1、第五节合情推理与演绎推理【考纲下载】1了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用2了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理3了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异1归纳推理(1)定义：根据一类事物中部分事物具有某种属性，推断该类事物中每一个事物都有这种属性的推理方式(2)特点：是由部分到整体，由个别到一般的推理利用归纳推理得出的结论不一定是正确的2类比推理(1)定义：由于两类不同对象具有某些类似的特征，在此基础上，根据一类对象的其他特征，推断另一类对象也具有类似的其他特征的推理过程(2)特点：是两类事物特征之间的推理利
2、用类比推理得出的结论不一定是正确的3合情推理(1)定义：是根据实验和实践的结果，个人的经验和直觉，已有的事实和正确的结论(定义、公理、定理等)，推测出某些结果的推理方式(2)分类：归纳推理与类比推理4演绎推理演绎推理是根据已知的事实和正确的结论，按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程1归纳推理的结论一定正确吗？提示：不一定，结论是否真实，还需要经过严格的逻辑证明和实践检验2演绎推理所获得的结论一定可靠吗？提示：不一定，只有前提是正确的，推理形式是正确的，结论才一定是真实的，错误的前提则可能导致错误的结论1下列表述正确的是()归纳推理是由部分到整体的推理；归纳推理是由一般到一般的推理；演绎推理是
3、由一般到特殊的推理；类比推理是由特殊到一般的推理；类比推理是由特殊到特殊的推理A BC D解析：选D由归纳推理、类比推理及演绎推理的特征可知正确2下面几种推理是合情推理的是()由圆的性质类比出球的有关性质；由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180，归纳出所有三角形的内角和都是180；某次考试张军成绩是100分，由此推出全班同学成绩都是100分；三角形的内角和是180，四边形的内角和是360，五边形的内角和是540，由此得出凸多边形的内角和是(n2)180.A B C D解析：选C是类比推理，是归纳推理，是非合情推理3“因为指数函数yax是增函数(大前提)，而yx是指数函数(小前提)
4、，所以函数yx是增函数(结论)”，上面推理的错误在于()A大前提错误导致结论错B小前提错误导致结论错C推理形式错误导致结论错D大前提和小前提错误导致结论错解析：选A当a1时，yax为增函数；当0a0)，观察：f1(x)f(x)，f2(x)f(f1(x)，f3(x)f(f2(x)，f4(x)f(f3(x)，根据以上事实，由归纳推理可得：当nN*且n2时，fn(x)f(fn1(x)_.解析：根据题意知，分子都是x，分母中的常数项依次是2,4,8,16，可知fn(x)的分母中常数项为2n，分母中x的系数为2n1，故fn(x)f(fn1(x).答案：2如图的倒三角形数阵满足：第1行的n个数，分别是1,
5、3,5，2n1；从第2行起，各行中的每一个数都等于它肩上的两数之和；数阵共有n行当n2 012时，第32行的第17个数是_解析：每行的第1个数分别是1,4,12,32，记为数列an，它的通项公式为ann2n1，则第32行的第1个数为a32322321236，而在第32行的各个数成等差数列，且公差为232，所以第17个数是236(171)232236242322236237.答案：2373仔细观察下面和的排列规律： ，若依此规律继续下去，得到一系列的和，那么在前120个和中，的个数是_解析：进行分组|，则前n组两种圈的总数是f(n)234(n1)，易知f(14)119，f(15)135，故n14
6、.答案：14考点二类 比 推 理 例2如图所示，面积为S的平面凸四边形的第i条边的边长记为ai(i1,2,3,4)，此四边形内任一点P到第i条边的距离记为hi(i1,2,3,4)，若k，则1h12h23h34h4.类比以上性质，体积为V的三棱锥的第i个面的面积记为Si(i1,2,3,4)，此三棱锥内任一点Q到第i个面的距离记为Hi(i1,2,3,4)，若k，则H12H23H34H4值为() A. B. C. D. 自主解答在平面凸四边形中，连接P点与各个顶点，将其分成四个小三角形，根据三角形面积公式，得S(a1h1a2h2a3h3a4h4)(kh12kh23kh34kh4)(h12h23h34
