1、江苏省如皋市第一中学2020-2021学年高一数学上学期学校调研测试试题4一、单选题1已知R为实数集,Ax|x210,Bx|1,则A(RB)()Ax|1x0Bx|0x1Cx|1x0Dx|1x0或x12若函数,则f(f(10)= ( )Alg101B2C1D03已知,关于x的不等式的解集为( )A或 BC或D4已知,则等于( )A3B2C1D-15函数的值域为( )A0,1BCD6已知等边三角形ABC的边长为1,那么( ).A3B-3CD7已知函数是定义在区间上的偶函数,当时,是减函数,如果不等式成立,则实数的取值范围( )ABCD8设,且,则的最小值是( )ABCD二、多选题9下列结论正确的是
2、( )A当时, B当时,的最小值是2C当时,的最小值为5D当,时, 10下列表述正确的是:( )A“”是“”的充分不必要条件B设向量,若,则C已知,满足,则D“,”的否定是“,”11四边形中,则下列表示正确的是( )ABCD12已知函数的图象关于直线对称,则( )A函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象B函数为偶函数C函数在上单调递增D若,则的最小值为二、填空题13化简_14.已知向量,若向量与平行,则_.15已知正实数满足,则的最小值是_16函数的值域为_,单调递增区间为_三、解答题17已知向量.(1)若,求的值;(2)若且在第三象限,求的值18已知a0,函数f(x)2asin2ab,当
3、时,51.(1)求常数a,b的值;(2)求f(x)的单调递增区间及对称轴方程.19如图,在四边形中,为等边三角形,是的中点.设,.(1)用,表示,(2)求与夹角的余弦值.20我国所需的高端芯片很大程度依赖于国外进口,“缺芯之痛”关乎产业安全、国家经济安全.如今,我国科技企业正在芯片自主研发之路中不断崛起.根据市场调查某手机品牌公司生产某款手机的年固定成本为40万美元,每生产1万部还需另投入16万美元.设该公司一年内共生产该款手机万部并全部销售完,每万部的销售收入为万美元,且当该公司一年内共生产该款手机2万部并全部销售完时,年利润为704万美元.(1)写出年利润(万美元)关于年产量(万部)的函数
4、解析式:(2)当年产量为多少万部时,公司在该款手机的生产中所获得的利润最大?并求出最大利润.21已知函数.(1)若函数在区间与内各有一个零点,求实数的取值范围;(2)若不等式在上恒成立,求实数的取值范围.22已知定义域为的函数是奇函数.(1)求的值;(2)判断函数的单调性并证明;(3)若关于的不等式在有解,求实数的取值范围.江苏省如皋市第一中学2020-2021学年度高一数学校调研测试4数学试卷一、单选题1已知R为实数集,Ax|x210,Bx|1,则A(RB)()Ax|1x0Bx|0x1Cx|1x0Dx|1x0或x1【答案】C2若函数,则f(f(10)= ( )Alg101B2C1D0【答案】
5、B3已知,关于x的不等式的解集为( )A或 BC或D【答案】A【分析】分解因式得,由可得,即可得出解集.【详解】不等式化为,故不等式的解集为或.故选:A.4已知,则等于( )A3B2C1D-1【答案】A【分析】根据诱导公式,结合同角的三角函数关系式进行求解即可.【详解】.故选:A5函数的值域为( )A0,1BCD【答案】B【分析】根据自变量的范围,得到的范围,进一步得到答案.【详解】解:,所以.故选:B.6已知等边三角形ABC的边长为1,那么( ).A3B-3CD【答案】D【分析】利用向量的数量积即可求解.【详解】解析:.故选:D【点睛】本题考查了向量的数量积,注意向量夹角的定义,属于基础题.
