1、第3讲函数的奇偶性及周期性1函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，那么函数f(x)是偶函数关于y轴对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，那么函数f(x)是奇函数关于原点对称2.函数的周期性(1)周期函数：对于函数yf(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(xT)f(x)，那么就称函数yf(x)为周期函数，称T为这个函数的周期(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期常用结论1函数奇偶性常用结论(1
2、)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)f(|x|)(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性(3)在公共定义域内有：奇奇奇，偶偶偶，奇奇偶，偶偶偶，奇偶奇2函数周期性常用结论对f(x)定义域内任一自变量的值x：(1)若f(xa)f(x)，则T2a(a0)(2)若f(xa)，则T2a(a0)(3)若f(xa)，则T2a(a0)常见误区1判断函数的奇偶性不可忽视函数的定义域函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件2函数f(x)是奇函数，必须满足对定义域内的每一个x，都有f(x)f(x)，而不能说存在x0，使f(x0)f(x0)同样偶函
3、数也是如此3不是所有的周期函数都有最小正周期，如f(x)5.思考辨析判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)若f(x)是定义在R上的奇函数，则f(x)f(x)0.()(2)偶函数的图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点()(3)如果函数f(x)，g(x)为定义域相同的偶函数，则F(x)f(x)g(x)是偶函数()(4)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件()(5)若T是函数的一个周期，则nT(nZ，n0)也是函数的周期()答案：(1)(2)(3)(4)(5)诊断自测1下列函数中为偶函数的是()Ayx2sin xByx2cos xCy|ln x| Dy2x解析：选B根据偶函数的
4、定义知偶函数满足f(x)f(x)且定义域关于原点对称，A选项为奇函数，B选项为偶函数，C选项定义域为(0，)，不具有奇偶性，D选项既不是奇函数，也不是偶函数故选B2已知函数f(x)ax2bx3是定义在a3，2a上的偶函数，则ab的值是()A1 B1C3 D0解析：选B因为函数f(x)ax2bx3是定义在a3，2a上的偶函数，所以a32a0，解得a1.由f(x)f(x)得b0，所以ab1.故选B3已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x0时，f(x)x(1x)，则f(1)_解析：f(1)122，又f(x)为奇函数，所以f(1)f(1)2.答案：24设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x
5、1，1)时，f(x)则f_解析：fff421.答案：1函数的奇偶性及其应用(多维探究)角度一判断函数的奇偶性 判断下列函数的奇偶性(1)f(x)x3x，x1，4；(2)f(x)ln ；(3)f(x)；(4)f(x)【解】(1)因为f(x)x3x，x1，4的定义域不关于原点对称，所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数(2)f(x)的定义域为(2，2)，f(x)ln ln f(x)，所以函数f(x)为奇函数(3)f(x)的定义域为1，1，关于原点对称又f(1)f(1)0，f(1)f(1)0，所以f(x)既是奇函数又是偶函数(4)f(x)的定义域为R，关于原点对称，当x0时，f(x)(x)22(x22
6、)f(x)；当x0时，f(x)(x)22(x22)f(x)；当x0时，f(0)0，也满足f(x)f(x)故该函数为奇函数判定函数的奇偶性的3种常用方法(1)定义法(2)图象法(3)性质法设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇奇奇，奇奇偶，偶偶偶，偶偶偶，奇偶奇；复合函数的奇偶性可概括为“同奇则奇，一偶则偶”提醒对函数奇偶性的判断，不能用特殊值法，如存在x0使f(x0)f(x0)，不能判断函数f(x)是奇函数角度二函数奇偶性的应用 (1)(2019高考全国卷)设f(x)为奇函数，且当x0时，f(x)ex1，则当x0时，f(x)()Aex1Bex1Cex1 De
7、x1(2)已知函数f(x)x(xa)b，若函数yf(x1)为偶函数，且f(1)0，则b的值为()A2 B1C1 D2【解析】(1)通解：依题意得，当x0时，f(x)x2x，则当x0时，函数f(x)的最大值为_解析：方法一：当x0，所以f(x)x2x.又因为函数f(x)为奇函数，所以f(x)f(x)x2x，所以当x0时，f(x)x2x，最小值为，因为函数f(x)为奇函数，所以当x0时，函数f(x)的最大值为.答案：函数的周期性及其应用(师生共研) (1)函数f(x)在R上满足f(x1)f(x1)，且f(x)其中aR，若f(5)f(4.5)，则a()A0.5 B1.5C2.5 D3.5(2)已知定
8、义在R上且周期为4的函数f(x)满足f(x1)是偶函数，且当x0，1时，f(x)1x2，则f()_【解析】(1)由f(x1)f(x1)，得f(x)是周期为2的周期函数，又f(5)f(4.5)，所以f(1)f(0.5)，即1a1.5，所以a2.5.故选C(2)由函数f(x)的周期为4，得fff.因为f(x1)是偶函数，所以f(x)的图象关于直线x1对称，所以ff.又当x0，1时，f(x)1x2，所以ff1.【答案】(1)C(2)函数的周期性的判定与应用(1)判断函数的周期性只需证明f(xT)f(x)(T0)便可证明函数是周期函数，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题(2)根据函数的