7、h4)所以h12h23h34h4.类似地，连接Q点与三棱锥的四个顶点，将其分成四个小三棱锥，则有V(S1H1S2H2S3H3S4H4)(kH12kH23kH34kH4)(H12H23H34H4)，所以H12H23H34H4.答案B【方法规律】类比推理的一般步骤(1)找出两类事物之间的相似性或一致性(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)已知数列an为等差数列，若ama，anb(nm1，m，nN*)，则amn.类比等差数列an的上述结论，对于等比数列bn(bn0，nN*)，若bmc，bnd(nm2，m，nN*)，则可以得到bmn_.解析：法一：设数列an的公差为d
8、1，则d1.所以amnamnd1an.类比推导方法可知：设数列bn的公比为q，由bnbmqnm，可知dcqnm，所以q，所以bmnbmqnc.法二：(直接类比)设数列an的公差为d1，数列bn的公比为q，因为等差数列中ana1(n1)d1，等比数列中bnb1qn1，因为amn，所以bmn.答案：考点三演 绎 推 理 例3已知函数f(x)bx，其中a0，b0，x(0，)，试确定f(x)的单调区间，并证明在每个单调区间上的增减性自主解答法一：设0x1x2，则f(x1)f(x2)(x2x1).当0x10，b0，x2x10,0x1x2b，f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，f(x)在上是减
9、函数；当x2x1 0时，x2x10，x1x2，b，f(x1)f(x2)0，即f(x1)0，b0，x(0，)，令f(x)b0(x0)，得x ，当0x 时，b，b0，即f(x)0，f(x)在上是减函数；当x 时，b0，即f(x)0，f(x)在上是增函数【方法规律】应用演绎推理应注意的问题演绎推理是从一般到特殊的推理；其一般形式是三段论，应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，如果前提是显然的，则可以省略已知函数f(x)(xR)(1)判定函数f(x)的奇偶性；(2)判定函数f(x)在R上的单调性，并证明解：(1)对任意xR，有xR，并且f(x)f(x)，所以f(x)是奇函数(2)f(
10、x)在R上单调递增，证明如下：任取x1，x2R，并且x1x2，f(x1)f(x2).x1x2，2x12x20，即2x12x20.又2x110,2x210，0.f(x1)f(x2)f(x)在R上为单调递增函数课堂归纳通法领悟1个区别合情推理与演绎推理的区别(1)归纳是由特殊到一般的推理；(2)类比是由特殊到特殊的推理；(3)演绎推理是由一般到特殊的推理；(4)从推理的结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待证明；若大前提和小前提正确，则演绎推理得到的结论一定正确2个步骤归纳推理与类比推理的步骤(1)归纳推理的一般步骤：(2)类比推理的一般步骤：3个注意点应用合情推理与演绎推理应注意的问题(1)在
11、进行类比推理时要尽量从本质上去类比，不要被表面现象迷惑，如果只抓住一点表面现象的相似甚至假象就去类比，那么就会犯机械类比的错误(2)合情推理是从已知的结论推测未知的结论，发现与猜想的结论都要经过进一步严格证明(3)演绎推理是由一般到特殊的推理，它常用来证明和推理数学问题，注意推理过程的严密性，书写格式的规范性 前沿热点(十一)与归纳推理有关的创新交汇题1归纳推理主要有数与式的归纳推理、图形中的归纳推理、数列中的归纳推理；类比推理主要有运算的类比、性质的类比、平面与空间的类比，题型多为客观题2解决此类问题首先要通过观察特例发现某些相似性(特例的共性或一般规律)；然后把这种相似性推广到一个明确表述
12、的一般命题(猜想)；最后对所得的一般性命题进行检验典例(2013新课标全国卷)设AnBnCn的三边长分别为an，bn，cn，AnBnCn的面积为Sn，n1,2,3，.若b1c1，b1c12a1，an1an，bn1，cn1，则()ASn为递减数列BSn为递增数列CS2n1为递增数列，S2n为递减数列DS2n1为递减数列，S2n为递增数列解题指导先确定三角形的一边长不变及周长不变，利用另两边最接近的时候面积最大等知识求解解析在A1B1C1中，b1c1，b1c12a1，b1a1c1.在A2B2C2中，a2a1，b2，c2，b2c22a1，c1b2a1c2b1.在A3B3C3中，a3a2a1，b3，c
