1、第2讲函数的单调性与最值1函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义如果函数yf(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数yf(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做函数yf(x)的单调区间2函数的最值前提设函数yf(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件(1)对于任意xI，都
2、有f(x)M；(2)存在x0I，使得f(x0)M(1)对于任意xI，都有f(x)M；(2)存在x0I，使得f(x0)M结论M为最大值M为最小值常用结论1函数单调性的常用结论(1)若f(x)，g(x)均为区间A上的增(减)函数，则f(x)g(x)也是区间A上的增(减)函数(2)若k0，则kf(x)与f(x)的单调性相同；若k0，则kf(x)与f(x)的单调性相反(3)函数yf(x)(f(x)0)在公共定义域内与yf(x)，y的单调性相反(4)函数yf(x)(f(x)0)在公共定义域内与y的单调性相同(5)复合函数单调性的判断方法：若两个简单函数的单调性相同，则这两个函数的复合函数为增函数；若两个
3、简单函数的单调性相反，则这两个函数的复合函数为减函数简称“同增异减”2单调性定义的等价形式设x1，x2a，b，x1x2.(1)若有(x1x2)f(x1)f(x2)0或0，则f(x)在闭区间a，b上是增函数；(2)若有(x1x2)f(x1)f(x2)0或0，则f(x)在闭区间a，b上是减函数3函数最值的结论(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值，当函数在闭区间上单调时最值一定在端点处取得(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大值或最小值一、思考辨析判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)若定义在R上的函数f(x)，有f(1)f(3)，则函数f(x)在R上为增函数()(2)函数yf(x
4、)在1，)上是增函数，则函数f(x)的单调递增区间是1，)()(3)函数y的单调递减区间是(，0)(0，)()(4)所有的单调函数都有最值()(5)如果一个函数在定义域内的某几个子区间上都是增函数，则这个函数在定义域上是增函数()(6)闭区间上的单调函数，其最值一定在区间端点处取到()答案：(1)(2)(3)(4)(5)(6)二、易错纠偏常见误区|(1)求单调区间忘记定义域导致出错；(2)对于分段函数，一般不能整体单调，只能分段单调；(3)利用单调性解不等式忘记在单调区间内求解；(4)混淆“单调区间”与“在区间上单调”两个概念1函数ylog(x24)的单调递减区间为_答案：(2，)2已知函数f
5、(x)是定义在R上的减函数，则实数a的取值范围是_解析：由题意得解得即a.答案：3函数yf(x)是定义在2，2上的减函数，且f(a1)f(2a)，则实数a的取值范围是_解析：由题意得即所以1a1.答案：1，1)4(1)若函数f(x)x22(a1)x2在区间(，4上是减函数，则实数a的取值范围是_；(2)若函数f(x)x22(a1)x2的单调递减区间为(，4，则a的值为_答案：(1)a3(2)3确定函数的单调性(区间)(多维探究)角度一判断或证明函数的单调性 (一题多解)试讨论函数f(x)(a0)在(1，1)上的单调性【解】方法一：(定义法)设1x1x21，f(x)aa，f(x1)f(x2)aa
6、，由于1x1x20，x110，x210时，f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，函数f(x)在(1，1)上单调递减；当a0时，f(x1)f(x2)0，即f(x1)0时，f(x)0，函数f(x)在(1，1)上单调递减；当a0，函数f(x)在(1，1)上单调递增利用定义法证明或判断函数单调性的步骤提醒判断函数的单调性还有图象法、导数法、性质法等角度二求具体函数的单调区间 求函数f(x)x22|x|1的单调区间【解】f(x)画出函数图象如图所示，可知单调递增区间为(，1和(0，1，单调递减区间为(1，0和(1，)【迁移探究】(变条件)若本例函数变为f(x)|x22x1|，如何求解？解：函数
