1、2021年广东省普通高中学业水平考试数学模拟测试卷(四)(时间:90分钟满分:150分)一、选择题(共15小题,每小题6分,共90分)1.已知集合M=1,2,3,4,集合N=1,3,5,则MN等于()A.2B.2,3C.1,3D.1,2,3,4,52.下列函数为偶函数的是()A.y=sin xB.y=x3C.y=e|x-1|D.y=lnx2+13.某中学有高一年级560人,高二年级540人,高三年级520人,用分层抽样的方法抽取容量为81的样本,则在高一、高二、高三三个年级抽取的人数分别为()A.28,27,26B.28,26,24C.26,27,28D.27,26,254.设为锐角,若cos
2、a+6=45,则sin2a+3的值为()A.1225B.2425C.-2425D.-12255.已知平面向量a=(0,-1),b=(2,2),|a+b|=2,则的值为()A.1+2B.2-1C.2D.16.已知点A(1,2),B(3,1),则线段AB的垂直平分线的方程是()A.4x+2y=5B.4x-2y=5C.x+2y=5D.x-2y=57.如图(1)、(2)、(3)、(4)为四个几何体的三视图,根据三视图可以判断这四个几何体依次分别为()(1)(2)(3)(4)A.三棱台、三棱柱、圆锥、圆台B.三棱台、三棱锥、圆锥、圆台C.三棱柱、正四棱锥、圆锥、圆台D.三棱柱、三棱台、圆锥、圆台8.已知
3、f(x)=x+1x-2(x0),则f(x)有()A.最大值为0B.最小值为0C.最大值为-4D.最小值为-49.利用计算机在区间(0,1)上产生随机数a,则使不等式9a2-9a+20,且a1)关于y=x对称的图象上,则a=.17.已知f(x)=x2+(m+1)x+(m+1)的图象与x轴没有公共点,则m的取值范围是(用区间表示).18.设f(x)=lgx,x0,10x,x0,则f(f(-2)=.19.已知4x+9y=1,且x0,y0,则x+y的最小值是.三、解答题(共3小题,每小题12分,共36分)20.已知ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2ccosB-b=2a.(1)求角C的大
4、小;(2)设角A的平分线交BC于D,且AD=3,若b=2,求ABC的面积.21.已知圆C经过A(3,2),B(1,6)两点,且圆心在直线y=2x上.(1)求圆C的方程;(2)若直线l经过点P(-1,3)且与圆C相切,求直线l的方程.22.如图,四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的正方形,侧棱PA底面ABCD,且PA=2,E是侧棱PA上的动点.(1)求四棱锥P-ABCD的体积;(2)如果E是PA的中点,求证:PC平面BDE;(3)是否不论点E在侧棱PA的任何位置,都有BDCE?证明你的结论.答案：1.C【解析】MN=1,2,3,41,3,5=1,3,故选C.2.D【解析】选项A,B为奇函数,选项
5、C为非奇非偶函数,lnx2+1=ln(-x)2+1,所以选D.3.A【解析】根据题意得,用分层抽样在各层中的抽样比为81560+540+520=120,则在高一年级抽取的人数是560120=28(人),高二年级抽取的人数是540120=27(人),高三年级抽取的人数是520120=26(人).故选A.4.B【解析】因为为锐角,且cosa+6=45,所以sina+6=1-cos2a+6=35.所以sin2a+3=sin2a+6=2sina+6cosa+6=23545=2425.5.C【解析】a+b=(2,2-),那么4+(2-)2=4,解得,=2.故选C.6.B【解析】线段AB的中点为2,32,
6、kAB=1-23-1=-12,垂直平分线的斜率k=-1kAB=2,线段AB的垂直平分线的方程是y-32=2(x-2)4x-2y-5=0.故选B.7.C【解析】(1)三视图复原的几何体是放倒的三棱柱.(2)三视图复原的几何体是四棱锥.(3)三视图复原的几何体是圆锥.(4)三视图复原的几何体是圆台.所以(1)(2)(3)(4)的顺序为:三棱柱、正四棱锥、圆锥、圆台.故选C.8.B【解析】由x0,可得1x0,即有f(x)=x+1x-22x1x-2=2-2=0,当且仅当x=1x,即x=1时,取得最小值0.9.A【解析】解不等式知13a0,且a1)关于y=x对称的图象上,点(1,2)在y=ax(a0,且
7、a1)的图象上,2=a1,解得a=2.17.(-1,3)【解析】依题意=(m+1)2-4(m+1)=(m+1)(m-3)0-1m3,故m的取值范围用区间表示为(-1,3).18.-2【解析】x=-20,f(10-2)=lg 10-2=-2,即f(f(-2)=-2.19.25【解析】4x+9y=1,且x0,y0,x+y=4x+9y(x+y)=13+4yx+9xy13+24yx9xy=25,当且仅当4yx=9xy,即x=10且y=15时取等号.20.【解】(1)由已知及余弦定理得2ca2+c2-b22ac=2a+b,整理得a2+b2-c2=-ab,cos C=a2+b2-c22ab=-ab2ab=
8、-12,又0C0),依题意得,(3-a)2+(2-b)2=r2,(1-a)2+(6-b)2=r2,b=2a,解得a=2,b=4,r2=5.所以圆C的方程为(x-2)2+(y-4)2=5.方法二:因为A(3,2),B(1,6),所以线段AB中点D的坐标为(2,4),直线AB的斜率kAB=6-21-3=-2,因此直线AB的垂直平分线l的方程是y-4=12(x-2),即x-2y+6=0.圆心C的坐标是方程组x-2y+6=0,y=2x的解.解此方程组,得x=2,y=4,即圆心C的坐标为(2,4).圆C的半径长r=|AC|=(3-2)2+(2-4)2=5.所以圆C的方程为(x-2)2+(y-4)2=5.
9、(2)由于直线l经过点P(-1,3),当直线l的斜率不存在时,x=-1与圆C:(x-2)2+(y-4)2=5相离.当直线l的斜率存在时,可设直线l的方程为y-3=k(x+1),即kx-y+k+3=0.因为直线l与圆C相切,且圆C的圆心为(2,4),半径为5,所以有|2k-4+k+3|k2+1=5.解得k=2或k=-12.所以直线l的方程为y-3=2(x+1)或y-3=-12(x+1),即2x-y+5=0或x+2y-5=0.22.【解】(1)PA底面ABCD,PA为此四棱锥底面上的高.V四棱锥PABCD=13S正方形ABCDPA=13122=23.(2)证明:如图,连接AC交BD于O,连接OE.四边形ABCD是正方形,AO=OC.又AE=EP,OEPC.又PC平面BDE,OE平面BDE,PC平面BDE.(3)不论点E在侧棱PA的任何位置,都有BDCE.四边形ABCD是正方形,BDAC.PA底面ABCD,PABD.又PAAC=A,BD平面PAC.CE平面PAC,BDCE.