1、第1页返回导航 数学 考点典例领航 智能提升返航 课时规范训练 第2页返回导航 数学 第12课时 导数的综合应用第3页返回导航 数学 考点一 利用导数研究函数的零点(方程根)命题点1.证明、判断函数零点(个数)2.已知函数零点(个数)求参数第4页返回导航 数学 例 1 已知函数 f(x)x33x2ax2，曲线 yf(x)在点(0,2)处的切线与 x 轴交点的横坐标为2.(1)求 a；(2)证明：当 k1 时，曲线 yf(x)与直线 ykx2 只有一个交点第5页返回导航 数学 解：(1)f(x)3x26xa，f(0)a.由题设得2a2，所以 a1.(2)证明：由(1)知，f(x)x33x2x2.
2、设 g(x)f(x)kx2x33x2(1k)x4.由题设知 1k0.当 x0 时，g(x)3x26x1k0，g(x)单调递增，g(1)k10，g(0)4，所以 g(x)0 在(，0上有唯一实根第6页返回导航 数学 当 x0 时，令 h(x)x33x24，则 g(x)h(x)(1k)xh(x)h(x)3x26x3x(x2)，h(x)在(0,2)上单调递减，在(2，)上单调递增，所以 g(x)h(x)h(2)0.所以 g(x)0 在(0，)上没有实根综上，g(x)在 R 上有唯一实根，即曲线 yf(x)与直线 ykx2 只有一个交点第7页返回导航 数学 例 2 已知 x1 是函数 f(x)13ax
3、332x2(a1)x5 的一个极值点(1)求函数 f(x)的解析式；(2)若曲线 yf(x)与直线 y2xm 有三个交点，求实数 m 的取值范围第8页返回导航 数学 解：(1)f(x)ax23xa10，由 f(1)0，得 a1，y13x332x22x5.(2)曲线 yf(x)与直线 y2xm 有三个交点，即 g(x)13x332x22x52xm0 有三个根，即有 3 个零点由 g(x)x23x0 得 x0 或 x3.由 g(x)0 得 x0 或 x3，由 g(x)0 得 0 x3.第9页返回导航 数学 函数 g(x)在(，0)上为增函数，在(0,3)上为减函数，在(3，)上为增函数，要使 g(
4、x)有三个零点，只需g00，g30，解得：12m5.即实数 m 的取值范围为12，5.第10页返回导航 数学 方法引航 用导数研究函数的零点，一方面用导数判断函数的单调性，借助零点存在性定理判断；另一方面，也可将零点问题转化为函数图象的交点问题，利用数形结合来解决.第11页返回导航 数学 1已知函数 f(x)x3ax2bxc 有两个极值点 x1，x2，若 f(x1)x1x2，则关于 x 的方程 3(f(x)22af(x)b0 的不同实根个数为()A3 B4C5 D6第12页返回导航 数学 解析：选 A.f(x)3x22axb，令 f(x)0，得 xx1 或 xx2，令 tf(x)，则方程为 3
5、t22atb0，由题意知 tx1 或 tx2，f(x)x1 有两解 x1，f(x)x2 有一解，方程 3f(x)22af(x)b0 有不同实根共 3 个第13页返回导航 数学 2若函数 f(x)x33xa 有三个不同的零点，则实数 a 的取值范围是_第14页返回导航 数学 解析：由 f(x)x33xa0，得 f(x)3x23，由 f(x)3x230，得 x1，f 极大值(1)2a，f 极小值(1)a2，要使函数f(x)x33xa 有三个不同的零点，则有 f 极大值(1)2a0，f极小值(1)a20，即2a2，所以实数 a 的取值范围是(2,2)答案：(2,2)第15页返回导航 数学 考点二 利
6、用导数与函数的关系解决不等式问题命题点1.比较函数值大小2.解不等式3.证明不等式4.不等式恒成立求参数第16页返回导航 数学 例 3(1)函数 f(x)在定义域 R 内可导，若 f(x)f(2x)，且当 x(，1)时，(x1)f(x)0，设 af(0)，bf12，cf(3)，则()Aabc BcbaCcabDbca第17页返回导航 数学 解析：依题意得，当 x1 时，f(x)0，f(x)为增函数；又 f(3)f(1)，且10121，因此有 f(1)f(0)f12，即有 f(3)f(0)f12，cab.答案：C第18页返回导航 数学(2)函数 f(x)的定义域为 R，f(1)2，对任意 xR，
