1、第1页返回导航 数学 基础知识导航考点典例领航 智能提升返航 课时规范训练 第2页返回导航 数学 第5课时 椭 圆第3页返回导航 数学 1椭圆的定义平面内与两个定点 F1，F2 的距离的等于常数 2a(2a|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆这两个定点叫做椭圆的，两焦点间的距离叫做椭圆的和焦点焦距第4页返回导航 数学 焦点在 x 轴上焦点在 y 轴上标准方程x2a2y2b21(ab0)y2a2x2b21(ab0)图形2椭圆的标准方程及其简单几何性质第5页返回导航 数学 范围|x|a；|y|b|x|b；|y|a对称性曲线关于x轴、y轴、原点对称曲线关于x轴、y轴、原点对称顶点长轴顶点(a,0)短轴顶
2、点(0，b)长轴顶点(0，a)短轴顶点(b,0)轴长轴长，短轴长2a2b第6页返回导航 数学 焦点(c,0)(0，c)焦距离心率eca a，b，c的关系c2a2b2|F1F2|2c(0,1)第7页返回导航 数学 3.判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)平面内与两个定点 F1，F2 的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆()(2)动点 P 到两定点 A(0，2)，B(0,2)的距离之和为 4，则点 P 的轨迹是椭圆()(3)椭圆的离心率 e 越大，椭圆就越圆()(4)椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形()(5)方程 mx2ny21(m0，n0，mn)表示的曲线是椭圆()第8页返回
3、导航 数学(6)P 为椭圆x2a2y2b21 上的任一点，|OP|的最小值为 b.()(7)P 为椭圆上任一点，F 为其焦点，则|PF|ac，ac()(8)方程x2my2n1，且 mn 表示焦点在 x 轴上的椭圆()(9)椭圆x2a2y2b21 的离心率 e1b2a2.()(10)焦距为 8，离心率为 0.8 的椭圆方程为x225y291.()第9页返回导航 数学 考点一 椭圆的定义及应用命题点1.利用椭圆定义求椭圆方程2.利用定义求焦点三角形问题第10页返回导航 数学 例 1(1)已知圆(x2)2y236 的圆心为 M，设 A 为圆上任一点，N(2,0)，线段 AN 的垂直平分线交 MA 于
4、点 P，则动点 P 的轨迹是()A圆 B椭圆C双曲线D抛物线第11页返回导航 数学 解析：点 P 在线段 AN 的垂直平分线上，故|PA|PN|.又 AM 是圆的半径，|PM|PN|PM|PA|AM|6|MN|，由椭圆定义知，点 P 的轨迹是椭圆答案：B第12页返回导航 数学(2)(2017豫东、豫北十校联考)椭圆 C：x2a2y21(a0)的左右焦点分别为 F1、F2、P 为椭圆上异于端点的任意一点，PF1，PF2 的中点分别为 M，N.O 为坐标原点，四边形 OMPN 的周长为 2 3，则PF1F2 的周长是()A2(2 3)B.22 3C.2 3D42 3第13页返回导航 数学 解析：因
5、为 O，M 分别为 F1F2 和 PF1 的中点，所以 OMPF2，且|OM|12|PF2|，同理，ONPF1，且|ON|12|PF1|，所以四边形 OMPN为平行四边形，由题意知，|OM|ON|3，故|PF1|PF2|2 3，即 2a2 3，a 3，由 a2b2c2知 c2a2b22，c 2，所以|F1F2|2c2 2，故PF1F2 的周长为 2a2c2 32 2，选 A.答案：A第14页返回导航 数学(3)(2017江苏徐州模拟)已知 F1、F2 是椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的两个焦点，P 为椭圆 C 上的一点，且PF1 PF2.若PF1F2 的面积为 9，则 b_.第15页返
