y的值由解释变量x和随机误差e共同确定，即x只能解释部分y的变化，所以A正确；对于B，由回归方程知变量y与z正相关，则x与z负相关，所以B错误；对于C，在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高，C正确；由回归分析的意义知D正确故选B.3函数f(x)(其中e为自然对数的底数)的图象大致为(A)【解析】当x0时，ex1，则f(x)0；当x0时，ex1，则f(x)0；P3：D，xy0，b0)的右焦点为
3、F，直线l为双曲线C的一条渐近线，点F关于直线l的对称点为P，若点P在双曲线C的左支上，则双曲线C的离心率为_【解析】如图，设直线l与线段PF的交点为A，因为点P与F关于直线l对称，则lPF，且A为PF的中点，所以|AF|b，|OA|a，|PF|2|AF|2b.设双曲线的左焦点为E，因为O为EF的中点，则|PE|2|AO|2a，据双曲线定义，有|PF|PE|2a，则2b2a2a，即b2a.所以e.15对于大于或等于2的自然数m的n次幂进行如图的方式“分裂”仿此，若m3的“分裂”中最小的数是211，则m的值为_15_【解析】2213，2335，2479，32135，337911，34252729
4、.不难得出规律，2n可以表示为两个连续奇数之和；3n可以表示为三个连续奇数之和；5n可以表示为五个连续奇数之和；m3的可以表示为m个连续奇数之和，即2112132112(m1)m3，m3m2210m0，因为m0，所以m15.16设a为整数，若对任意的x(0，)，不等式ea恒成立，则a的最大值是_1_【解析】令f(x)(x0)，则f(x).令g(x)ex3(x0)，则g(x)xex0，所以g(x)在(0，)上单调递增因为g(1)30，则g(x)在(1，2)内只有一个零点设g(t)0，则et.当x(0，t)时，g(x)0，从而f(x)0，f(x)单调递增，所以f(x)minet.由题意知eaet，
5、即at.因为t(1，2)，a为整数，所以a的最大值为1.三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答(一)必考题：共60分17(本小题满分12分)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足acos Bbcos A2ccos C.(1)求角C的大小；(2)若ABC的周长为3，求ABC的内切圆面积S的最大值【解析】(1)由已知，sin Acos Bsin Bcos A2sin Ccos C，(2分) 即sin(AB)2sin Ccos C，因为sin(AB)sin C0，则cos C，(4分
6、)又C(0，)，所以C.(5分)(2)设ABC的内切圆半径为R，则absin3R，则Rab，(6分)由余弦定理，得a2b2ab(3ab)2，化简得3ab2(ab)，(8分)因为ab2，则3ab4，解得3或1，(10分)若3，则a，b至少有一个不小于3，这与ABC的周长为3矛盾；(11分)若1，则当ab1c时，R取最大值.所以ABC的内切圆面积的最大值为Smax.(12分)18(本小题满分12分)如图，四边形ABCD是边长为2的菱形，且ABC60，BM平面ABCD，BMDN，BM2DN，点E是线段MN上任意一点(1)证明：平面EAC平面BMND；(2)若AEC的最大值是，求三棱锥MNAC的体积【
7、解析】(1)因为BM平面ABCD，则ACBM.(2分)又四边形ABCD是菱形，则ACBD，所以AC平面BMND. (4分)因为AC在平面EAC内，所以平面EAC平面BMND.(5分)(2)设AC与BD的交点为O，连结EO. 因为AC平面BMND，则ACOE，又O为AC的中点，则AECE，所以cosAEC1，AEC(0，)当AE最短时AEC最大，此时AEMN，CEMN，AEC，AE.(7分)取MN的中点H，分别以直线OA，OB，OH为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设NDa，则点A(1，0，0)，N(0，a)，M(0，2a)，(1，a)，(1，2a)设平面AMN的法向量n1(x，y，z)，则
8、取z1，则n1，同理求得平面CMN的法向量n2.因为AEC是二面角AMNC的平面角，则|cosAEC|，解得a或a(舍去)(10分)因为MN，AE，SEACAE2sin ，则VMNACVMEACVNEACSEACMN .(12分)19(本小题满分12分)在湖南师大附中的校园歌手大赛决赛中，有6位参赛选手(1号至6号)登台演出，由现场的100位同学投票选出最受欢迎的歌手，各位同学须彼此独立地在投票器上选出3位候选人，其中甲同学是1号选手的同班同学，必选1号，另在2号至6号选手中随机选2名；乙同学不欣赏2号选手，必不选2号，在其他5位选手中随机选出3名；丙同学对6位选手的演唱没有偏爱，因此在1号至
9、6号选手中随机选出3名(1)求同学甲选中3号且同学乙未选中3号选手的概率；(2)设3号选手得到甲、乙、丙三位同学的票数之和为X，求X的分布列和数学期望【解析】设A表示事件“甲同学选中3号选手”，B表示事件“乙同学选中3号选手”，C表示事件“丙同学选中3号选手”，则(1)P(A)，P(B)，(2分)所以P(AB)P(A)P(B).(5分)(2)P(C)，(6分)X可能的取值为0，1，2，3，P(X0)P(A )，P(X1)P(A )P(A BC)P(A C)，P(X2)P(A B C)P(AB C)P(A B C)，P(X3)P(A B C).(10分)所以X的分布列为：X0123PX的数学期望
10、E(X)0123.(12分)20(本小题满分12分)已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，D(0，2)为椭圆C短轴的一个端点，F为椭圆C的右焦点，线段DF的延长线与椭圆C相交于点E，且|DF|3|EF|.(1)求椭圆C的标准方程；(2)设直线l与椭圆C相交于A，B两点，O为坐标原点，若直线OA与OB的斜率之积为，求的取值范围【解析】(1)设椭圆C的方程为1(ab0)，右焦点F(c，0)(1分)因为D(0，2)为椭圆短轴的一个端点，则b2.因为|DF|3|EF|，则点E.(3分)因为点E在椭圆上，则1，即a22c2.(4分)又c2a24，则a22(a24)，得a28，所以椭圆C的标准方程是1.