7、f(x)2，则 f(x)2x4 的解集为()A(1,1)B(1，)C(，1)D(，)第19页返回导航 数学 解析：设 F(x)f(x)(2x4)，则 F(1)f(1)(24)220，F(x)f(x)2，对任意 xR，有 F(x)f(x)20，即函数 F(x)在 R 上单调递增，则 F(x)0 的解集为(1，)，即 f(x)2x4 的解集为(1，)答案：B第20页返回导航 数学 例 4(2017河北唐山一模)已知 f(x)(1x)ex1.(1)求函数 f(x)的最大值；(2)设 g(x)fxx，x1，且 x0，证明：g(x)1.第21页返回导航 数学 解：(1)f(x)xex.当 x(，0)时，
8、f(x)0，f(x)单调递增；当 x(0，)时，f(x)0，f(x)单调递减所以 f(x)的最大值为 f(0)0.(2)证明：由(1)知，当 x0 时，f(x)0，g(x)01.当1x0 时，g(x)1 等价于 f(x)x.设 h(x)f(x)x，则 h(x)xex1.第22页返回导航 数学 当 x(1,0)时，0 x1,0ex1，则 0 xex1，从而当 x(1,0)时，h(x)0，h(x)在(1,0上单调递减当1x0 时，h(x)h(0)0，即 g(x)1.综上，总有 g(x)1.第23页返回导航 数学 例 5 已知函数 f(x)m(x1)exx2(mR)(1)若 m1，求函数 f(x)的
9、单调区间；(2)若对任意的 x0，不等式 x2(m2)xf(x)恒成立，求 m 的取值范围第24页返回导航 数学 解：(1)m1 时，f(x)(1x)exx2，则 f(x)x(2ex)，由 f(x)0，得 0 xln 2，由 f(x)0，得 x0 或 xln 2，故函数的增区间为(0，ln 2)，减区间为(，0)，(ln 2，)(2)f(x)mxex2m x2(m2)x，即：mxexx2mx0.x0，mexxm0.令 h(x)mexxm，则 h(x)mex1，当 m0 时，h(x)在 x0 时为减函数，h(x)h(0)0.第25页返回导航 数学 当 0m1 时，h(x)在 x0 时为减函数，h
10、(x)h(0)0.当 m1 时，h(x)在(，ln m)上为减函数，在(ln m,0)上为增函数，h(ln m)h(0)0，不合题意综上：m1.第26页返回导航 数学 方法引航 1.利用导数研究方程的根(函数的零点)的策略研究方程的根或曲线的交点个数问题，可构造函数，转化为研究函数的零点个数问题可利用导数研究函数的极值、最值、单调性、变化趋势等，从而画出函数的大致图象，然后根据图象判断函数的零点个数2已知不等式在某一区间上恒成立，求参数的取值范围：一般先分离参数，再转化为求函数在给定区间上的最值问题求解；若不能分离，则构造函数，利用函数的性质求最值第27页返回导航 数学 3利用导数方法证明不等
11、式 f(x)g(x)在区间 D 上恒成立的基本方法是构造函数 h(x)f(x)g(x)，然后根据函数的单调性，或者函数的最值证明函数 h(x)0，其中一个重要技巧就是找到函数 h(x)在什么地方可以等于零，这往往就是解决问题的一个突破口第28页返回导航 数学 1已知 f(x)1xsin x，则 f(2)，f(3)，f()的大小关系正确的是()Af(2)f(3)f()Bf(3)f(2)f()Cf(2)f()f(3)Df()f(3)f(2)第29页返回导航 数学 解析：选 D.因为 f(x)1xsin x，所以 f(x)1cos x，当 x(0，时，f(x)0.所以 f(x)在(0，上是增函数，所
12、以 f()f(3)f(2)第30页返回导航 数学 2已知 f(x)sin x2x，xR，且 f(1a)f(2a)0，则 a 的取值范围是_第31页返回导航 数学 解析：由 f(x)sin x2x，xR，得 f(x)cos x20，f(x)在(，)上递增且是奇函数，由 f(1a)f(2a)0，即f(2a)f(a1)，2aa1，a1.答案：(，1)第32页返回导航 数学 3当 0 x2时，求证：tan xxx33.第33页返回导航 数学 证明：设 f(x)tan xxx33.则 f(x)1cos2x1x2tan2xx2(tan xx)(tan xx)因为 0 x2，所以 xtan x(简单进行证明