7、y|x22x1|的图象如图所示由图象可知，函数y|x22x1|的单调递增区间为(1，1和(1，)；单调递减区间为(，1 和(1，1 确定函数的单调区间的方法注意(1)函数在某个区间上是单调函数，但在整个定义域上不一定是单调函数，如函数y在(，0)和(0，)上都是减函数，但在定义域上不具有单调性(2)“函数的单调区间是M”与“函数在区间N上单调”是两个不同的概念，显然NM.1下列函数中，在区间(1，1)上为减函数的是()AyBycos xCyln(x1) Dy2x解析：选DA项中，y在(1，1)上为增函数；B项中，ycos x在(1，1)上不单调；C项中，yln(x1)在(1，1)上为增函数；D
8、项中，y在(1，1)上为减函数故选D2函数f(x)ln(x22x8)的单调递增区间是()A(，2) B(，1)C(1，) D(4，)解析：选D由x22x80得x2或x4.令g(x)x22x8，则g(x)在(，2)上单调递减，在(4，)上单调递增，而yln x为单调递增函数，根据复合函数的性质，函数f(x)ln(x22x8)的单调递增区间为(4，)3设函数f(x)g(x)x2f(x1)，则函数g(x)的单调递减区间是_解析：由f(x)g(x)x2f(x1)，得g(x)作出图象如下：故函数g(x)的单调递减区间为0，1)答案：0，1)4判断并证明函数f(x)ax2(其中1a3)在x1，2上的单调性
9、解：函数f(x)ax2(其中1ax11时，f(x2)f(x1)(x2x1)ab BcbaCacb Dbac【解析】因为f(x)的图象关于直线x1对称所以ff.当x2x11时，f(x2)f(x1)(x2x1)0恒成立，故f(x)在(1，)上单调递减因为12ff(e)，所以bac.【答案】D比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，则要利用其函数性质，转化到同一个单调区间内进行比较，对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图象法求解 角度二解函数不等式 (1)已知函数f(x)若f(a1)f(a)，则实数a的取值范围是()A BC D(2)已知函数f(x)x|x|，x(1，1)，则不等式f(
10、1m)f(m21)的解集为_【解析】(1)函数f(x)ex在(，0上为减函数，函数f(x)x22x1在(0，)上为减函数，且e0022011，所以函数f(x)在(，)上为减函数由f(a1)f(a)得a1a，解得a.故选A(2)由已知得f(x)则f(x)在(1，1)上单调递减，所以解得0m1，所以所求解集为(0，1)【答案】(1)A(2)(0，1)解函数不等式的理论依据是函数单调性的定义，具体步骤是：(1)将函数不等式转化成f(x1)f(x2)的形式；(2)考查函数f(x)的单调性；(3)根据函数f(x)的单调性去掉法则“f”，转化为形如“x1x2”或“x1x2”的常规不等式，从而得解提醒要注意
11、函数的定义域，如本例(2)易忽视“11m1，1m211”而致误 角度三利用函数的单调性求最值 (1)函数f(x)log2(x2)在区间1，1上的最大值为_(2)函数y的最大值为_【解析】(1)由于y在R上单调递减，ylog2(x2)在1，1上单调递增，所以f(x)在1，1上单调递减，故f(x)在1，1上的最大值为f(1)3.(2)令 t，则t2，所以x2t24，所以y，设h(t)t在2，)上为增函数，所以h(t)minh(2)，所以y(x0时取等号)即y的最大值为.【答案】(1)3(2)运用函数单调性求最值是求函数最值的重要方法，特别是当函数图象不易作出时，单调性法几乎成为首选方法 角度四利用
12、函数的单调性求参数的范围(或值) (1)已知f(x)是R上的增函数，则实数a的取值范围是()A(0，3) B(1，3)C(1，) D(2)设函数f(x)若函数yf(x)在区间(a，a1)上单调递增，则实数a的取值范围是_【解析】(1)由题意得解得a3，故选D(2)作出函数f(x)的图象如图所示，由图象可知f(x)在(a，a1)上单调递增，需满足a4或a12，即a1或a4.【答案】(1)D(2)(，14，)(1)根据函数的单调性，将题设条件转化为含参数的不等式(组)，即可求出参数的值或范围；(2)若分段函数是单调函数，则不仅要保证在各区间上单调性一致，还要确保在整个定义域内是单调的 1函数yf(
