1、山西省2013届高考数学一轮单元复习测试：空间向量与立体几何本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分满分150分考试时间120分钟第卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1平面的一个法向量n(1，1,0)，则y轴与平面所成的角的大小为()A B C D【答案】B2已知长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC1，AA12，E是侧棱BB1的中点，则直线AE与平面A1ED1所成角的大小为()A60B90 C45D以上都不正确【答案】B3在三棱柱中，设M、N分别为的中点，则等于 ( ）ABCD【答案】B4
2、空间任意四个点A、B、C、D，则等于 ( ）ABCD【答案】C5对于空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，有xyz(x，y，zR)，则x2，y3，z2是P，A，B，C四点共面的()A必要不充分条件 B充分不必要条件C充要条件 D既不充分又不必要条件【答案】B6在空间四边形ABCD中，若，则等于 ( ）ABCD【答案】D7点M在z轴上，它与经过坐标原点且方向向量为s(1，1,1)的直线l的距离为，则点M的坐标是()A(0,0，2)B(0,0，3)C(0,0，) D(0,0，1)【答案】B8四棱柱中，AC与BD的交点为点M，设，则下列与相等的向量是 ( ）AB CD【答案】9平面，的法向量分别是
3、n1(1,1,1)，n2(1,0，1)，则平面，所成角的余弦值是()A BC D【答案】C10以下命题中，不正确的命题个数为() 已知A、B、C、D是空间任意四点，则ABCD0若a，b，c为空间一个基底，则ab，bc，ca构成空间的另一个基底；对空间任意一点O和不共线三点A、B、C，若Oxyz(其中x，y，zR)，则P、A、B、C四点共面A0B1C2D3【答案】B11在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，P为正方体内一动点(包括表面)，若xyz，且0xyz1.则点P所有可能的位置所构成的几何体的体积是()A1B C D【答案】D12如图所示，已知在直三棱柱ABOA1B1O1中，AOB，
4、AO2，BO6，D为A1B1的中点，且异面直线OD与A1B垂直，则三棱柱ABOA1B1O1的高是()A3B4 C5D6【答案】B第卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13 空间四边形OABC中，G是ABC的重心，试用，表示，则_.【答案】 14若两点的坐标是A(3cos,3sin,1),B(2cos,2sin,1)，则AB的取值范围是_.【答案】1,515两不重合直线l1和l2的方向向量分别为v1(1,0，1)，v2(2，0,2)，则l1与l2的位置关系是_【答案】平行16已知正三棱柱ABCA1B1C1的侧棱长与底面边长相等，则A
5、B1与侧面ACC1A1所成角的正弦等于_【答案】三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB2，BAD60.(1)求证：BD平面PAC；(2)若PAAB，求PB与AC所成角的余弦值；(3)当平面PBC与平面PDC垂直时，求PA的长【答案】(1)因为四边形ABCD是菱形，所以ACBD.又因为PA平面ABCD.所以PABD.因为PAACA，所以BD平面PAC.(2)设ACBDO.因为BAD60，PAAB2，所以BO1，AOCO如图，以O为坐标原点，建立空间直角坐标系Oxyz，则P(0，2)
6、，A(0，0)，B(1,0,0)，C(0，0)所以(1，2)，(0,2，0)，设PB与AC所成角为，则cos(3)由(2)知(1，0)设P(0，t)，(t0)，则(1，t)设平面PBC的法向量m(x，y，z)，则m0，m0，所以令y，则x3，z所以m(3，)同理，平面PDC的法向量n(3，)因为平面PBC平面PDC.所以mn0，即60.解得t所以PA18已知E,F分别是棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BC和CD的中点，求：(1)A1D与EF所成角的大小；(2)A1F与平面B1EB所成角的余弦值；(3)二面角C-D1B1-B的余弦值.【答案】建立如图所示空间直角坐标系Dxyz.(1
7、)=(-1,0,-1),=60.因此A1D与EF所成角的大小为60.(2)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB平面B1C1CB,是平面B1EB的一个法向量，=(1,1,0)-(1,0,0)=(0,1,0),=(0,0)-(1,0,1)=(-1,-1),.由,可得A1F与平面B1EB所成角的余弦值为.(3)连结AC1,AC,AC1平面B1D1C,是平面B1D1C的一个法向量，AC平面B1D1B,是平面B1D1B的一个法向量.=(-1,1,1)，=(-1,1,0),故所求二面角的余弦值为.19正方形ABCD,ABEF的边长都是1，而且平面ABCD与平面ABEF互相垂直，点M在AC上移动，点N
8、在BF上移动，若CM=BN=a(0a).当a为何值时，MN的长度最短？【答案】平面ABCD平面ABEF,平面ABCD平面ABEF=AB,ABBE,BE平面ABCD.AB,BC,BE两两垂直.以B点为原点，射线BA,BE,BC分别为x轴，y轴和z轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系.则M(,0,1-),N(,0),.当a=时，MN最短为，此时，M,N恰好分别为AC,BF的中点.20已知长方体ABCDA1B1C1D1中，AB2，BC4，AA14，点M是棱D1C1的中点求直线AB1与平面DA1M所成角的正弦值【答案】建立如图所示的空间直角坐标系，可得有关点的坐标为D(0,0,0)，A(4,0,0
9、)，B(4,2,0)，C(0,2,0)，A1(4,0,4)，B1(4,2,4)，C1(0,2,4)，D1(0,0,4)于是，M(0,1,4).(0,1,4)，(4,0,4)，(0,2,4)设平面DA1M的法向量为n(x，y，z)，则，即取z1，得x1，y4.所以平面DA1M的一个法向量为n(1,4，1)设直线AB1与平面DA1M所成角为，则sin ，所以直线AB1与平面DA1M所成角的正弦值为21如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，平面PBC底面ABCD，且PBPC(1)求证：ABCP；(2)求点B到平面PAD的距离；(3)设面PAD与面PBC的交线为l，求二面角A
10、lB的大小【答案】(1)证明以BC的中点O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则B(1,0,0)，A(1，2,0)，C(1,0,0)，P(0,0,2)，D(1，2,0)(0,2,0)，(1,0,2)，则有0，.即ABCP.(2)解设平面PAD的法向量为n(x，y，z)，则由得令x0，则y1，z1，得n(0,1，1)，又(1,0,2)，点B到平面PAD的距离d(3)解由(2)知平面PAD的法向量n(0,1，1)，而平面PBC平面ABCD，平面PBC的法向量m(0,1,0)二面角AlB的余弦值为由图形知二面角AlB为锐二面角，二面角AlB的大小为45.22如图，已知四棱锥P-ABCD，底面A
11、BCD是菱形，DAB=60，PD平面ABCD，PD=AD，点E为AB的中点，点F为PD的中点.(1)证明：平面PED平面PAB；(2)求二面角P-AB-F的平面角的余弦值.【答案】(1)连结BD,ABCD是菱形，DAB=60，ABD是等边三角形.又E是AB的中点，则EDB=30，BDC=60，EDC=90，如图，建立空间直角坐标系Dxyz，设PD=AB=1，则PF=FD=，ED=，P(0，0，1)，E(，0，0)，B(，0)，平面PED的一个法向量为=(0，1，0)，设平面PAB的法向量为n=(x,y,1)由n=(,0,1),n=0,即n,平面PED平面PAB.(2)由(1)知：平面PAB的法向量为n=(,0,1),设平面FAB的法向量为n1=(x1,y1,-1)，由(1)知：F(0，0，)，由n1=(,0,-1).二面角P-AB-F的平面角的余弦值.