13、亦可)，所以 f(x)0，即 x0，2 时，f(x)为增函数第34页返回导航 数学 所以 x0，2 时，f(x)f(0)而 f(0)0，所以 f(x)0，即 tan xxx33 0.故 tan xxx33.第35页返回导航 数学 4设函数 f(x)a2ln xx2ax，a0.(1)求 f(x)的单调区间；(2)求所有的实数 a，使 e1f(x)e2 对 x1，e恒成立(注：e为自然对数的底数)第36页返回导航 数学 解：(1)因为 f(x)a2ln xx2ax，其中 x0，所以 f(x)a2x 2xaxa2xax.由于 a0，所以 f(x)的递增区间为(0，a)，递减区间为(a，)(2)要使
14、e1f(x)e2 对 x1，e恒成立，则 f(1)e1，得 a1e1，ae，由(1)知 f(x)在1，e内递增，只要f1a1e1，fea2e2aee2，解得 ae.第37页返回导航 数学 考点三 利用导数研究生活中的优化问题命题点利用导数解决实际问题中的最值第38页返回导航 数学 例 6 某种产品每件成本为 6 元，每件售价为 x 元(x6)，年销售为 u 万件，若已知5858 u 与x2142 成正比，且售价为 10 元时，年销量为 28 万件(1)求年销售利润 y 关于售价 x 的函数关系式；(2)求售价为多少时，年利润最大，并求出最大年利润第39页返回导航 数学 解：(1)设5858 u
15、kx2142.售价为 10 元时，年销量为 28 万件，5858 28k102142，解得 k2，u2x21425858 2x221x18.y(2x221x18)(x6)2x333x2108x108(x6)第40页返回导航 数学(2)y6x266x1086(x211x18)6(x2)(x9)令 y0，得 x2(x6，舍去)或 x9，显然，当 x(6,9)时，y0；当 x(9，)时，y0，函数 y2x333x2108x108 在(6,9)上是增加的；在(9，)上是减少的，当 x9 时，y 取最大值，且 ymax135，售价为 9 元时，年利润最大，最大年利润为 135 万元第41页返回导航 数学
16、 方法引航 利用导数解决生活中优化问题的一般步骤.1分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系 yfx，根据实际意义确定定义域；2求函数 yfx的导数 fx，解方程 fx0 得出定义域内的实根，确定极值点；3比较函数在区间端点和极值点处的函数值大小，获得所求的最大小值；4还原到原实际问题中作答.第42页返回导航 数学 电动自行车的耗电量 y 与速度 x 之间有关系 y13x3392 x240 x(x0)，为使耗电量最小，则速度应定为_第43页返回导航 数学 解析：由 yx239x400，得 x1 或 x40，由于 0 x40 时，y0；当 x40 时
17、，y0.所以当 x40 时，y 有最小值答案：40第44页返回导航 数学 思想方法数学思想方法的应用函数与方程思想，转化与化归思想典例 已知函数 f(x)12x2aln x.(1)若 a1，求函数 f(x)的极值，并指出是极大值还是极小值；(2)若 a1，求函数 f(x)在1，e上的最大值和最小值；(3)若 a1，求证：在区间1，)上，函数 f(x)的图象在函数 g(x)23x3 的图象的下方第45页返回导航 数学 审题路线图求 f(x)的极值(从结论出发向条件转化，注意隐含条件定义域)求 f(x)0 的解，即 f(x)的极值点(转化为求函数值)将极值点代入 f(x)求对应的极大、极小值(转化
18、为研究单调性)求 f(x)在1，e上的单调性(转化为求函数值)第46页返回导航 数学 比较端点值、极值，确定最大、最小值(构造函数进行转化)F(x)f(x)g(x)(将图象的上、下关系转化为数量关系)求证 F(x)0 在1，)上恒成立研究函数 F(x)在1，)上的单调性第47页返回导航 数学 解(1)由于函数 f(x)的定义域为(0，)，当 a1 时，f(x)x1xx1x1x，令 f(x)0 得 x1 或 x1(舍去)，当 x(0,1)时，函数 f(x)单调递减，当 x(1，)时，函数 f(x)单调递增，所以 f(x)在 x1 处取得极小值为12.第48页返回导航 数学(2)当 a1 时，易知
19、函数 f(x)在1，e上为增函数，f(x)minf(1)12，f(x)maxf(e)12e21.(3)证明：设 F(x)f(x)g(x)12x2ln x23x3，则 F(x)x1x2x21x1x2x2x，当 x1 时，F(x)0，第49页返回导航 数学 故 f(x)在区间1，)上是减函数，又 F(1)160，在区间1，)上，F(x)0 恒成立即 f(x)g(x)恒成立因此，当 a1 时，在区间1，)上，函数 f(x)的图象在函数 g(x)图象的下方第50页返回导航 数学 高考真题体验1(2014高考课标全国卷)已知函数 f(x)ax33x21，若 f(x)存在唯一的零点 x0，且 x00，则