13、x)在0，2上单调递增，且函数f(x)的图象关于直线x2对称，则下列结论成立的是()Af(1)ffBff(1)fCfff(1)Dfff(1)解析：选B因为f(x)的图象关于直线x2对称，所以f(x)f(4x)，所以ff，ff.又012，f(x)在0，2上单调递增，所以ff(1)f，即ff(1)f.2已知函数f(x)为R上的减函数，则满足ff(1)的实数x的取值范围是()A(1，1) B(0，1)C(1，0)(0，1) D(，1)(1，)解析：选C由f(x)为R上的减函数且ff(1)，得即所以1x0或0x1.故选C3设函数f(x)在区间3，4上的最大值和最小值分别为M，m，则()A BC D解析
14、：选D由题意得f(x)2，所以函数f(x)在区间3，4上单调递减，所以Mf(3)26，mf(4)24，所以.故选D4已知函数f(x)2ax24(a3)x5在区间(，3)上是减函数，则a的取值范围是_解析：当a0时，f(x)12x5，在(，3)上是减函数；当a0时，由得0a.综上可知，a的取值范围是.答案：思想方法系列2函数最值的求法方法一单调性法 已知a0，设函数f(x)2 022x3(xa，a)的最大值为M，最小值为N，则MN的值为()A2 022B2 023C4 043 D4 044【解析】f(x)2 022x32 022x32 0222 022x3.因为y，y2 022x3均为增函数，所
15、以f(x)在a，a上单调递增，故最大值为f(a)，最小值为f(a)，所以MNf(a)f(a)2 0222 022a32 0222 022(a)34 04414 043.【答案】C利用函数的单调性求解函数的值域是最基本的方法，解题的关键是准确确定函数的单调性 方法二不等式法主要是指运用均值不等式及其变形公式来解决函数最值问题的一种方法常用的基本不等式有以下几种：a2b22ab(a，b为实数)；(a0，b0)；ab(a，b为实数) 设x，y，z为正实数，x2y3z0，则的最小值为_【解析】因为x2y3z0，所以y，所以.又x，z为正实数，所以由基本不等式，得3.当且仅当x3z时取“”故的最小值为3
16、.【答案】3先对解析式进行变形，使之满足“一正、二定、三相等”的条件，再利用基本不等式求得最值常用的不等式有a2b22ab，ab2(a，b均为正实数)解题时要注意验证等号成立的条件，如果在求解时发现等号不成立，可尝试利用函数性质解题 方法三配方法配方法是求二次函数最值的基本方法，如函数F(x)af2(x)bf(x)c的最值问题，可以考虑用配方法 已知函数y(exa)2(exa)2(aR，a0)，求函数y的最小值【解】y(exa)2(exa)2(exex)22a(exex)2a22.令texex(t2)，设f(t)t22at2a22.因为t2，所以f(t)t22at2a22(ta)2a22，定义
17、域为2，)因为函数yf(t)图象的对称轴为直线ta，所以当a2且a0时，yminf(2)2(a1)2；当a2时，yminf(a)a22.利用二次函数的性质求最值，要特别注意自变量的取值范围，同时还要注意对称轴与区间的相对位置关系如本例化为含参数的二次函数后，求解最值时要细心区分对称轴与区间的位置关系，然后再根据不同情况分类解决 方法四换元法换元法有两类，即代数换元和三角换元，我们可以根据具体问题及题目形式去灵活选择换元的方法，以便将复杂的函数最值问题转化为简单函数的最值问题，从而求出原函数的最值 (1)函数f(x)x2的最大值为_(2)函数yx的值域为_【解析】(1)设t(t0)，所以x1t2
18、.所以yf(x)x21t22tt22t1(t1)22.所以当t1即x0时，f(x)max2.(2)由4x20，得2x2，所以设x2cos (0，)，则y2cos 2cos 2sin 2cos，因为，所以cos ，所以y.【答案】(1)2(2)换元法方式很多，常见的有代数换元和三角换元如可用三角代换解决形如a2b21及部分根式函数形式的最值问题 方法五数形结合法数形结合法，是指利用函数所表示的几何意义，借助几何方法及函数的图象求函数最值的一种常用的方法 对a，bR，记maxa，b函数f(x)max|x1|，|x2|(xR)的最小值是_【解析】由|x1|x2|，得(x1)2(x2)2.所以x.所以f(x)其图象如图所示由图象易知，当x时，函数有最小值，所以f(x)minf.【答案】本例作出y|x1|与y|x2|的图象，作出f(x)的图象是解题关键