6、回导航 数学 解析：设|PF1|r1，|PF2|r2，则r1r22a，r21r224c2，2r1r2(r1r2)2(r21r22)4a24c24b2，SPF1F212r1r2b29，b3.答案：3第16页返回导航 数学 方法引航 椭圆定义的应用主要有两个方面：一是确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆；二是当 P 在椭圆上时，与椭圆的两焦点 F1，F2 组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长；利用定义和余弦定理可求|PF1|PF2|；通过整体代入可求其面积等.第17页返回导航 数学 1已知两圆 C1：(x4)2y2169，C2：(x4)2y29，动圆在圆 C1 内部且和圆 C1
7、 相内切，和圆 C2 相外切，则动圆圆心 M 的轨迹方程为()A.x264y2481 B.x248y2641C.x248y2641 D.x264y2481第18页返回导航 数学 解析：选 D.设圆 M 的半径为 r，则|MC1|MC2|(13r)(3r)16，M 的轨迹是以 C1、C2 为焦点的椭圆，且 2a16,2c8，故所求的轨迹方程为x264y2481.第19页返回导航 数学 2椭圆x24y231 的左焦点为 F，直线 xm 与椭圆相交于点 A，B.当FAB 的周长最大时，FAB 的面积是_第20页返回导航 数学 解析：如图所示，设椭圆右焦点为 F，直线 xm 与 x 轴相交于点 C.由
8、椭圆的定义，得|AF|AF|BF|BF|2a4.而|AB|AC|BC|AF|BF|，所以当且仅当 AB 过点 F时，ABF 的周长最大此时，由 c1，得 A1，32，B1，32，即|AB|3.所以 SABF12|AB|FF|3.答案：3第21页返回导航 数学 3(2017云南昆明名校联考)设 F1，F2 是椭圆x29y241 的两个焦点，P 是椭圆上的一点，且|PF1|PF2|21，则PF1F2 的面积为()A4 B6C2 2D4 2第22页返回导航 数学 解析：选 A.易得|PF1|4，|PF2|2，|F1F2|2 5，显然，|PF1|2|PF2|2|F1F2|2，故PF1F2 的面积为 4
9、.第23页返回导航 数学 考点二 求椭圆的标准方程命题点1.直接求 a，b，c2.待定系数法求 a，b，c第24页返回导航 数学 例 2 求满足下列条件的椭圆的标准方程：(1)过点(3，5)，且与椭圆y225x291 有相同的焦点；(2)已知点 P 在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且 P 到两焦点的距离分别为 5,3，过 P 且与长轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点；(3)经过两点32，52，(3，5)第25页返回导航 数学 解：(1)法一：椭圆y225x291 的焦点为(0，4)，(0,4)，即 c4.由椭圆的定义知，2a 302 542 302 542，解得 a2 5.由 c2a2b2 可得 b2
10、4.所以所求椭圆的标准方程为y220 x241.第26页返回导航 数学 法二：设所求椭圆方程为y225k x29k1(k9)，将点(3，5)的坐标代入可得 5225k 329k1，解得 k5(k21 舍去)，所以所求椭圆的标准方程为y220 x241.第27页返回导航 数学(2)由于焦点的位置不确定，设所求的椭圆方程为x2a2y2b21(ab0)或y2a2x2b21(ab0)，由已知条件得2a53，2c25232，解得 a4，c2，b212.故椭圆方程为x216y2121 或y216x2121.第28页返回导航 数学(3)设椭圆方程为 mx2ny21(m，n0，mn)，由322m522n1，3
11、m5n1，解得 m16，n 110.椭圆方程为y210 x261.第29页返回导航 数学 方法引航 求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法，具体过程是先定形，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后再根据条件建立关于 a，b 的方程组.如果焦点位置不确定，要考虑是否有两解，有时为了解题方便，也可把椭圆方程设为 mx2ny21m0，n0，mn的形式.第30页返回导航 数学 1将本例(1)改为与椭圆y225x291 有相同的离心率，其余条件不变，求椭圆的方程第31页返回导航 数学 解：若焦点在 x 轴上，设椭圆方程为x2a2y2b21，则 3a2 5b21b2a2 925，a21529，b215225.
