1、函数奇偶性的概念(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共30分)1.下列函数为偶函数的是()A.f(x)=x4-1B.f(x)=x2(-1x3)C.f(x)=x+D.f(x)=【解析】选A.选项A中,f(-x)=x4-1=f(x)且定义域为R,故该函数为偶函数;选项B中的函数定义域不关于原点对称,故该函数为非奇非偶函数;选项C中,f(-x)=-x-=-=-f(x),又定义域关于原点对称,故该函数为奇函数;选项D中,f(-x)=-=-f(x),又定义域关于原点对称,故该函数为奇函数.2.下面四个结论:偶函数的图象一定与y轴相交;奇函数的图象一定过原点;偶函数的图象关于y轴对称;没有一个函数既
2、是奇函数,又是偶函数.其中正确的命题个数是()A.1B.2C.3D.4【解析】选A.函数y=是偶函数,但不与y轴相交,故错;函数y=是奇函数,但不过原点,故错;函数f(x)=0既是奇函数又是偶函数,故错.【补偿训练】已知f(x)是偶函数,且在区间(0,+)上是增函数,则f(-0.5),f(-1),f(0)的大小关系是()A.f(-0.5)f(0)f(-1)B.f(-1)f(-0.5)f(0)C.f(0)f(-0.5)f(-1)D.f(-1)f(0)f(-0.5)【解析】选C.因为函数f(x)为偶函数,所以f(-0.5)=f(0.5),f(-1)=f(1).又因为f(x)在区间(0,+)上是增函
3、数,所以f(0)f(0.5)f(1),即f(0)f(-0.5)0时,f(x)=x2+,则f(-1)等于()A.-2B.0C.1D.2【解析】选A.f(-1)=-f(1)=-(1+1)=-2.5.设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数,则下列结论恒成立的是() A.f(x)+|g(x)|是偶函数B.f(x)-|g(x)|是奇函数C.|f(x)|+g(x)是偶函数D.|f(x)|-g(x)是奇函数【解析】选A.由f(x)是偶函数,可得f(-x)=f(x),由g(x)是奇函数,可得g(-x)=-g(x),故|g(x)|为偶函数,所以f(x)+|g(x)|为偶函数.6.若f(x)为R上的奇
4、函数,给出下列四个说法:f(x)+f(-x)=0;f(x)-f(-x)=2f(x);f(x)f(-x)0;=-1. 其中一定正确的个数为()A.0B.1C.2D.3【解析】选C.因为f(x)在R上为奇函数,所以f(-x)=-f(x).所以f(x)+f(-x)=f(x)-f(x)=0,故正确. f(x)-f(-x)=f(x)+f(x)=2f(x),故正确.当x=0时,f(x)f(-x)=0,故不正确.当x=0时,=无意义,故不正确.二、填空题(每小题5分,共10分)7.下列图象表示的函数是奇函数的是,是偶函数的是(填序号).【解析】关于y轴对称是偶函数,关于原点对称是奇函数.答案:8.若函数f(
5、x)=(k-2)x2+(k-1)x+3是偶函数,则k=.【解析】因为f(x)是偶函数,所以k-1=0,即k=1.答案:1【补偿训练】函数f(x)=ax3+2bx+a-b是奇函数,且其定义域为3a-4,a,则f(a)=.A.4B.3C.2D.1【解析】因为奇函数的定义域为3a-4,a,所以3a-4+a=0,得4a=4,a=1,则f(x)=x3+2bx+1-b,又f(0)=0,得f(0)=1-b=0,则b=1,即f(x)=x3+2x,则f(a)=f(1)=1+2=3.答案:3三、解答题(每小题10分,共20分)9.判断下列函数的奇偶性.(1)f(x)=x2(x2+2).(2)f(x)=x|x3-x
6、|.【解析】(1)f(x)=x2(x2+2)的定义域为R,f(-x)=(-x)2(-x)2+2=x2(x2+2)=f(x),所以f(x)=x2(x2+2)为偶函数.(2)f(x)的定义域为R,f(-x)=-x|(-x)3+x|=-x|-x3+x|=-x|x3-x|=-f(x)所以f(x)为奇函数.10.设函数f(x)=x2-2|x|(-3x3).(1)证明:f(x)是偶函数;(2)画出此函数的图象,并指出函数的单调区间.【解析】(1)因为-3x3,所以函数f(x)的定义域关于原点对称.f(-x)=(-x)2-2|-x|=x2-2|x|=f(x),所以f(x)是偶函数.(2)函数f(x)的图象如图所示.由图象可知,函数f(x)的单调递增区间为-1,0,1,3,单调递减区间为-3,-1,0,1.