1、第1页返回导航 数学 基础知识导航考点典例领航 智能提升返航 课时规范训练 第2页返回导航 数学 第6课时 正弦定理、余弦定理及解三角形第3页返回导航 数学 1正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容asin Absin Bcsin Ca2；b2；c2 b2c22bccos Aa2c22accos Ba2b22abcos C第4页返回导航 数学 变形形式a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C；sin A a2R，sin B b2R，sin C c2R；(其中 R 是ABC 的外接圆半径)abcsin Asin Bsin C；cos Ab2c2a22bc；cos Ba2c2b22
2、ac；cos Ca2b2c22ab.第5页返回导航 数学 解决的问题已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角已知三边，求各角；已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角第6页返回导航 数学 2.三角形常用面积公式(1)S12aha(ha 表示边 a 上的高)(2)S12absin C 12bcsin A 12casin B.(3)S12r(abc)(r 为内切圆半径)第7页返回导航 数学 3判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)在ABC 中，若 sin Asin B，则 AB.()(2)在ABC 的六个元素中，已知任意三个元素可求其他
3、元素()(3)在ABC 中，有 sin Asin(BC)()(4)在ABC 中，asin Aabcsin Asin Bsin C.()(5)在ABC 中，若 a2b2c2，则ABC 为钝角三角形()(6)公式 S12absin C 适合求任意三角形的面积()第8页返回导航 数学(7)在三角形中已知两边和一角就能求三角形的面积()(8)在ABC 中，若A60，a4 3，b4 2，则B45或B135.()(9)在ABC 中，若 sin 2Asin 2B，则 AB.()(10)在ABC 中，tan Atan Btan Ctan Atan Btan C(A、B、C2)()第9页返回导航 数学 考点一
4、利用正、余弦定理求边和角命题点1.用正弦定理解三角形2.用余弦定理解三角形3.用正、余弦定理进行边角互化解三角形第10页返回导航 数学 例 1(1)(2016高考全国丙卷)在ABC 中，B4，BC 边上的高等于13BC，则 sin A()A.310 B.1010C.55D.3 1010第11页返回导航 数学 解析：设 BC 边上的高为 AD，则 BC3AD，DC2AD，所以 AC AD2DC2 5AD.由正弦定理，知 ACsin B BCsin A，即 5AD223ADsin A，解得 sin A3 1010，故选 D.答案：D第12页返回导航 数学(2)(2016高考全国乙卷)ABC 的内角
5、 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.已知 a 5，c2，cos A23，则 b()A.2B.3C2 D3第13页返回导航 数学 解析：由余弦定理，得 4b222bcos A5，整理得 3b28b30，解得 b3 或 b13(舍去)，故选 D.答案：D第14页返回导航 数学(3)在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，若 a2b2 3bc，sin C2 3sin B，则 A()A30 B60C120 D150第15页返回导航 数学 解析：由正弦定理可知 c23b，则 cos Ab2c2a22bc 3bcc22bc 3bc2 3bc2bc 32，所以 A30.答案：A第16页
6、返回导航 数学 方法引航 1解三角形时，若式子中含有角的余弦或边的二次式，则要考虑用余弦定理；若式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；若以上特征都不明显，则要考虑两个定理都有可能用到.2三角形解的个数的判断：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断.第17页返回导航 数学 1在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.已知 A6，a1，b 3，则 B_.第18页返回导航 数学 解析：依题意得，由正弦定理知：1sin63sin B，sin B 32，又 0B，可得 B
7、3或23.答案：3或23第19页返回导航 数学 2在ABC 中，a1，b2，cos C14，则 c_；sin A_.第20页返回导航 数学 解析：c2a2b22abcos C1414，c2；cos C14，则 sin C 154，由正弦定理，得 asin Acsin C，得 sin Aasin Cc 158.答案：2；158第21页返回导航 数学 3设ABC 的内角 A，B，C 所对边的长分别为 a，b，c.若 bc2a,3sin A5sin B，则角 C_.第22页返回导航 数学 解析：由已知条件和正弦定理得：3a5b，且 bc2a，则 a5b3，c2ab7b3cos Ca2b2c22ab1