20、a 的取值范围是()A(2，)B(1，)C(，2)D(，1)第51页返回导航 数学 解析：选 C.a0 时，不符合题意a0 时，f(x)3ax26x，令 f(x)0，得 x10，x22a.若 a0，则由图象知 f(x)有负数零点，不符合题意则 a0，由图象结合 f(0)10 知，此时必有 f2a 0，即 a 8a33 4a210，化简得 a24，又 a0，所以 a2，故选 C.第52页返回导航 数学 2(2016高考全国甲卷)已知函数 f(x)(x1)ln xa(x1)(1)当 a4 时，求曲线 yf(x)在(1，f(1)处的切线方程；(2)若当 x(1，)时，f(x)0，求 a 的取值范围第
21、53页返回导航 数学 解：(1)f(x)的定义域为(0，)当 a4 时，f(x)(x1)ln x4(x1)，f(x)ln x1x3，f(1)2，f(1)0.曲线 yf(x)在(1，f(1)处的切线方程为 2xy20.(2)当 x(1，)时，f(x)0 等价于 ln xax1x1 0.设 g(x)ln xax1x1，则g(x)1x2ax12x221ax1xx12，第54页返回导航 数学 g(1)0.()当 a2，x(1，)时，x22(1a)x1x22x10，故 g(x)0，g(x)在(1，)上单调递增，因此 g(x)0；()当 a2 时，令 g(x)0 得x1a1 a121，x2a1 a121.
22、由 x21 和 x1x21 得 x11，故当 x(1，x2)时，g(x)0，g(x)在(1，x2)上单调递减，因此 g(x)0.综上，a 的取值范围是(，2第55页返回导航 数学 3(2016高考全国丙卷)设函数 f(x)ln xx1.(1)讨论 f(x)的单调性；(2)证明当 x(1，)时，1x1ln x x；(3)设 c1，证明当 x(0,1)时，1(c1)xcx.第56页返回导航 数学 解：(1)由题设知，f(x)的定义域为(0，)，f(x)1x1，令 f(x)0，解得 x1.当 0 x1 时，f(x)0，f(x)单调递增；当 x1 时，f(x)0，f(x)单调递减(2)证明：由(1)知
23、 f(x)在 x1 处取得最大值，最大值为 f(1)0.所以当 x1 时，ln xx1.故当 x(1，)时，ln xx1，ln1x1x1，即 1x1ln x x.第57页返回导航 数学(3)证明：由题设 c1，设 g(x)1(c1)xcx，则 g(x)c1cxln c，令 g(x)0，解得 x0lnc1ln cln c.当 xx0 时，g(x)0，g(x)单调递增；当 xx0 时，g(x)0，g(x)单调递减第58页返回导航 数学 由(2)知 1c1ln c c，故 0 x01.又 g(0)g(1)0，故当 0 x1 时，g(x)0.所以当 x(0,1)时，1(c1)xcx.第59页返回导航
24、数学 4(2013高考课标全国卷)已知函数 f(x)exln(xm)(1)设 x0 是 f(x)的极值点，求 m，并讨论 f(x)的单调性；(2)当 m2 时，证明：f(x)0.第60页返回导航 数学 解：(1)由题意，得 f(x)ex1xm.由 x0 是 f(x)的极值点，得 f(0)0，m1.f(x)exln(x1)，定义域为(1，)令 g(x)f(x)ex 1x1，则 g(x)ex1x120，f(x)ex 1x1在(1，)上单调递增，且 f(0)0.因此，当 x(1,0)时，f(x)0；当 x(0，)时，f(x)0.f(x)在(1,0)上单调递减，在(0，)上单调递增第61页返回导航 数学(2)证明：当 m2，x(m，)时，ln(xm)ln(x2)，故只需证明当 m2 时，f(x)0.当 m2 时，函数 f(x)ex 1x2在(2，)上单调递增又 f(1)0，f(0)0，故 f(x)0 在(2，)上有唯一实根 x0，且 x0(1,0)当 x(2，x0)时，f(x)0；当 x(x0，)时，f(x)0，从而当 xx0 时，f(x)取得最小值第62页返回导航 数学 由 f(x0)0，得 ex01x02，ln(x02)x0，故 f(x)f(x0)1x02x0 x012x02 0.综上，当 m2 时，f(x)0.第63页返回导航 数学 课时规范训练