1、第1页返回导航 数学 基础知识导航考点典例领航 智能提升返航 课时规范训练 第2页返回导航 数学 第3课时 直线、平面的平行关系第3页返回导航 数学 1平面的基本性质(1)公理 1：如果一条直线上的在一个平面内，那么这条直线在此平面内(2)公理 2：过的三点，有且只有一个平面(3)公理 3：如果两个不重合的平面有公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线两点不在一条直线上一个第4页返回导航 数学(4)公理 2 的三个推论推论 1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面；推论 2：经过两条直线有且只有一个平面；推论 3：经过两条直线有且只有一个平面相交平行第5页返回导航 数学 2空间中两
2、直线的位置关系(1)空间中两直线的位置关系共面直线异面直线：不同在一个平面内平行相交任何第6页返回导航 数学(2)异面直线所成的角定义：设 a，b 是两条异面直线，经过空间任一点 O 作直线 aa，bb，把 a与 b所成的叫做异面直线 a 与 b 所成的角(或夹角)范围：0，2 .(3)平行公理：平行于的两条直线互相平行(4)定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角锐角(或直角)同一条直线相等或互补第7页返回导航 数学 3直线与平面、平面与平面之间的位置关系(1)直线与平面的位置关系有、三种情况(2)平面与平面的位置关系有、两种情况相交平行在平面内平行相交第8页返回导航 数学 文
3、字语言图形语言符号语言判定定理平面外一条直线与的一条直线平行，则该直线与此平面平行(线线平行线面平行)la，a，l l4直线与平面平行的判定定理和性质定理此平面内第9页返回导航 数学 性质定理一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的与该直线平行(简记为“线面平行线线平行”)l，l，b lb交线第10页返回导航 数学 5平面与平面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面内的两条与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为“线面平行面面平行”)a，b，abP，a，b相交直线第11页返回导航 数学 性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面，那么它们的平行，a，b
4、 ab相交交线第12页返回导航 数学 6.判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线平行于这个平面()(2)若一条直线平行于一个平面，则这条直线平行于这个平面内的任一条直线()(3)若直线 a 与平面 内无数条直线平行，则 a.()(4)若直线 a，P，则过点 P 且平行于 a 的直线有无数条()第13页返回导航 数学(5)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行()(6)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面()(7)设 l 为直线，是两个不同的平面，若 l，l，则.()(8)两个不重合的平
5、面只能把空间分成四个部分()(9)两个平面，有一个公共点 A，就说，相交于 A 点，记作A.()(10)两两相交的三条直线最多可以确定三个平面()第14页返回导航 数学 考点一 平面的基本性质命题点空间平面的构成 第15页返回导航 数学 例 1(1)有下列命题：经过三点确定一个平面；梯形可以确定一个平面；两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合其中正确命题的个数是()A0 B1C2 D3第16页返回导航 数学 解析：对于，三点可能在一直线上，故错误；正确；对于，三条直线两两相交，如空间直角坐标系，能确定三个平面，故正确；对于，没有强调三点不共线，则两平