8、2，又 0C，因此角 C23.答案：23第23页返回导航 数学 考点二 三角形形状的判定命题点1.利用角的关系判定三角形形状2.利用边的关系判定三角形形状第24页返回导航 数学 例 2(1)已知ABC 的内角 A，B，C 成等差数列，且 A，B，C的对边分别为 a，b，c，若 a，b，c 成等比数列，则ABC 为()A直角三角形 B等边三角形C钝角三角形D等腰直角三角形第25页返回导航 数学 解析：内角 A、B、C 成等差数列，AC2B.又 ABC.B3，由余弦定理得b2a2c22accos Ba2c2ac.又 b2ac，a2c2acac，即(ac)20，ac，又 B3，ABC 为等边三角形答
9、案：B第26页返回导航 数学(2)在ABC 中，a，b，c 分别为内角 A，B，C 的对边，且 2asin A(2bc)sin B(2cb)sin C.求角 A 的大小；若 sin Bsin C1，试判断ABC 的形状第27页返回导航 数学 解：由正弦定理，及 2asin A(2bc)sin B(2cb)sin C，得2a2(2bc)b(2cb)c，即 a2b2c2bc.由余弦定理，a2b2c22bccos A，bc2bccos A，cos A12.又 0A，A23.由知 sin2Asin2Bsin2Csin BsinC，sin2A(sin Bsin C)2sin Bsin C.第28页返回导
10、航 数学 又 sin Bsin C1，且 sin A 32，sin Bsin C14，因此 sin Bsin C12.又 B，C0，2，故 BC.所以ABC 是等腰的钝角三角形第29页返回导航 数学 方法引航 1.判定三角形形状的途径：(1)化边为角，通过三角变换找出角之间的关系；(2)化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁2无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式；要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能注意挖掘隐含条件，重视角的范围对三角函数值的影响第30页返回导航 数学 1若ABC 的三个内角满足 sin Asin Bsin C51113，则ABC()A一定
11、是锐角三角形B一定是直角三角形C一定是钝角三角形D可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形第31页返回导航 数学 解析：选 C.在ABC 中，sin Asin Bsin C51113，abc51113，故令 a5k，b11k，c13k(k0)，由余弦定理可得cos Ca2b2c22ab25k2121k2169k22511k2 231100，又C(0，)，C2，ABC 为钝角三角形第32页返回导航 数学 2若本例(1)中，a、b、c 成等比数列改为 a2c，其它条件不变，判断三角形的形状第33页返回导航 数学 解：b2a2c22accos B4c2c22c23c2，b 3c，此时满足 a2b2c2，
12、说明ABC 是直角三角形第34页返回导航 数学 考点三 三角形的面积问题命题点1.求三角形的面积2.利用面积求边和角第35页返回导航 数学 例 3(1)在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c.若 c2(ab)26，C3，则ABC 的面积是()A3 B.9 32C.3 32D3 3第36页返回导航 数学 解析：c2(ab)26，c2a2b22ab6.C3，c2a2b22abcos3a2b2ab.由得ab60，即 ab6.SABC12absin C126 32 3 32.答案：C第37页返回导航 数学(2)(2016高考浙江卷)在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为a，
13、b，c.已知 bc2acos B.(1)证明：A2B；(2)若ABC 的面积 Sa24，求角 A 的大小第38页返回导航 数学 解：(1)证明：由正弦定理得sin Bsin C2sin Acos B，故 2sin Acos Bsin Bsin(AB)sin Bsin Acos Bcos Asin B，于是 sin Bsin(AB)又 A，B(0，)，故 0AB，所以，B(AB)或 BAB，因此 A(舍去)或 A2B，所以 A2B.第39页返回导航 数学(2)由 Sa24 得12absin Ca24，故有sin Bsin C12sin 2Bsin Bcos B，因为 sin B0，所以 sin
14、Ccos B.又 B，C(0，)，所以 C2B.当 BC2时，A2；当 CB2时，A4.综上，A2或 A4.第40页返回导航 数学 方法引航 在解决三角形问题中，面积公式 Sabsin Cbcsin Aacsin B 最常用，因为公式中既有边也有角，容易和正弦定理、余弦定理联系起来.第41页返回导航 数学 1已知ABC 中，内角 A，B，C 所对边长分别为 a，b，c，若 A3，b2acos B，c1，则ABC 的面积等于()A.32 B.34C.36D.38第42页返回导航 数学 解析：选 B.由正弦定理得 sin B2sin Acos B，故 tan B2sin A2sin3 3.又 B(