6、7已知函数是定义在区间上的偶函数,当时,是减函数,如果不等式成立,则实数的取值范围( )ABCD【答案】A【分析】根据偶函数的性质将不等式转化为,再根据单调性可解得结果.【详解】因为函数是定义在区间上的偶函数, 所以等价于,因为当时,单调递减,所以,解得.故选:A【点睛】关键点点睛:解题时,注意偶函数性质恒成立在解题中的应用,属于中档题.8设,且,则的最小值是( )ABCD【答案】B【分析】利用基本不等式可求出的最小值,利用换底公式以及对数的运算律可得出的最小值.【详解】,且,当且仅当时取等号.,则的最小值是.故选:B.【点睛】本题考查利用基本不等式求最值,同时也考查了换底公式以及对数运算性质
7、的应用,考查计算能力,属于基础题.二、多选题9下列结论正确的是( )A当时, B当时,的最小值是2C当时,的最小值为5D当,时, 【答案】AD【分析】利用基本不等式和等号成立时取最值对选项逐一判断即可.【详解】选项A中,时,当且仅当,即时等号成立,故正确;选项B中,时, 当且仅当时,即时取等号,但是,取不到最小值2,故错误;选项C中,时,则,故,当且仅当时,即时等号成立,取得最大值1,不存在最小值,故错误;选项D中,当,时,故 ,当且仅当时等号成立,故正确.故选:AD.【点睛】易错点睛:利用基本不等式求最值时,要注意其必须满足的三个条件:(1)“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数;(2
8、)“二定”就是要求和的最小值,必须把构成和的二项之积转化成定值;要求积的最大值,则必须把构成积的因式的和转化成定值;(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时,必须验证等号成立的条件,若不能取等号则这个定值就不是所求的最值,这也是最容易发生错误的地方.10下列表述正确的是:( )A“”是“”的充分不必要条件B设向量,若,则C已知,满足,则D“,”的否定是“,”【答案】ACD【分析】根据三角函数的定义可判断A;根据向量共线的坐标表示可判断B;根据向量垂直的坐标表示可判断C;利用含有一个量词的命题否定变换形式可判断D.【详解】对于A,“”可推出“”,反之,当,可得或,故“”是“”的充分不必要条件,故
9、A正确;对于B,若,则,解得,故B错误;对于C,若,则,即,故C正确;对于D,由特称命题的否定变换形式,可得“,”的否定是“,”,故D正确.故选:ACD11四边形中,则下列表示正确的是( )ABCD【答案】BD【分析】利用向量的线性运算将用基底和表示,与选项比较即可得正确选项.【详解】 对于选项A:,故选项A不正确;故选项B正确;,故选项C不正确,故选项D正确;故选:BD12已知函数的图象关于直线对称,则( )A函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象B函数为偶函数C函数在上单调递增D若,则的最小值为【答案】BCD【分析】函数的图象关于直线对称,可得,对于A,根据函数的图象平移可判断;对于B
10、,求出函数的解析式可判断;对于C,求出,根据函数在区间上单调递增可判断;对于D,求出,的周期可判断.【详解】函数的图象关于直线对称,;,对于A,函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象,故错误;对于B,函数,根据余弦函数的奇偶性,可得,可得函数是偶函数,故正确;对于C,由于,函数在上单调递增,故正确;对于D,因为,又因为,的周期为,所以则的最小值为,故正确.故选:BCD.【点睛】本题考查了的性质.有关三角函数的题,考查基础知识、基本技能和基本方法,且难度不大,主要考查以下四类问题;(1)与三角函数单调性有关的问题;(2)与三角函数图象有关的问题;(3)应用同角三角函数的基本关系和诱导公式求三
11、角函数值及化简和等式证明的问题;(4)与周期有关的问题.二、填空题13化简_【答案】【分析】利用对数的运算性质和换底公式可求得所求代数式的值.【详解】由对数的运算性质得,原式.故答案为:.【点睛】本题考查对数的运算,涉及对数运算性质和换底公式的应用,考查计算能力,属于基础题.14.已知向量,若向量与平行,则_.【答案】【分析】运用向量加法公式和向量平行公式即可.【详解】向量, ,所以,若向量与平行,可得 ,解得.故答案为:15已知正实数满足,则的最小值是_【答案】【分析】由题意得出,令,结合基本不等式得出最小值.【详解】由题意得,令,则当且仅当,即时,取等号,则的最小值是故答案为:16函数的值
12、域为_,单调递增区间为_【答案】 【分析】先由题意求出函数的定义域,令 ,确定其单调性和值域,再利用复合函数的单调性判断原函数的单调性即可求解.【详解】令,即,解得: 所以函数的定义域为,是由和复合而成,因为为减函数,要求的单调递增区间即为求的单调递减区间,的单调递减区间为,所以的单调递增区间为,因为,所以,所以原函数的值域为,故答案为:;【点睛】关键点点睛:本题的关键点是先求函数的定义域,研究函数的单调性和值域都是在函数的定义域范围内研究,即可根据对数函数的性质求值域.三、解答题17已知向量.(1)若,求的值;(2)若且在第三象限,求的值(1) , (2)由题可得,所以,所以,是第三象限角,