9、周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T是函数的周期，则kT(kZ且k0)也是函数的周期 1已知定义在R上的函数满足f(x2)，当x(0，2时，f(x)2x1.则f(17)_解析： 因为f(x2)，所以f(x4)f(x)，所以函数yf(x)的周期T4.f(17)f(441)f(1)1.答案：12已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x4)f(x2)若当x3，0时，f(x)6x，则f(919)_解析：因为f(x4)f(x2)，所以f(x6)f(x)，则T6是f(x)的周期所以f(919)f(15361)f(1)又f(x)在R上是偶函数，所以f(1)f(
10、1)6(1)6，即f(919)6.答案：6函数性质的综合应用(多维探究)角度一函数的单调性与奇偶性 (1)设f(x)是定义在2b，3b上的偶函数，且在2b，0上为增函数，则f(x1)f(3)的解集为()A3，3B2，4C1，5 D0，6(2)已知函数yf(x)是R上的偶函数，对任意x1，x2(0，)，都有(x1x2)f(x1)f(x2)f(b)f(c) Bf(b)f(a)f(c)Cf(c)f(a)f(b) Df(c)f(b)f(a)【解析】(1)因为f(x) 定义在2b，3b上的偶函数，所以有2b3b0，解得b3，由函数f(x)在6，0上为增函数，得f(x)在(0，6上为减函数故f(x1)f(
11、3)f(|x1|)f(3)|x1|3，故2x4.(2)由题意易知f(x)在(0，)上是减函数，又因为|a|ln 31，b(ln 3)2|a|，0cf(|a|)f(b)又由题意知f(a)f(|a|)，所以f(c)f(a)f(b)故选C【答案】(1)B(2)C函数的单调性与奇偶性的综合问题的解题思路(1)解决比较大小、最值问题应充分利用奇函数在关于原点对称的两个区间上具有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的两个区间上具有相反的单调性(2)解决不等式问题时一定要充分利用已知的条件，把已知不等式转化成f(x1)f(x2)或f(x1)0，则实数m的取值范围是()A B(，0)C D解析：选C因为f(x)
12、为偶函数，且在0，3)上是减函数，所以f(x)在(3，0)上是增函数f(m1)f(3m1)0可化为f(m1)f(3m1)因为f(x)为偶函数，所以f(m1)f(3m1)即为f(|m1|)f(|3m1|)又f(x)在0，3)上为减函数，所以解得m，故选C2已知定义在R上的奇函数yf(x)满足f(x8)f(x)0，且f(5)5，则f(2 019)f(2 024)()A5 B5C0 D4 043解析：选B由f(x8)f(x)0，得f(x8)f(x)，所以f(x16)f(x8)f(x)，故函数yf(x)是以16为周期的周期函数在f(x8)f(x)0中，令x0，得f(8)f(0)0，因为函数yf(x)是
13、定义在R上的奇函数，所以f(0)0.故f(8)0.故f(2 024)f(161268)f(8)0.又在f(x8)f(x)0中，令x3，得f(5)f(3)0，得f(5)f(3)f(3)5，则f(2 019)f(161263)f(3)5，所以f(2 019)f(2 024)5.故选B思想方法系列3活用函数性质中“三个二级”结论函数的奇偶性、周期性、对称性及单调性，在高考中常常将它们综合在一起命题，解题时，往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题一、奇函数的最值性质已知函数f(x)是定义在区间D上的奇函数，则对任意的xD，都有f(x)f(x
14、)0.特别地，若奇函数f(x) 在D上有最值，则f(x)maxf(x)min0，且若0D，则f(0)0. 设函数f(x)的最大值为M，最小值为m，则Mm_【解析】函数f(x)的定义域为R，f(x)1，设g(x)，则g(x)g(x)，所以g(x)为奇函数，由奇函数图象的对称性知g(x)maxg(x)min0，所以Mmg(x)1maxg(x)1min2g(x)maxg(x)min2.【答案】2二、抽象函数的周期性(1)如果f(xa)f(x)(a0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T2a.(2)如果f(xa)(a0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T2a.(3)如果f(xa)f(x)
15、c(a0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T2a. 已知函数f(x)为定义在R上的奇函数，当x0时，有f(x3)f(x)，且当x(0，3)时，f(x)x1，则f(2 023)f(2 024)()A3B2C1 D0【解析】因为函数f(x)为定义在R上的奇函数，所以f(2 023)f(2 023)，因为当x0时，有f(x3)f(x)，所以f(x6)f(x3)f(x)，即当x0时，自变量的值每增加6，对应函数值重复出现一次又当x(0，3)时，f(x)x1，所以f(2 023)f(33761)f(1)2，f(2 024)f(33762)f(2)3.故f(2 023)f(2 024)f(2 02
16、3)31.【答案】C三、抽象函数的对称性已知函数f(x)是定义在R上的函数(1)若f(ax)f(bx)恒成立，则yf(x)的图象关于直线x对称，特别地，若f(ax)f(ax)恒成立，则yf(x)的图象关于直线xa对称(2)若函数yf(x)满足f(ax)f(ax)0，即f(x)f(2ax)，则f(x)的图象关于点(a，0)对称 已知定义在R上的函数f(x)满足条件f(x2)f(x)，且函数f(x1)为奇函数，则下列说法中错误的是()A函数f(x)是周期函数B函数f(x)的图象关于点(1，0)对称C函数f(x)为R上的偶函数D函数f(x)为R上的单调函数【解析】因为f(x2)f(x)，所以f(x4)f(x2)f(x)，故A正确；因为函数f(x1)为奇函数，所以函数f(x1)的图象关于原点中心对称，所以函数f(x)的图象关于点(1，0)对称所以B正确；因为函数f(x1)为奇函数，所以f(x1)f(x1)，根据f(x2)f(x)，f(x1)f(x1)，所以f(x1)f(x1)，f(x)f(x)，即函数f(x)为R上的偶函数，C正确；因为函数f(x1)为奇函数，所以f(1)0，又函数f(x)为R上的偶函数，f(1)0，所以函数不单调，D不正确【答案】D