11、(5分)(2)解法一：当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为ykxm，代入椭圆方程，得x22(kxm)28，即(2k21)x24kmx2m280.设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2. (6分)因为kOAkOB，则，即3x1x22y1y20，即3x1x22(kx1m)(kx2m)0，即(2k23)x1x22km(x1x2)2m20，所以(2k23)2m20，即(2k23)(m24)4k2m2m2(2k21)0，化简得m22k23.(7分)所以x1x2y1y2x1x21.(8分)因为16k2m24(2k21)(2m28)8(8k24m2)8(6k21)0，k20，则02，
12、所以10，则kOA.联立yx与1，得点A(，)，B(，)，或点A(，)，B(，)，此时1.综上分析，的取值范围是1，0)(0，1(12分)解法二：因为kOAkOB0，设kOAk0，则kOB.(6分)设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则，即y1y2x1x2，所以x1x2y1y2x1x2.(7分)由得x22k2x28，即(2k21)x28，所以x.(8分)同理，x.(9分)所以xx.(10分)因为4k2212，当且仅当4k2，即k时取等号，则0xx4，即2x1x22，且x1x20，所以的取值范围是1，0)(0，1(12分)21(本小题满分12分)已知函数f(x)ln xkx，其中kR为常数(
13、1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若f(x)有两个相异零点x1，x2(x12ln x1.【解析】(1)f(x)k(x0)，(1分)当k0时，f(x)0，f(x)在区间(0，)上单调递增；(2分)当k0时，由f(x)0，得0x2ln x1，只要证ln x1ln x22，即证k(x1x2)2，即证(x2x1)2，即证ln x2ln x1，只要证ln.设t(t1)，则只要证ln t(t1)(10分)设g(t)ln t，则g(t)0，所以g(t)在(1，)上单调递增所以g(t)g(1)0，即ln t，所以ln x1ln x22，即ln x22ln x1.(12分)(二)选考题：共10分请考生在22、
14、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分22(本小题满分10分)选修44：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1的参数方程为(为参数). 以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为2sin .(1)求曲线C1的极坐标方程和曲线C2的直角坐标方程；(2)设动直线l：ykx(x0，k0)分别与曲线C1，C2相交于点A，B，求当k为何值时，|AB|取最大值，并求|AB|的最大值【解析】(1)曲线C1的普通方程为(x1)2y21，即x2y22x0.将x2y22，xcos 代入，得22cos 0，所以曲线C1的极坐标方程是2cos .(3分)由2sin
15、 ，得22sin .将2x2y2，sin y代入，得x2y22y，所以曲线C2的直角坐标方程是x2y22y0.(5分)(2)解法一：设直线l的倾斜角为，则l的参数方程为(t为参数，且t0). (6分)将l的参数方程代入曲线C1的普通方程，得t22tcos 0，则tA2cos .(7分)将l的参数方程代入曲线C2的直角坐标方程，得t22tsin 0，则tB2sin .(8分)所以|AB|tAtB|2cos 2sin |4，(9分)据题意，直线l的斜率存在且不为0，则，所以当，即ktan 时，|AB|取最大值，且|AB|max4.(10分)解法二：设直线l的倾斜角为，则l的极坐标方程为(0)(6分
16、)设点A，B的极坐标分别为A(1，)，B(2，)，则12cos ，22sin .(8分)所以|AB|12|2cos 2sin |4.(9分)据题意，直线l的斜率存在且不为0，则，所以当，即ktan 时，|AB|取最大值，且|AB|max4.(10分)解法三：将ykx(x0)代入曲线C1的普通方程，得x2k2x22x0(x0)，则xA.(6分)将ykx(x0)代入曲线C2的直角坐标方程，得x2k2x22kx0(x0)，则xB.(7分)所以|AB|xAxB|2(k0)(8分)令m，则(m3)k22km10. 据题意，该方程有非零实数解，则m3或解得0m4，所以|AB|24.(9分)当m4时，k22k30，即(k)20，得k.所以当k时，|AB|取最大值，且|AB|max4.(10分)23(本小题满分10分)选修45：不等式选讲已知函数f(x)|x5|. (1)解不等式：f(x)f(x2)3；(2)若a0，求证：f(ax)f(5a)af(x)【解析】(1)不等式化为|x5|x3|3.(1分)当x3时，原不等式等价于2x5，即x5时，原不等式等价于2x83，即5x.(4分)综上，原不等式的解集为.(5分)(2)证明：由题意得f(ax)af(x)|ax5|a|x5|ax5|ax5a|ax5ax5a|5a5|f(5a)，所以f(ax)f(5a)af(x)成立(10分)