12、所求椭圆方程为9x215225y21521.第32页返回导航 数学 若焦点在 y 轴上，设椭圆方程为y2a2x2b21，则 5a2 3b21，b2a2 925，a2403，b2245.故椭圆方程为 340y2 524x21.第33页返回导航 数学 2将本例(2)改为已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴是短轴的 3倍，并且过点 P(3,0)，则椭圆的方程为_第34页返回导航 数学 解析：若焦点在 x 轴上，设方程为x2a2y2b21(ab0)，椭圆过 P(3,0)，32a202b21，解得 a3，又 2a32b，b1，椭圆方程为x29y21.若焦点在 y 轴上，设方程为y2a2x2b21(ab0)椭
13、圆过点 P(3,0)02a232b21，解得 b3.第35页返回导航 数学 又 2a32b，a9，椭圆方程为y281x291.所求椭圆的方程为x29y21 或y281x291.第36页返回导航 数学 答案：x29y21 或y281x291第37页返回导航 数学 3将本例(3)改为若椭圆短轴的一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为 1，则椭圆的标准方程为_第38页返回导航 数学 解析：由题意可知ca12，ac1，c1，a2，b2a2c23.椭圆方程为x24y231 或x23y241.第39页返回导航 数学 答案：x24y231 或x23y241第40页返回导航 数学 考点三
14、椭圆的几何性质命题点1.求椭圆的几何性质2.利用椭圆的几何性质求方程第41页返回导航 数学 例 3(1)(2016高考全国丙卷)已知 O 为坐标原点，F 是椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的左焦点，A，B 分别为 C 的左、右顶点P为 C 上一点，且 PFx 轴过点 A 的直线 l 与线段 PF 交于点 M，与y轴交于点E.若直线 BM经过OE的中点，则C 的离心率为()A.13 B.12C.23D.34第42页返回导航 数学 解析：法一：设点 M(c，y0)，OE 的中点为 N，则直线 AM 的斜率 k y0ac，从而直线 AM 的方程为 y y0ac(xa)，令 x0，得点 E 的纵
15、坐标 yE ay0ac.同理，OE 的中点 N 的纵坐标 yN ay0ac.因为 2yNyE，所以 2ac 1ac，即 2a2cac，所以 eca13.故选 A.第43页返回导航 数学 法二：如图，设 OE 的中点为 N，由题意知|AF|ac，|BF|ac，|OF|c，|OA|OB|a，PFy 轴，|MF|OE|AF|AO|aca，|MF|ON|BF|OB|aca，又|MF|OE|MF|2|ON|，即aca ac2a，a3c，故 eca13.答案：A第44页返回导航 数学(2)已知椭圆 E：x2a2y2b21(ab0)的右焦点为 F，短轴的一个端点为 M，直线 l：3x4y0 交椭圆 E 于
16、A，B 两点若|AF|BF|4，点 M 到直线 l 的距离不小于45，则椭圆 E 的离心率的取值范围是()A.0，32B.0，34C.32，1D.34，1第45页返回导航 数学 解析：根据椭圆的对称性及椭圆的定义可得 A，B 两点到椭圆左、右焦点的距离为 4a2(|AF|BF|)8，所以 a2.又 d|304b|3242 45，所以 1b2，所以 eca1b2a21b24.因为 1b2，所以 0e 32.答案：A第46页返回导航 数学(3)设 F1，F2 分别是椭圆 E：x2y2b21(0b1)的左、右焦点，过点 F1 的直线交椭圆 E 于 A，B 两点，若|AF1|3|F1B|，AF2x 轴
17、，则椭圆 E 的方程为_第47页返回导航 数学 解析：不妨设点 A 在第一象限，AF2x 轴，A(c，b2)(其中 c21b2,0b1，c0)又|AF1|3|F1B|，由AF1 3F1B 得B5c3，b23，代入 x2y2b21得25c29 b49b21，又 c21b2，b223.故椭圆 E 的方程为 x232y21.第48页返回导航 数学 答案：x232y21第49页返回导航 数学 方法引航 1求解与椭圆几何性质有关的问题时要结合图形进行分析，既不画出图形，思考时也要联想到图形.当涉及到顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.2求椭圆离心率问题