6、面也可能相交，故错误答案：C第17页返回导航 数学(2)过同一点的 4 条直线中，任意 3 条都不在同一平面内，则这四条直线确定平面的个数为_第18页返回导航 数学 解析：由题意知这 4 条直线中的每两条都确定一个平面，因此，共可确定 6 个平面答案：6第19页返回导航 数学 方法引航 空间平面的构成，可由点，可由线，也可由点和线；面与面的公共点在面的交线上.第20页返回导航 数学 1如图是正方体或四面体，P，Q，R，S 分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的一个是()第21页返回导航 数学 解析：选D.A，B，C图中四点一定共面，D中四点不共面第22页返回导航 数学 2(2017江西七校联考
7、)已知直线 a 和平面，l，a，a，且 a 在，内的射影分别为直线 b 和 c，则直线 b 和 c 的位置关系是()A相交或平行B相交或异面C平行或异面D相交、平行或异面第23页返回导航 数学 解析：选 D.依题意，直线 b 和 c 的位置关系可能是相交、平行或异面，故选 D.第24页返回导航 数学 考点二 直线与平面的平行关系命题点1.直线与平面平行的判定2.直线与平面平行的性质第25页返回导航 数学 例 2(1)在空间四边形 ABCD 中，E，F 分别为 AB，AD 上的点，且 AEEBAFFD14，又 H，G 分别为 BC，CD 的中点，则()ABD平面 EFG，且四边形 EFGH 是平
8、行四边形BEF平面 BCD，且四边形 EFGH 是梯形CHG平面 ABD，且四边形 EFGH 是平行四边形DEH平面 ADC，且四边形 EFGH 是梯形第26页返回导航 数学 解析：如图，由题意得，EFBD，且 EF15BD.HGBD，且 HG12BD.EFHG，且 EFHG，又 HG面 BCD，EF平面 BCD 且四边形 EFGH 是梯形答案：B第27页返回导航 数学(2)(2016高考全国丙卷)如图，四棱锥P-ABCD中，PA底面ABCD，ADBC，ABADAC3，PABC4，M 为线段 AD 上一点，AM2MD，N 为 PC 的中点证明 MN平面 PAB；求四面体 N-BCM 的体积第2
9、8页返回导航 数学 解：证明：由已知得 AM23AD2，取 BP 的中点 T，连接 AT，TN，由 N 为 PC 中点知 TNBC，TN12BC2.又 ADBC，故 TN 綊 AM，故四边形AMNT 为平行四边形，于是 MNAT.因为 AT平面 PAB，MN平面 PAB，所以 MN平面 PAB.第29页返回导航 数学 因为 PA平面 ABCD，N 为 PC 的中点，所以 N 到平面 ABCD的距离为12PA.取 BC 的中点 E，连接 AE.由 ABAC3 得 AEBC，AEAB2BE2 5.由 AMBC 得 M 到 BC 的距离为 5，故 SBCM124 52 5.所以四面体 N-BCM 的
10、体积 VN-BCM13SBCMPA2 4 53.第30页返回导航 数学 方法引航 判断或证明线面平行的常用方法(1)利用线面平行的定义(无公共点)；(2)利用线面平行的判定定理(a，b，aba)；(3)利用面面平行的性质定理(，aa)；(4)利用面面平行的性质(，a，a，aa)第31页返回导航 数学 1过三棱柱 ABC-A1B1C1 任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1 平行的直线有_条第32页返回导航 数学 解析：如图，E、F、G、H 分别是 A1C1、B1C1、BC、AC 的中点，则与平面 ABB1A1 平行的直线有 EF，GH，FG，EH，EG，FH 共 6条答案：6第33页返
11、回导航 数学 2如图，四棱锥 P-ABCD 中，ADBC，ABBC12AD，E，F，H 分别为线段 AD，PC，CD 的中点，AC 与 BE 交于 O 点，G 是线段 OF 上一点(1)求证：AP平面 BEF；(2)求证：GH平面 PAD.第34页返回导航 数学 证明：(1)连接 EC，ADBC，BC12AD，BC 綊 AE，四边形 ABCE 是平行四边形，O 为 AC 的中点又F 是 PC 的中点，FOAP，FO平面 BEF，AP平面 BEF，AP平面 BEF.第35页返回导航 数学(2)连接 FH，OH，F，H 分别是 PC，CD 的中点，FHPD，FH平面 PAD.又O 是 BE 的中点