13、3，b3c32a1，a1b3c2，b2c3a1，c1b2c3a1b3c2b1.由归纳知，n越大，两边cn，bn越靠近a1且cnbn2a1，此时面积Sn越来越大，当且仅当cnbna1时，AnBnCn的面积最大答案B名师点评解决本题的关键有以下几点：(1)由条件an1an，确定三角形的一边为固定值(2)由条件可推出b1c1b2c2b3c32a1，进而得出AnBnCn的周长为定值(3)利用“若三角形的一边不变及周长不变，则另外两边越接近，面积越大”推得结论在平面直角坐标系中，若点P(x，y)的坐标x，y均为整数，则称点P为格点若一个多边形的顶点全是格点，则称该多边形为格点多边形格点多边形的面积记为S
14、，其内部的格点数记为N，边界上的格点数记为L.例如图中ABC是格点三角形，对应的S1，N0，L4.(1)图中格点四边形DEFG对应的S，N，L分别是_；(2)已知格点多边形的面积可表示为SaNbLc，其中a，b，c为常数若某格点多边形对应的N71，L18，则S_(用数值作答)解析：(1)由定义知，四边形DEFG由一个等腰直角三角形和一个平行四边形构成，其内部格点有1个，边界上格点有6个，S四边形DEFG3.(2)由待定系数法可得，当N71，L18时，S17118179.答案：(1)3,1,6(2)79全盘巩固1观察(x2)2x，(x4)4x3，(cos x)sin x，由归纳推理可得：若定义在
15、R上的函数f(x)满足f(x)f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(x)()Af(x) Bf(x) Cg(x) Dg(x)解析：选D由所给函数及其导数知，偶函数的导函数为奇函数，因此当f(x)是偶函数时，其导函数应为奇函数，故g(x)g(x)2观察下式：1322135321357421357952据此你可归纳猜想出一般结论为()A135(2n1)n2(nN*)B135(2n1)n2(nN*)C135(2n1)(n1)2(nN*)D135(2n1)(n1)2(nN*)解析：选D观察可见第n行左边有n1个奇数，右边是(n1)2.3已知数列an：，依它的前10项的规律，则a99a100的值为
16、()A. B. C. D.解析：选A通过将数列的前10项分组得到第一组有一个数：，分子、分母之和为2；第二组有两个数：，分子、分母之和为3；第三组有三个数：，分子、分母之和为4；第四组有四个数，依次类推，a99，a100分别是第十四组的第8个数和第9个数，分子、分母之和为15，所以a99，a100.故a99a100.4由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：“mnnm”类比得到“abba”；“(mn)tmtnt”类比得到“(ab)cacbc”；“(mn)tm(nt)”类比得到“(ab)ca(bc)”；“t0，mtxtmx”类比得到“p0，apxpax”；“|mn|m|n|”类比得到“
17、|ab|a|b|”；“”类比得到“”以上的式子中，类比得到的结论正确的个数是()A1 B2 C3 D4解析：选B正确，错误5观察下列事实：|x|y|1的不同整数解(x，y)的个数为4，|x|y|2的不同整数解(x，y)的个数为8，|x|y|3的不同整数解(x，y)的个数为12，则|x|y|20的不同整数解(x，y)的个数为()A76 B80 C86 D92解析：选B通过观察可以发现|x|y|的值为1,2,3时，对应的(x，y)的不同整数解的个数为4,8,12，可推出当|x|y|n时，对应的不同整数解(x，y)的个数为4n，所以|x|y|20的不同整数解(x，y)的个数为80.6设ABC的三边长
18、分别为a、b、c，ABC的面积为S，内切圆半径为r，则r；类比这个结论可知：四面体S ABC的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，内切球的半径为R，四面体S ABC的体积为V，则R()A. B.C. D.解析：选C设三棱锥的内切球球心为O，那么由VVO ABCVO SABVO SACVO SBC，即VS1RS2RS3RS4R，可得R.7观察下列几个三角恒等式：tan 10tan 20tan 20tan 60tan 60tan 101；tan 5tan 100tan 100tan(15)tan(15)tan 51；tan 13tan 35tan 35tan 42tan 42tan 131.
