1、7.3 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题一、选择题1不等式x2y0表示的平面区域是() 解析将点(1,0)代入x2y得12010.答案D2设实数x，y满足不等式组若x，y为整数，则3x4y的最小值是()A14 B16 C17 D19解析线性区域边界上的整点为(3,1)，因此最符合条件的整点可能为(4,1)或(3,2)，对于点(4,1)，3x4y344116；对于点(3,2)，3x4y334217，因此3x4y的最小值为16.答案B3. 设变量x，y满足则2x+3y的最大值为( )A. 20 B.35 C. 45 D. 55解析 画出可行域，根据图形可知当x=5,y=15时2x+3y最大
2、，最大值为55，故选D.答案 D4某厂生产的甲、乙两种产品每件可获利润分别为30元、20元，生产甲产品每件需用A原料2 kg、B原料4 kg，生产乙产品每件需用A原料3 kg、B原料2 kg.A原料每日供应量限额为60 kg，B原料每日供应量限额为80 kg.要求每天生产的乙种产品不能比甲种产品多超过10件，则合理安排生产可使每日获得的利润最大为()A500元 B700元 C400元 D650元解析 设每天生产甲乙两种产品分别为x，y件，则x，y满足利润z30x20y.不等式组所表示的平面区域如图，根据目标函数的几何意义，在直线2x3y60和直线4x2y80的交点B处取得最大值，解方程组得B(
3、15,10)，代入目标函数得zmax30152010650.答案D5设实数x，y满足条件若目标函数zaxby(a0，b0)的最大值为12，则的最小值为()A. B. C. D4解析由可行域可得，当x4，y6时，目标函数zaxby取得最大值，4a6b12，即1.2.答案A6已知不等式组表示的平面区域为M，若直线ykx3k与平面区域M有公共点，则k的取值范围是()A. B.C. D.解析如图所示，画出可行域，直线ykx3k过定点(3,0)，由数形结合，知该直线的斜率的最大值为k0，最小值为k.答案C7设双曲线4x2y21的两条渐近线与直线x围成的三角形区域(包含边界)为D，P(x，y)为D内的一个
4、动点，则目标函数zxy的最小值为()A2 BC0 D解析 曲线4x2y21的两条渐近线方程为2xy0,2xy0，与直线x围成的三角形区域如图中的阴影部分所示，所以目标函数zxy在点P(，2)处取得最小值为z2.答案 二、填空题8若点P(m,3)到直线4x3y10的距离为4，且点P在不等式2xy3表示的平面区域内，则m_.解析由题意可得解得m3.答案39在平面直角坐标系中，若不等式组(a为常数)所表示的平面区域内的面积等于2，则a的值为_解析 等式组表示的区域为图中阴影部分又因为axy10恒过定点(0,1)，当a0时，不等式组所表示的平面区域的面积为，不合题意；当a0，此时所围成的区域为三角形，
5、其面积为S1(a1)2，解之得a3.答案310铁矿石A和B的含铁率a，冶炼每万吨铁矿石的CO2的排放量b及每万吨铁矿石的价格c如下表：ab/万吨c/百万元A50%13B70%0.56某冶炼厂至少要生产1.9(万吨)铁，若要求CO2的排放量不超过2(万吨)，则购买铁矿石的最少费用为_百万元解析可设需购买A矿石x万吨，B矿石y万吨，则根据题意得到约束条件为：目标函数为z3x6y，作图可知当目标函数经过(1,2)点时目标函数取得最小值，最小值为zmin316215(百万元) 答案1511若变量x，y满足约束条件则zx2y的最小值为_解析根据得可行域如图所示；根据zx2y得y，平移直线y，在M点z取得
6、最小值根据得此时z42(5)6.答案612若x，y满足约束条件，目标函数zax2y仅在点(1,0)处取得最小值，则a的取值范围是_解析 画出可行域，目标函数可化为yxz，根据图象判断，当目标函数的斜率12时，目标函数zax2y仅在点(1,0)处取得最小值，这时a的取值范围是(4,2)答案 (4,2)三、解答题13设集合A(x，y)|x，y,1xy是三角形的三边长(1)求出x，y所满足的不等式；(2)画出点(x，y)所在的平面区域解析 (1)已知条件即化简即(2)区域如下图14画出2x3y3表示的区域，并求出所有正整数解解析先将所给不等式转化为而求正整数解则意味着x，y还有限制条件，即求的整数解
7、所给不等式等价于依照二元一次不等式表示平面区域可得如图(1)对于2x3y3的正整数解，再画出表示的平面区域如图(2)所示：可知，在该区域内有整数解为(1,1)、(1,2)、(1,3)、(2,2)、(2,3)共五组15若a0，b0，且当时，恒有axby1，求以a，b为坐标的点P(a，b)所形成的平面区域的面积解析作出线性约束条件对应的可行域如图所示，在此条件下，要使axby1恒成立，只要axby的最大值不超过1即可令zaxby，则yx.因为a0，b0，则10时，b1，或1时，a1.此时对应的可行域如图，所以以a，b为坐标的点P(a，b)所形成的面积为1.16某营养师要为某个儿童预订午餐和晚餐已知
8、一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外，该儿童S这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐？解析设需要预订满足要求的午餐和晚餐分别为x个单位和y个单位，所花的费用为z元，则依题意得：z2.5x4y，且x，y满足即让目标函数表示的直线2.5x4yz在可行域上平移，由此可知z2.5x4y在(4,3)处取得最小值因此，应当为该儿童预订4个单位的午餐和3个单位的晚餐，就可满足要求