12、，H 是 CD 的中点，OHAD，OH平面 PAD.又 FHOHH，平面 OHF平面 PAD.又GH平面 OHF，GH平面 PAD.第36页返回导航 数学 考点三 平面与平面平行的判定与性质命题点1.判定平面与平面的平行2.利用平面与平面平行的性质第37页返回导航 数学 例 3(1)(2017山东济南模拟)平面 平面 的一个充分条件是()A存在一条直线 a，a，aB存在一条直线 a，a，aC存在两条平行直线 a，b，a，b，a，bD存在两条异面直线 a，b，a，b，a，b第38页返回导航 数学 解析：若 l，al，a，a，则 a，a，故排除 A.若 l，a，al，则 a，故排除 B.若 l，a
13、，al，b，bl，则 a，b，故排除 C.故选 D.答案：D第39页返回导航 数学(2)如图所示，在三棱柱 ABC-A1B1C1 中，E，F，G，H 分别是 AB，AC，A1B1，A1C1 的中点，求证：B，C，H，G 四点共面；平面 EFA1平面 BCHG.第40页返回导航 数学 证明：G，H 分别是 A1B1，A1C1 的中点，GH 是A1B1C1 的中位线，GHB1C1.又B1C1BC，GHBC，B，C，H，G 四点共面E，F 分别是 AB，AC 的中点，EFBC.EF平面 BCHG，BC平面 BCHG，EF平面 BCHG.第41页返回导航 数学 A1G 綊 EB，四边形 A1EBG 是
14、平行四边形，A1EGB.A1E平面 BCHG，GB平面 BCHG，A1E平面 BCHG.A1EEFE，平面 EFA1平面 BCHG.第42页返回导航 数学 方法引航 1.面面平行的判定方法(1)利用定义：即证两个平面没有公共点(不常用)(2)利用面面平行的判定定理(主要方法)(3)利用垂直于同一条直线的两平面平行(客观题可用)(4)利用平面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行(客观题可用)2面面平行的性质由面面平行，可得出线面平行，也可得出线线平行，但必须是这两个平行平面与第三个平面的交线第43页返回导航 数学 1将本例(2)中条件改为已知 H 为 A1C1 的中点，
15、过 BC 和 H 点的平面与 A1B1 交于点 G，求证 G 为 A1B1 的中点第44页返回导航 数学 证明：因为在三棱柱中，面 A1B1C1面 ABC.面 A1B1C1面 BCHGHG，面 ABC面 BCHGBC，GHBC(面面平行性质)BCB1C1.GHB1C1，H 为 A1C1 的中点，G 为 A1B1 的中点第45页返回导航 数学 2在本例(2)条件下，若 D1，D 分别为 B1C1，BC 的中点，求证：(1)平面 A1BD1平面 AC1D.(2)若点 NAD，求证：C1N 始终平行面 A1BD1.第46页返回导航 数学 证明：(1)如图所示，连接 A1C 交 AC1 于点 M，四边
16、形 A1ACC1 是平行四边形，M 是 A1C 的中点，连接 MD，D 为 BC 的中点，A1BDM.A1B平面 A1BD1，DM平面 A1BD1，DM平面 A1BD1.第47页返回导航 数学 又由三棱柱的性质知，D1C1 綊 BD，四边形 BDC1D1 为平行四边形，DC1BD1.又 DC1平面 A1BD1，BD1平面 A1BD1，DC1平面 A1BD1，又DC1DMD，DC1，DM平面 AC1D，平面 A1BD1平面AC1D.(2)由(1)可知，平面 A1BD1平面 AC1D.NAD，C1N面 AC1D.C1N面 A1BD1.第48页返回导航 数学 方法探究空间平行的转化与探索典例(201
17、7河北石家庄模拟)如图，棱柱ABCD-A1B1C1D1 的底面 ABCD 为菱形，平面AA1C1C平面 ABCD.(1)证明：平面 AB1C平面 DA1C1；(2)在直线 CC1 上是否存在点 P，使 BP 平面 DA1C1？若存在，求出点 P 的位置；若不存在，说明理由第49页返回导航 数学 解(1)证明：由棱柱 ABCD-A1B1C1D1 的性质，知 AB1DC1，A1DB1C，AB1B1CB1，A1DDC1D，平面 AB1C平面 DA1C1.第50页返回导航 数学(2)存在这样的点 P 满足题意如图，在 C1C 的延长线上取一点 P，使 C1CCP，连接 BP，B1B 綊 CC1BB1