19、一般地，若tan ，tan ，tan 都有意义，你从这三个恒等式中猜想得到的一个结论为_解析：所给三角恒等式都为tan tan tan tan tan tan 1的结构形式，且、之间满足90，所以可猜想当90时，tan tan tan tan tan tan 1.答案：当90时，tan tan tan tan tan tan 18对大于或等于2的正整数的幂运算有如下分解方式：22133213542135723353379114313151719根据上述分解规律，若m213511，p3的分解中最小的正整数是21，则mp_.解析：由2213,32135,421357，可知n2135(2n1)由m2
20、13511，可知m6.易知532123252729，则21是53的分解中最小的正整数，可得p5.故mp11.答案：119我国的刺绣有着悠久的历史，如图所示中的(1)(2)(3)(4)为刺绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形个数越多刺绣越漂亮现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图形包含f(n)个小正方形则f(n)的表达式为_(1) (2)(3) (4)解析：我们考虑f(2)f(1)4，f(3)f(2)8，f(4)f(3)12，结合图形不难得到f(n)f(n1)4(n1)，累加得f(n)f(1)2n(n1)2n22n，故f(n)2n22n1.答案：f(n)2n
21、22n110给出下面的数表序列：表1 表2 表31 1 3 1 3 5 4 4 8 12其中表n(n1,2,3，)有n行，第1行的n个数是1,3，5，2n1，从第2行起，每行中的每个数都等于它肩上的两数之和写出表4，验证表4各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列，并将结论推广到表n(n3)(不要求证明)解：表4为13574812122032它的第1,2,3,4行中的数的平均数分别是4,8,16,32，它们构成首项为4，公比为2的等比数列将这一结论推广到表n(n3)，即表n(n3)各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为n，公比为2的等比数列11某同学在一次研究性学习中发现，以下五个
22、式子的值都等于同一个常数：sin213cos217sin 13cos 17；sin215cos215sin 15cos 15；sin218cos212sin 18cos 12；sin2(18)cos248sin(18)cos 48；sin2(25)cos255sin(25)cos 55.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论解：(1)选择式，计算如下：sin215cos215sin 15cos 151sin 30.(2)归纳三角恒等式sin2cos2(30)sin cos(30).证明如下：sin2cos2(3
23、0)sin cos(30)sin (cos 30cos sin 30sin )cos 2(cos 60cos 2sin 60sin 2)sin cos sin2cos 2cos 2sin 2sin 2(1cos 2)1cos 2cos 2.12定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和，已知数列an是等和数列，且a12，公和为5.求：(1)a18的值；(2)该数列的前n项和Sn.解：(1)由等和数列的定义，数列an是等和数列，且a12，公和为5，易知a2n12，a2n3(n1,2，)，故a183.(2)当n为偶数时
24、，Sna1a2an(a1a3an1)(a2a4an)n；当n为奇数时，SnSn1an(n1)2n.综上所述，Sn冲击名校1如图，一个粒子在第一象限运动，在第一秒内它从原点运动到(0,1)，然后它按图示在x轴、y轴的平行方向运动，且每秒移动一个单位长度，则在第12秒时，这个粒子所处的位置是()A(2,2) B(3,2)C(3,3) D(2,3)解析：选C第一层有(0,1)，(1,1)，(1,0)三个整点(除原点)，共用3秒；第二层有五个整点(2,0)，(2,1)，(2,2)，(1,2)，(0,2)，共用5秒；第三层有七个整点(0,3)，(1,3)，(2,3)，(3,3)，(3,2)，(3,1)，
25、(3,0)，共用7秒则在第12秒时，这个粒子所处的位置是(3,3)2从1开始的自然数按如图所示的规则排列，现有一个三角形框架在图中上下或左右移动，使每次恰有九个数在此三角形内，则这九个数的和可以为()A2 907 B2 111 C2 012 D2 090解析：选C依题意，设位于三角形内的最小数是n，其中n被8除后的余数必是3,4,5,6之一，则这九个数的和等于n3(n8)5(n16)9n104.令9n1042 012，得n212，且n212被8除后的余数是4.高频滚动1若变量x，y满足约束条件则z2xy的最大值和最小值分别为()A4和3 B4和2 C3和2 D2和0解析：选B可行域为直角三角形ABC(如图)，由z2xy，得y2xz，由图象可知，当直线y2xz过点B(2,0)和点A(1,0)时，z分别取到最大值4和最小值2.2设实数x，y满足不等式组若x，y为整数，则3x4y的最小值是()A14 B16 C17 D19解析：选B画出可行域如图其最优解是点M(3,1)附近的整点考虑到线性目标函数，只要横坐标增加1即可故最优点为整点(4,1)，其最小值为16.