1、【A级】基础训练1椭圆1的右焦点到直线yx的距离是()A.B.C1 D.解析：椭圆1的右焦点为F(1,0)，它到直线yx(即xy0)的距离为.答案：B2已知点F1、F2分别是椭圆1(ab0)的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与椭圆交于A、B两点，若ABF2为正三角形，则椭圆的离心率是()A2 B.C3 D.解析：由题意设|AF1|m，则|AF2|2m，|F1F2|m，e，故选D.答案：D3(2012高考大纲全国卷)椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为x4，则该椭圆的方程为()A.1 B.1C.1 D.1解析：2c4，c2.又4，a28，b2a2c24.椭圆方程为1，故选C.答案：C4方程
2、1表示椭圆，则k的取值范围是_解析：方程1表示椭圆，则解得k3.答案：k35(2013佛山模拟)在等差数列an中，a2a311，a2a3a421，则椭圆C：1的离心率为_解析：由题意得a410，设公差为d，则a3a2(10d)(102d)203d11，d3，a5a4d13，a6a42d16a5，e.答案：6(2013北京顺义二模)在ABC中，ABBC，cos B，若以A、B为焦点的椭圆经过点C，则该椭圆的离心率e_.解析：如图所示，设ABBCx，由cos B及余弦定理得AC2AB2BC22ABBCcos Bx2x22x2，AC2x2，ACx.椭圆以A、B为焦点，焦距为2cABx.又椭圆经过点C
3、，ACBCxx2a，2ax，e.答案：7(2013武汉模拟)已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，且经过点M(4,1)，直线l：yxm交椭圆于不同的两点A，B.(1)求椭圆的方程；(2)求m的取值范围解：(1)设椭圆的方程为1(ab0)，因为e，所以a24b2 ，又因为椭圆过点M(4,1)，所以1，解得b25，a220，故椭圆方程为1.(2)将yxm代入1并整理得5x28mx4m2200，(8m)220(4m220)0，解得5m5.8(2011高考辽宁卷)如图，已知椭圆C1的中心在原点O，长轴左、右端点M，N在x轴上，椭圆C2的短轴为MN，且C1，C2的离心率都是e，直线lMN，l与C
4、1交于两点，与C2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D.(1)设e，求|BC|与|AD|的比值；(2)当e变化时，是否存在直线l，使得BOAN，并说明理由解：(1)因为C1，C2的离心率相同，故依题意可设C1：1，C2：1(ab0)设直线l：xt(|t|a)，分别与C1，C2的方程联立，求得A，B.当e时，ba，分别用yA，yB表示A，B的纵坐标，可知|BC|AD|.(2)t0时，l不符合题意t0时，BOAN，当且仅当BO的斜率kBO与AN的斜率kAN相等，即，解得ta.因为|t|a，又0e1，所以1，解得e1，所以当0e时，不存在直线l，使得BOAN；当e1时，存在直线l，使
5、得BOAN.【B级】能力提升1已知点M(，0)，椭圆y21与直线yk(x)交于点A、B，则ABM的周长为()A4B8C12 D16解析：直线yk(x)过定点N(，0)，而M、N恰为椭圆y21的两个焦点，由椭圆定义知ABM的周长为4a428.答案：B2如果椭圆1(ab0)上存在一点P，使得点P到左准线的距离与它到右焦点的距离相等，那么椭圆的离心率的取值范围为()A(0，1 B1,1C(0，1 D1,1)解析：设椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，过点P作左准线的垂线，垂足为M，则e，故|PF1|PM|e.又|PF1|2a|PF2|，|PM|PF2|，所以有(1e)|PF2|2a，则|PF2|ac，
6、ac，即acac，解得：e1,1)答案：B3(2013武汉模拟)若点F1，F2为椭圆y21的焦点，P为椭圆上的点，当F1PF2的面积为1时，的值是()A0 B1C3 D6解析：F1PF2的面积为1，设P(x1，y1)，则有|2c|y1|1，即|y1|1，y1，代入椭圆方程得：x1，不妨令点P为，又F1(，0)，F2(，0)，22230.答案：A4在ABC中，A90，tan B.若以A、B为焦点的椭圆经过点C，则该椭圆的离心率e_.解析：以A、B为焦点的椭圆经过点C，离心率e.又ABC中，A90，tan B，不妨设AC3k，AB4k，k0，则BC5k.e.答案：5(2011高考浙江卷)设F1，F
7、2分别为椭圆y21的左、右焦点，点A，B在椭圆上，若5，则点A的坐标是_解析：椭圆的焦点分别为F1(，0)，F2(，0)，设A点坐标为(m，n)，B点坐标为(p，t)则m5(p)，即p，t，又n21，且1，由上面两式解得m0，n1，即点A的坐标是(0，1)答案：(0,1)或(0，1)6(2011高考课标全国卷)在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为，过F1的直线l交C于A，B两点，且ABF2的周长为16，那么C的方程为_解析：由ABF2的周长等于4a16，得a4，又知离心率为，即，进而c2，所以a216，b2a2c21688，C的方程为1.答案：17(创
8、新题)已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆C的离心率为，且经过点M.(1)求椭圆C的方程；(2)是否存在过点P(2,1)的直线l1与椭圆C相交于不同的两点A，B，满足2？若存在，求出直线l1的方程；若不存在，请说明理由解：(1)设椭圆C的方程为1(ab0)，由题意得解得a24，b23.故椭圆C的方程为1.(2)假设存在直线l1且由题意得斜率存在，设满足条件的方程为yk1(x2)1，代入椭圆C的方程得，(34k)x28k1(2k11)x16k16k180.因为直线l1与椭圆C相交于不同的两点A，B，设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，所以8k1(2k11)24(34k)(16k16k18)32(6k13)0，所以k1.又x1x2，x1x2，因为2，即(x12)(x22)(y11)(y21)，所以(x12)(x22)(1k)|PM|2.即x1x22(x1x2)4(1k).所以(1k)，解得k1.因为k1，所以k1.于是存在直线l1满足条件，其方程为yx.