18、綊 CP，四边形 BB1CP 为平行四边形，BPB1C，A1DB1C，BPA1D.又A1D平面 DA1C1，BP平面 DA1C1，BP平面 DA1C1.第51页返回导航 数学 思维程序(1)线线面面；棱柱性质面的对角线平行面面(2)先找点 P，再证明平行；平行四边形性质BPB1CA1D.第52页返回导航 数学 第53页返回导航 数学 高考真题体验1(2016高考山东卷)在如图所示的圆台中，AC 是下底面圆 O 的直径，EF 是上底面圆 O的直径，FB 是圆台的一条母线(1)已知 G，H 分别为 EC，FB 的中点求证：GH平面 ABC；(2)已知 EFFB12AC2 3，ABBC.求二面角 F
19、-BC-A 的余弦值第54页返回导航 数学 解：(1)证明：设 FC 中点为 I，连接 GI，HI在CEF 中，因为点 G 是 CE 的中点，所以 GIEF.又 EFOB，所以 GIOB.在CFB 中，因为 H 是 FB 的中点，所以 HIBC.又 HIGII，所以平面 GHI 平面 ABC.因为 GH平面 GHI，所以 GH平面 ABC.第55页返回导航 数学(2)连接 OO，则 OO平面 ABC.又 ABBC，且 AC 是圆 O 的直径，所以 BOAC.以 O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 O-xyz.由题意得 B(0,2 3，0)，C(2 3，0,0)，所以BC(2 3，2
20、3，0)，过点 F 作 FM 垂直 OB 于点 M.所以 FM FB2BM23，第56页返回导航 数学 可得 F(0，3，3)故BF(0，3，3)设 m(x，y，z)是平面 BCF 的法向量由mBC0，mBF0，可得2 3x2 3y0，3y3z0.第57页返回导航 数学 可得平面 BCF 的一个法向量 m1，1，33.因为平面 ABC 的一个法向量 n(0,0,1)所以 cosm，n mn|m|n|77.所以二面角 F-BC-A 的余弦值为 77.第58页返回导航 数学 2(2016高考山东卷)在如图所示的几何体中，D 是 AC 的中点，EFDB.(1)已知 ABBC，AEEC.求证：ACFB
21、；(2)已知 G，H 分别是 EC 和 FB 的中点求证：GH平面 ABC.第59页返回导航 数学 证明：(1)因为 EFDB，所以 EF 与 DB 确定平面 BDEF.如图所示连接 DE.因为 AEEC，D 为 AC 的中点，所以 DEAC.同理可得 BDAC.又 BDDED，所以 AC平面 BDEF，因为 FB平面 BDEF，所以 ACFB.图 第60页返回导航 数学(2)如图，设 FC 的中点为 I，连接 GI，HI.在CEF 中，因为 G 是 CE 的中点，所以 GIEF.又 EFDB，所以 GIDB.在CFB 中，因为 H 是 FB 的中点，所以 HIBC，又 HIGII，所以平面
22、GHI平面 ABC.因为 GH平面 GHI，所以 GH平面 ABC.图第61页返回导航 数学 3(2014高考陕西卷)四面体 ABCD 及其三视图如图所示，平行于棱 AD，BC 的平面分别交四面体的棱 AB，BD，DC，CA 于点 E，F，G，H.第62页返回导航 数学(1)求四面体 A-BCD 的体积；(2)证明：四边形 EFGH 是矩形第63页返回导航 数学 证明：(1)由该四面体的三视图可知，BDDC，BDAD，ADDC，BDCD2，AD1，AD平面 BDC，四面体的体积 V131222123.第64页返回导航 数学(2)BC平面 EFGH，平面 EFGH平面 BDCFG，平面 EFGH平面 ABCEH，BCFG，BCEH，FGEH.同理 EFAD，HGAD，EFHG，四边形 EFGH 是平行四边形又 AD平面 BDC，ADBC，EFFG，四边形 EFGH 是矩形第65页返回导航 数学 课时规范训练