18、，应先将 e 用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于 e 的等式或不等式，从而求出 e 的值或范围.离心率 e 与 a、b 的关系；e2c2a2a2b2a21b2a2ba(b,a)1e2.第50页返回导航 数学 1(2017贵州七校联考)以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积的最大值为 1，则椭圆长轴长的最小值为()A1 B.2C2 D2 2第51页返回导航 数学 解析：选 D.设 a，b，c 分别为椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距，依题意知，当三角形的高为 b 时面积最大，所以122cb1，bc1，而 2a2 b2c22 2bc2 2(当且仅当 bc1 时取等号)，故选
19、D.第52页返回导航 数学 2(2017辽宁五校联考)椭圆 M：x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点分别为 F1、F2，P 为椭圆 M 上任一点，且|PF1|PF2|的最大值的取值范围是2c2,3c2，其中 c a2b2.则椭圆 M 的离心率 e 的取值范围是()A.33，22B.22，1C.33，1D.13，12第53页返回导航 数学 解 析：选 A.|PF1|PF2|PF1|PF2|22 2a22 a2，2c2a23c2，2a2c23，13e212，解得 33 e 22.第54页返回导航 数学 3已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点为 F1、F2，离心率为 33，过
20、F2 的直线 l 交 C 于 A、B 两点若AF1B 的周长为4 3，则 C 的方程为()A.x23y221 B.x23y21C.x212y281 D.x212y241第55页返回导航 数学 解析：选 A.由椭圆的性质知|AF1|AF2|2a，|BF1|BF2|2a，AF1B 的周长|AF1|AF2|BF1|BF2|4 3，a 3.又e 33，c1.b2a2c22，椭圆的方程为x23y221.第56页返回导航 数学 考点四 直线与椭圆的位置关系命题点1.利用位置关系求参数2.利用直线与椭圆相交研究弦长问题第57页返回导航 数学 例 4(1)在椭圆x216y241 内，通过点 M(1,1)，且被
21、这点平分的弦所在的直线方程为()Ax4y50 Bx4y50C4xy50 D4xy50第58页返回导航 数学 解 析：设 直 线 与 椭 圆 交 点 为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x2116y2141，x2216y2241，由，得x1x2x1x216y1y2y1y240，第59页返回导航 数学 因x1x22，y1y22，所以y1y2x1x2 4x1x216y1y214，所以所求直线方程为 y114(x1)，即 x4y50.答案：A第60页返回导航 数学(2)(2016高考全国甲卷)已知 A 是椭圆 E：x24y231 的左顶点，斜率为 k(k0)的直线交 E 于 A，M 两点，点 N
22、 在 E 上，MANA.当|AM|AN|时，求AMN 的面积；当 2|AM|AN|时，证明：3k2.第61页返回导航 数学 解：设 M(x1，y1)，则由题意知 y10.由已知及椭圆的对称性知，直线 AM 的倾斜角为4.又 A(2,0)，因此直线 AM 的方程为 yx2.将 xy2 代入x24y231 得 7y212y0.解得 y0 或 y127，所以 y1127.因此AMN 的面积 SAMN212127 127 14449.第62页返回导航 数学 证明：将直线 AM 的方程 yk(x2)(k0)代入x24y231 得(34k2)x216k2x16k2120.由 x1(2)16k21234k2
23、 得 x1234k234k2，故|AM|x12|1k212 1k234k2.由题意设直线 AN 的方程为 y1k(x2)，第63页返回导航 数学 故同理可得|AN|12k 1k23k24.由 2|AM|AN|得234k2k3k24，即 4k36k23k80.设 f(t)4t36t23t8，则 k 是 f(t)的零点，f(t)12t212t33(2t1)20，所以 f(t)在(0，)内单调递增又 f(3)15 3260，f(2)60，因此 f(t)在(0，)内有唯一的零点，且零点 k 在(3，2)内，所以 3k2.第64页返回导航 数学 规范答题椭圆的方程与性质典例(2017河北保定调研)(本题
