1、青岛西海岸新区高中4月模拟试题数 学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，集合，则=( )A (2,+) B C D(3,+)2. 已知复数，则复数z的虚部是（ ）A. 4i B. 2i C. 2 D. 43已知向量、均为非零向量，则、的夹角为（ ）A B C D4中国当代数学著作算法统宗中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”其意思为；“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请
2、问第一天走了（ ）A24里B48里 C96里 D192里5 在中，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若，且ab,则( )A B C D6 过抛物线的焦点F作倾斜角为的直线交抛物线于A,B两点，且,则( )A. 2 B3 C D7.考古发现，在埃及金字塔内有一组神秘的数字，因为，所以这组数字又叫走马灯数.该组数字还有如下规律：，若从，这个数字中任意取出个数字构成一个三位数，则的结果恰好是剩下个数字构成的一个三位数的概率为（ ）A. B. C. D. 8如图所示的三棱柱，其中，若，当四棱锥体积最大时，三棱柱外接球的体积为（ ）A B C D二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
3、在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。9.习总书记讲到：“广大人民群众坚持爱国奉献,无怨无悔,让我感到千千万万普通人最伟大,同时让我感到幸福都是奋斗出来的”.某企业年个月的收入与支出数据的折线图如下：已知：利润收入支出,根据该折线图,下列说法正确的是（ ）A. 该企业年月至月的总利润低于年月至月的总利润B. 该企业年第一季度的利润约是万元C. 该企业年月至月的月利润持续增长 D. 该企业年月份的月利润最大10.声音是由物体振动产生的声波,其中包含着正弦函数.纯音的数学模型是函数,我们听到的声音是由纯音合成的,称之为复合音.若一个复合音的数
4、学模型是函数,则下列结论正确的是（ ）A. 是的一个周期B. 在上有个零点C. 的最大值为D. 在上是增函数11.在平面直角坐标系中，如图放置的边长为的正方形沿轴滚动（无滑动滚动），点恰好经过坐标原点，设顶点的轨迹方程是，则对函数的判断正确的是( )A. 函数是奇函数 B. 对任意的，都有C. 函数的值域为 D. 函数在区间上单调递增12如图,正方形中,分别是的中点将分别沿折起,使重合于点.则下列结论正确的是（ ）A B平面C二面角的余弦值为 D点在平面上的投影是的外心三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13设f(x)是定义在R上的奇函数，且满足，则_14已知的展开式中的系数为24
5、，则_15双曲线的左焦点为，过点作斜率为的直线与轴及双曲线的右支分别交于两点，若，则双曲线的离心率为 16已知函数，数列中，则数列的前100项之和_四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在各项均不相等的等差数列中，且，成等比数列，数列的前n项和（1）求数列、的通项公式；（2）设，求数列的前n项和18.在,这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并解决该问题.已知的内角,的对边分别为,_,求的面积.19.改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变。近年来，移动支付已成为主要支付方式之一。为了解某校学生上个月A,B两种移动支付方式的使用情况，从全校学生
6、中随机抽取了100人，发现样本中A,B两种支付方式都不使用的有5人，样本仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：（）从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A,B两个支付方式都使用的概率；（）从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1人，以X表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数，求X的分布列和数学期望；（）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化，现从样本仅使用A的学生中，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额大于2000元。根据抽查结果，能否认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由。20.已知ABC的各边长为3，点D，E分别是AB，BC上