15、0，)，所以 B3.又 AB3，则ABC 是正三角形，所以 SABC12bcsin A1211 32 34.第43页返回导航 数学 2设ABC 的内角 A，B，C 所对边的长分别是 a，b，c，且 b3，c1，ABC 的面积为 2，求 cos A 与 a 的值第44页返回导航 数学 解：由三角形面积公式，得1231sin A 2，故 sin A2 23.因为 sin2Acos2A1，所以 cos A 1sin2A 18913.当 cos A13时，由余弦定理得a2b2c22bccos A3212213138，所以 a2 2.第45页返回导航 数学 当 cos A13时，由余弦定理得a2b2c2
16、2bccos A321221313 12，所以 a2 3.综上，cos A13，a2 2或 cos A13，a2 3.第46页返回导航 数学 规范答题解三角形的规范答题典例(本小题满分 12 分)ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为a，b，c，B4，tanA4 3.(1)求角 C；(2)若 bc 2 3，求ABC 的面积第47页返回导航 数学 解(1)B4，0A34，4A4.tanA4 3，A423，A512.2 分C3.4 分(2)sin B 22，sin C 32，bc 2 3.6 分第48页返回导航 数学 bc 2 3，b 2，c 3.8 分sin Asin(BC)6 24.10 分
17、SABC12bcsin A12 2 3 6 243 34.12 分第49页返回导航 数学 规范建议(1)先利用切函数求出角 A；(2)求出 sin B 及 sin C 的值；(3)再求 b 及 c 的值；(4)求 sin A，直接利用 sin 512 6 24；(5)求 SABC 时，要有代入过程第50页返回导航 数学 高考真题体验1(2016高考全国丙卷)在ABC 中，B4，BC 边上的高等于13BC，则 cos A()A.3 1010 B.1010C 1010D3 1010第51页返回导航 数学 解析：选 C.设ABC 中角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，由题意可得13acsin4
18、 22 c，则 a3 22 c.在ABC 中，由余弦定理可得b2a2c2 2ac92c2c23c252c2，则b 102 c.由余弦定理，可得 cos Ab2c2a22bc52c2c292c22 102 cc 1010，故选 C.第52页返回导航 数学 2(2014高考课标卷)钝角三角形 ABC 的面积是12，AB1，BC 2，则 AC()A5 B.5C2 D1第53页返回导航 数学 解析：选 B.SABC12ABBCsin B121 2sin B12，sin B 22，B45或 135.若 B45，则由余弦定理得 AC1，ABC 为直角三角形，不符合题意，因此 B135，由余弦定理得 AC2
19、AB2BC22ABBCcos B1221 2 22 5，AC 5.故选 B.第54页返回导航 数学 3(2014高考课标卷)已知 a，b，c 分别为ABC 三个内角 A，B，C 的对边，a2，且(2b)(sin Asin B)(cb)sin C，则ABC面积的最大值为_第55页返回导航 数学 解析：因为 a2，所以(2b)(sin Asin B)(cb)sin C 可化为(ab)(sin Asin B)(cb)sin C，由正弦定理可得(ab)(ab)(cb)c，即 b2c2a2bc，由余弦定理可得 cos Ab2c2a22bc bc2bc12，又 0A，故 A3.因为 cos A12b2c2
20、42bc2bc42bc，所以 bc4，当且仅当 bc 时取等号由三角形面积公式知 SABC12bcsin A12bc 32 34 bc 3，故ABC 面积的最大值为 3.答案：3第56页返回导航 数学 4(2016高考全国甲卷)ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 cos A45，cos C 513，a1，则 b_.第57页返回导航 数学 解析：法一：因为 cos A45，cos C 513，所以 sin A35，sin C1213，从而 sin Bsin(AC)sin Acos Ccos Asin C35 5134512136365.由正弦定理 asin A bsin B
21、，得 basin Bsin A 2113.第58页返回导航 数学 法二：因为 cos A45，cos C 513，所以 sin A35，sin C1213，从而 cos Bcos(AC)cos Acos Csin Asin C45 5133512131665.由正弦定理 asin Acsin C，得 casin Csin A 2013.由余弦定理 b2a2c22accos B，得 b2113.答案：2113第59页返回导航 数学 5(2016高考全国乙卷)ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 2cos C(acos Bbcos A)c.(1)求 C；(2)若 c 7，ABC 的面积为3 32，求ABC 的周长第60页返回导航 数学 解：(1)由已知及正弦定理得，2cos C(sin Acos Bsin Bcos A)sin C，2cos Csin(AB)sin C.故 2sin Ccos Csin C.可得 cos C12，所以 C3.(2)由已知，得12absin C3 32.第61页返回导航 数学 又 C3，所以 ab6.由已知及余弦定理得，a2b22abcos C7.故 a2b213，从而(ab)225.所以ABC 的周长为 5 7.第62页返回导航 数学 课时规范训练