1、2.3 函数的奇偶性与周期性一、选择题1.已知定义在R上的奇函数满足,且在区间上是增函数,则( )A. B. C. D. 域为R,所以,且函数的图象关于对称, 因为函数在区间上是增函数,所以在上的函数值非负,故,所以,所以,故选D.答案 D2已知定义在R上的奇函数，f(x)满足f(x2)f(x)，则f(6)的值为()A1 B0 C1 D2解析(构造法)构造函数f(x)sin x，则有f(x2)sinsin xf(x)，所以f(x)sin x是一个满足条件的函数，所以f(6)sin 30，故选B.答案B【点评】 根据函数的性质构造出一个符合条件的具体函数，是解答抽象函数选择题的常用方法，充分体现
2、了由抽象到具体的思维方法.3.下列函数中，既是偶函数，且在区间内是单调递增的函数是（ ）A B C D 答案D4若函数f(x)为奇函数，则a()A. B. C. D1解析(特例法)f(x)是奇函数，f(1)f(1)，a13(1a)，解得a.答案A【点评】 本题采用特例法，可简化运算，当然也可用奇函数的定义进行解题，不过过程较为繁琐，若运算能力较弱容易出错.5函数f(x)的定义域为R，若f(x1)与f(x1)都是奇函数，则()Af(x)是偶函数 Bf(x)是奇函数Cf(x)f(x2) Df(x3)是奇函数解析由已知条件对xR都有f(x1)f(x1)，f(x1)f(x1)因此f(x3)f(x2)1
3、f(x2)1f(x1)f(x1)f(x21)f(x2)1)f(x2)1)f(x3)，因此函数f(x3)是奇函数答案D6.已知f(x)是定义在R上的偶函数，并满足f(x2)，当1x2时，f(x)x2，则f(6.5)()A4.5 B4.5C0.5 D0.5解析 f(x2)，f(x4)f(x2)2f(x)，f(x)周期为4，f(6.5)f(6.58)f(1.5)f(1.5)1.520.5.答案 D【点评】 本题采用直接法，所谓直接法，就是直接从题设的条件出发，运用有关的概念、定义、性质、定理、法则和公式等知识，通过严密的推理与计算来得出题目的结论，然后再对照题目所给的四个选项来“对号入座”.其基本策
4、略是由因导果，直接求解.7.已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0x2时，f(x)x3x，则函数yf(x)的图象在区间0,6上与x轴的交点的个数为()A6 B7 C8 D9解析当0x2时，令f(x)x3x0，得x0或x1或x1(舍去)，又f(x)的最小正周期为2，f(0)f(2)f(4)f(6)0，f(1)f(3)f(5)0，yf(x)的图象在区间0,6上与x轴的交点个数为7.答案B二、填空题8.已知函数f(x)满足：f(1)，4f(x)f(y)f(xy)f(xy)(x，yR)，则f(2 013)_.解析法一当x1，y0时，f(0)；当x1，y1时，f(2)；当x2，y1时，f(3
5、)；当x2，y2时，f(4)；当x3，y2时，f(5)；当x3，y3时，f(6)；当x4，y3时，f(7)；当x4，y4时，f(8)；.f(x)是以6为周期的函数，f(2 013)f(33356)f(3).法二f(1)，4f(x)f(y)f(xy)f(xy)，构造符合题意的函数f(x)cos x，f(2 013)cos.答案9.若函数f(x)(a为常数)在定义域上为奇函数，则实数a的值为_解析 f(x)f(x)f(x)0恒成立，所以a1或1.答案 1或110若f(x)是R上周期为5的奇函数，且满足f(1)1，f(2)2，则f(3)f(4)_.解析f(x5)f(x)且f(x)f(x)，f(3)f
6、(35)f(2)f(2)2，f(4)f(1)f(1)1，故f(3)f(4)(2)(1)1.答案111设奇函数f(x)的定义域为5,5，当x0,5时，函数yf(x)的图象如图所示，则使函数值y0的x的取值集合为_解析由原函数是奇函数，所以yf(x)在5,5上的图象关于坐标原点对称，由yf(x)在0,5上的图象，得它在5,0上的图象，如图所示由图象知，使函数值y0的x的取值集合为(2,0)(2,5)答案(2,0)(2,5)12.对于函数，有如下三个命题：是偶函数；在区间上是减函数，在区间上是增函数；在区间上是增函数其中正确命题的序号是 （将你认为正确的命题序号都填上）解析 函数和的图像如图所示，由
7、图像可知正确；函数，由复合函数的单调性法则，可知函数在区间上是减函数。所以错。答案 三、解答题13. f(x)是定义在R上的奇函数且满足f(x2)f(x)，当x(0,1)时，f(x)2x1，求f(log6)的值解析 log6log260，且f(x)为奇函数，f(log6)f(log26)又f(x2)f(x)，f(log26)f(log262)f(log2)，而log2(0,1)f(log2)2log211.f(log6).14已知函数f(x)对任意x，yR，都有f(xy)f(x)f(y)，且x0时，f(x)0，f(1)2.(1)求证f(x)是奇函数；(2)求f(x)在3,3上的最大值和最小值解
8、析 (1)证明令xy0，知f(0)0；再令yx，则f(0)f(x)f(x)0，所以f(x)为奇函数(2)任取x1x2，则x2x10，所以f(x2x1)fx2(x1)f(x2)f(x1)f(x2)f(x1)0，所以f(x)为减函数而f(3)f(21)f(2)f(1)3f(1)6，f(3)f(3)6.所以f(x)maxf(3)6，f(x)minf(3)6.15已知函数f(x)x2(x0，常数aR)(1)讨论函数f(x)的奇偶性，并说明理由；(2)若函数f(x)在x2，)上为增函数，求实数a的取值范围解析(1)函数f(x)的定义域为x|x0，当a0时，f(x)x2，(x0)显然为偶函数；当a0时，f
9、(1)1a，f(1)1a，因此f(1)f(1)，且f(1)f(1)，所以函数f(x)x2既不是奇函数，也不是偶函数(2)f(x)2x，当a0，f(x)0，则f(x)在(2，)上是增函数，当a0时，由f(x)0，解得x ，由f(x)在2，)上是增函数，可知 2.解得0a16综上可知实数a的取值范围是(，1616.已知函数f(x)x28x，g(x)6lnxm.(1)求f(x)在区间t，t1上的最大值h(t)；(2)是否存在实数m，使得yf(x)的图象与yg(x)的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由解析 (1)f(x)x28x(x4)216，当t14，即t4时，
10、f(x)在t，t1上单调递减，h(t)f(t)t28t.综上，h(t).(2)函数yf(x)的图象与yg(x)的图象有且只有三个不同的交点，即函数(x)g(x)f(x)的图象与x轴的正半轴有且只有三个不同的交点(x)x28x6lnxm，(x)2x8(x0)当x(0,1)时，(x)0，(x)是增函数；当x(1,3)时，(x)0，(x)是增函数；当x1或x3时，(x)0.(x)极大值(1)m7，(x)极小值(3)m6ln315.当x充分接近0时，(x)0.要使(x)的图象与x轴正半轴有三个不同的交点，必须且只需，即7m156ln3.所以存在实数m，使得函数yf(x)与yg(x)的图象有且只有三个不同的交点，m的取值范围为(7,156ln3)