7、的点，且满足，D为AB的三等分点（靠近点A），(如图(1)，将ADE沿DE折起到A1DE的位置，使二面角A1DEB的平面角为90，连接A1B，A1C(如图(2)(1)求证：A1D平面BCED；(2)在线段BC上是否存在点P，使直线PA1与平面A1BD所成的角为60？若存在，求出PB的长；若不存在，请说明理由21.如图：在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为 ，点在椭圆C上，是椭圆C上的一点，从原点O向圆作两条切线，分别交椭圆于P,Q.(1) 求椭圆C 的方程；(2) 若直线OP,OQ的斜率存在，并记为，求的值；(3) 试问是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由。22. 已知函数(1) 求
8、的极值；(2) 若对任意的均成立，求K的取值范围；(3) 已知且，求证：青岛西海岸新区高中4月模拟试题数学答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.A 2.D 3. B 4.D 5. A 6. B 7.C 8.C二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。9. AC 10.ABC 11. BCD 12.ABC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 0 14. 1或 15. 16. 四、解答题：本题共6小题，共7
9、0分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.解:（1）设数列的公差为d，则，成等比数列， ，即，整理得，解得（舍去）或，. .3分当时，当时，验证：当时，满足上式，数列的通项公式为 .6分（2）由（1）得， .7分.8分. .12分18.解：（1）若选择,由余弦定理,.4分因为,所以;.5分由正弦定理,得,.7分因为,所以,.8分所以10分所以.12分（2）若选择,则,.3分因为,所以,.4分因为,所以;.5分由正弦定理,得,.7分因为,所以,.8分所以,.10分所以.12分（3）若选择,则,所以,.3分因为,所以,所以,所以;.5分由正弦定理,得,.7分因为,所以,.8分所以,.10
10、分所以.12分19. 解：（）由题意知，样本中仅使用A的学生有18+9+3=30人，仅使用B的学生有10+14+1=25人，A，B两种支付方式都不使用的学生有5人.故样本中A，B两种支付方式都使用的学生有10030255=40人.2分所以从全校学生中随机抽取1人，该学生上个月A，B两种支付方式都使用的概率估计为.4分（）X的所有可能值为0，1，2.记事件C为“从样本仅使用A的学生中随机抽取1人，该学生上个月的支付金额大于1000元”，事件D为“从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，该学生上个月的支付金额大于1000元”.由题设知，事件C，D相互独立，且.所以，.5分=0.4（10.6）+（10.
11、4）0.6=0.52，.6分.7分所以X的分布列为X012P0.240.520.24故X的数学期望E（X）=00.24+10.52+20.24=1.9分（）记事件E为“从样本仅使用A的学生中随机抽查3人，他们本月的支付金额都大于2000元”.假设样本仅使用A的学生中，本月支付金额大于2000元的人数没有变化，则由上个月的样本数据得.10分答案示例1：可以认为有变化.理由如下：P（E）比较小，概率比较小的事件一般不容易发生.一旦发生，就有理由认为本月的支付金额大于2000元的人数发生了变化.所以可以认为有变化.12分答案示例2：无法确定有没有变化.理由如下：事件E是随机事件，P（E）比较小，一般
12、不容易发生，但还是有可能发生的，所以无法确定有没有变化.12分20.(1)证明由图(1)可得：AE2，AD1，A60.从而DE 2分故得AD2DE2AE2，ADDE，BDDE.A1DDE，BDDE， A1DB为二面角A1DEB的平面角， 4分又二面角A1DEB为直二面角，A1DB90，即A1DDB，DEDBD且DE，DB平面BCED，A1D平面BCED. 6分 (2)存在由(1)知EDDB，A1D平面BCED.以D为坐标原点，以射线DB、DE、DA1分别为x轴、y轴、z轴的正半轴建立空间直角坐标系Dxyz，如图，过P作PHDE交BD于点H，设PB2a(02a3)，则BHa，PHa，DH2a，易
13、知A1(0，0，1)，P(2a，a，0)，E(0，0)，所以(a2，a，1)因为ED平面A1BD，所以平面A1BD的一个法向量为(0，0)8分因为直线PA1与平面A1BD所成的角为60，所以sin 60，解得a. PB2a，满足02a3，符合题意11分所以在线段BC上存在点P，使直线PA1与平面A1BD所成的角为60，此时PB. -12分21.解：（1）因为离心率为，所以，所以，.1分椭圆方程可化为，代入点得.2分所以椭圆方程为.3分（2） 因为直线和都与圆R相切，所以，.4分所以是方程的两根.5分所以-6分因为点在椭圆上所以-7分所以-8分（3）当直线OP、OQ不落在坐标轴上时，设，联立得，-9分所以，同理因为所以-10分所以-11分当直线OP、OQ落在坐标轴上时，显然有综上，-12分22.解：（1）-1分得，得-3分所以在单调递增，在单调递减所以有极大值，无极小值-4分（2）即即-5分由（1）知，时，所以此时最大值为-6分所以-7分（3） 因为且所以因为在单调递增所以-8分即，所以-9分同理，所以所以-10分即-11分所以-12分