13、;18已知a0,函数f(x)2asin2ab,当时,51.(1)求常数a,b的值;(2)求f(x)的单调递增区间及对称轴方程.【答案】(1);(2)单调增区间(kZ);对称轴方程.【分析】(1)首先求sin在的值域,结合a0且51即可求a,b的值;(2)利用三角函数的单调区间,结合复合函数单调性知2k 2x2k为单调增,同时由正弦函数的对称轴方程知,即可求单调递增区间及对称轴方程;【详解】(1)由x,知: 2x,sin1,又a 0,时有51,即(2)4sin1,由2k 2x2k,kZ,得k x k,kZ,的单调递增区间为(kZ),令,得:,对称轴方程为:;【点睛】本题考查了三角函数,利用三角函
14、数的性质求参数、单调区间、对称轴方程,注意复合函数的单调性判断,属于中档题;19如图,在四边形中,为等边三角形,是的中点.设,.(1)用,表示,(2)求与夹角的余弦值.【答案】(1),;(2).【分析】(1)利用向量的线性运算即平面向量基本定理确定,与,的关系;(2)解法一:利用向量数量积运算公式求得向量夹角余弦值;解法二:建立平面直角坐标系,利用数量积的坐标表示确定向量夹角余弦值.【详解】解法一:(1)由图可知.因为E是CD的中点,所以.(2)因为,为等边三角形,所以,所以,所以,.设与的夹角为,则,所以在与夹角的余弦值为.解法二:(1)同解法一.(2)以A为原点,AD所在直线为x轴,过A且
15、与AD垂直的直线为y轴建立平面直角坐标系,则,.因为E是CD的中点,所以,所以,所以,.设与的夹角为,则,所以与夹角的余弦值为.【点睛】求两个向量的数量积有三种方法:利用定义;利用向量的坐标运算;利用数量积的几何意义具体应用时可根据已知条件的特征来选择,同时要注意数量积运算律的应用20我国所需的高端芯片很大程度依赖于国外进口,“缺芯之痛”关乎产业安全、国家经济安全.如今,我国科技企业正在芯片自主研发之路中不断崛起.根据市场调查某手机品牌公司生产某款手机的年固定成本为40万美元,每生产1万部还需另投入16万美元.设该公司一年内共生产该款手机万部并全部销售完,每万部的销售收入为万美元,且当该公司一
16、年内共生产该款手机2万部并全部销售完时,年利润为704万美元.(1)写出年利润(万美元)关于年产量(万部)的函数解析式:(2)当年产量为多少万部时,公司在该款手机的生产中所获得的利润最大?并求出最大利润.【答案】(1);(2)32万部,最大值为6104万美元.【分析】(1)先由生产该款手机2万部并全部销售完时,年利润为704万美元,解得,然后由,将代入即可.(2)当时利用二次函数的性质求解;当时,利用基本不等式求解,综上对比得到结论.【详解】(1)因为生产该款手机2万部并全部销售完时,年利润为704万美元.所以,解得,当时, ,当时, .所以(2)当时, ,所以;当时, ,由于,当且仅当,即时
17、,取等号,所以此时的最大值为5760.综合知,当,取得最大值为6104万美元.21已知函数.(1)若函数在区间与内各有一个零点,求实数的取值范围;(2)若不等式在上恒成立,求实数的取值范围.【答案】(1);(2).【分析】(1)根据二次函数的性质以及零点存在性定理可得,解不等式组即可.(2)将不等式转化为在上恒成立,令,讨论二次函数的性质,只需,解不等式即可求解.【详解】(1)由于的图象开口向上,且在区间与内各有一零点,故,即,解得,即实数的取值范围为.(2)不等式在上恒成立,令,其对称轴为,当时,对称轴,在上单调递增,故满足题意.当时,对称轴,又在上恒成立,故,解得,故,综上,实数的取值范围
18、为.22已知定义域为的函数是奇函数.(1)求的值;(2)判断函数的单调性并证明;(3)若关于的不等式在有解,求实数的取值范围.【答案】(1)1;(2)为减函数,证明见解析;(3).【分析】(1)由奇函数的性质可知,从而求解值,然后检验证即可.(2)根据定义法证明函数的单调性,即可.(3)根据函数为奇偶性,以及单调性,将不等式等价变形为,即,原问题转化为在上有解,根据的单调性,求解最大值,即可.【详解】(1)由为定义在上奇函数可知,解得.经检验,此时对任意的都有故.(2)由递增可知在上为减函数,证明如下:对于任意实数,不妨设递增,且即,,故在上为减函数.(3)由为奇函数得:等价于.又由在上为减函数得:即因为,所以.若使得关于的不等式在有解则需在上有解在区间上单调递增,在区间上单调递减当时,取得最大值.,解得的取值范围是.【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的证明及其应用,属于较难的题.21