24、满分 12 分)已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)中，ab 21，以原点为圆心，椭圆的长半轴长为半径的圆与直线 xy20 相切(1)求椭圆 C 的方程；第65页返回导航 数学(2)若过点 M(2,0)的直线与椭圆 C 相交于两点 A，B，|AB|2 53，设 P 为椭圆上一点，且满足OA OB tOP(O 为坐标原点)，求实数 t 的值第66页返回导航 数学 规范解答(1)由题易得 a|002|2 22 2，又 ab 21，a22，b21.故椭圆 C 的方程为x22y21.4 分(2)由题意知，直线 AB 的斜率存在，设直线 AB 的方程为 yk(x2).5 分显然，当 k0 时，|A
25、B|2 2与已知不符，k0.6 分设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x，y)，第67页返回导航 数学 由 ykx2x22y21得(12k2)x28k2x8k220.64k44(12k2)(8k22)0，k212，8 分x1x2 8k212k2，x1x28k2212k2.|AB|2 53，1k2|x1x2|2 53，第68页返回导航 数学(1k2)(x1x2)24x1x2209，(4k21)(14k213)0，即 k214.10 分又(x1x2，y1y2)t(x，y)，且 k0，即 t0，xx1x2t8k2t12k2，yy1y2t1tk(x1x2)4k4kt12k2.点 P 在椭圆上，
26、8k22t212k222 4k2t212k222，又 k214，t2 63.12 分第69页返回导航 数学 规范建议 第一步中，必须有明显求 a、b 的过程及结果第四步中，要写出判别式及根与系数的关系，这是下面转化的依据第五步到第七步，根据题意条件，建立 t 与 k 的关系，最终求出 t值第70页返回导航 数学 高考真题体验1(2016高考全国乙卷)直线 l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到 l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为()A.13 B.12C.23D.34第71页返回导航 数学 解析：选 B.由椭圆的对称性，不妨令直线 l 经过椭圆的上顶点 A和右焦点 F，则|O
27、A|b，|OF|c，|AF|a，所以点 O 到直线 l 的距离为bca.故bca 142b，所以 eca12.故选 B.第72页返回导航 数学 2(2015高考课标卷)已知椭圆 E 的中心在坐标原点，离心率为12，E 的右焦点与抛物线 C：y28x 的焦点重合，A，B 是 C 的准线与 E 的两个交点，则|AB|()A3 B6C9D12第73页返回导航 数学 解析：选 B.抛物线 C：y28x 的焦点坐标为(2,0)，准线方程为x2.从而椭圆E的半焦距c2.可设椭圆E的方程为x2a2y2b21(ab0)，因为离心率 eca12，所以 a4，所以 b2a2c212.由题意知|AB|2b2a 21
28、24 6.故选 B.第74页返回导航 数学 3(2013高考课标卷)设椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点分别为 F1、F2，P 是 C 上的点，PF2F1F2，PF1F230，则C 的离心率为()A.36B.13C.12D.33第75页返回导航 数学 解析：选 D.在 RtPF2F1 中，令|PF2|1，因为PF1F230，所以|PF1|2，|F1F2|3.所以 e2c2a|F1F2|PF1|PF2|33.故选 D.第76页返回导航 数学 4(2014高考课标卷)设 F1，F2 分别是椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点，M 是 C 上一点且 MF2 与 x 轴垂
29、直，直线 MF1与 C 的另一个交点为 N.(1)若直线 MN 的斜率为34，求 C 的离心率；(2)若直线 MN 在 y 轴上的截距为 2，且|MN|5|F1N|，求 a，b.第77页返回导航 数学 解：(1)根据 c a2b2及题设知 Mc，b2a，2b23ac.将 b2a2c2 代入 2b23ac，解得ca12或ca2(舍去)故 C 的离心率为12.第78页返回导航 数学(2)由题意，知原点 O 为 F1F2 的中点，MF2y 轴，所以直线 MF1与 y 轴的交点 D(0,2)是线段 MF1 的中点，故b2a 4，即 b24a，由|MN|5|F1N|得|DF1|2|F1N|.设 N(x1，y1)，由题意知 y10，则2cx1c，2y12，即x132c，y11.第79页返回导航 数学 代入 C 的方程，得9c24a2 1b21.将及 c a2b2代入得9a24a4a2 14a1.解得 a7，b24a28.故 a7，b2 7.第80页返回导航 数学 课时规范训练